生活中的数学模型ppt课件.ppt

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1、生活中的数学建模,郝志峰广东工业大学、2019年12月24日全国研究生数学建模竞赛颁奖会议,什么是建模？ 纸飞机 共产主义-列宁数学建模-数学技术,一、设计围棋的指标二、挖掘指标的金矿四、指标联想和应用,围棋是东亚人民喜爱的智力活动, 长久以来, 人们一直认为1919361个点所构成的网状存在着许多奥妙和争论。其中之一是关于贴目问题：中国贴 子，日本贴5目半，应氏规则贴7目，都共存于各项比赛中。当然还有一个更令人瞠目的问题：为什么围棋盘是十九行、十九列呢? 你会说对称，否则一长一宽没有趣味了。那么为什么是十九呢? 有老人解释说：十二星宿加上北斗七星。但这哄孩子可以，哄你大概不行，你可能会刨根向

2、底问个不休。,1、设计围棋的指标,围棋的两个竞赛对策是成活、围空。我们先来讨论成活，若比较在各线上成活速度 (即用最少的子来得到必活的棋形)，我们有：,1、设计围棋的指标,这说明从成活的角度讲，三线的价值很大，再比较围空，我们定义围空的效率(即所围的目数/所用的棋子), 则有 ， ， ， 。 因此从围空的角度而言，四线是唯一可以和三线竞争的下法。当然围棋界有“金角、银边”等说法。当然，从体育竞争和游戏的角度而言，要使双方比赛精彩激烈，走三线和四线的价值要尽量接近 (细微的部分可采用贴目方式进行)。,1、设计围棋的指标,假设围棋有n行、n列。由于走四线、围中空要有价值，所以n不能太小；另外由于围

3、棋子也不能太多，所以n不能太大，不妨设11 n30(40?)。我们要使得走三线的价值 和走四线的价值 的值尽量接近，记： ，这里,注意 是关于n的减函数.,1、设计围棋的指标,得y=5.2(目),这又解释了中国规则和日本规则,可导，且已知n11，故 导数为正，这时 为增函数，于是E(n)为增函数。由介值定理关于E(n)=0只有一个解，考虑 E(18)=0.1888，E(19)=0.092，这样在(18, 19)之间必有一根，最接近这个根的是E(19), 这样问题1意外地解决了。,问题1的解决极大地鼓舞我们继续考虑贴几目地问题，当n19时， 。这说明四线围空效率稍高，需贴目。假设贴y目, 则有,

4、1、设计围棋的指标,那么应氏规则又从何说起呢? 在我们所建立的模型里四个 “三三”和四个“四四”的点对 围空未起到本质的作用，只能算作实子或防止对方切断的一手，于是所用棋子可减四目，于是有：,所贴目数为：,得到：z7，这与应氏规则是相近的。,1、设计围棋的指标,一、设计围棋的指标二、挖掘指标的金矿四、指标联想和应用,一个股份公司通常由若干个股东组成，如果某一个股东想占据该股份公司的领导地 位，那么一个熟悉的想法是该股东控制超过 50%的股权。但事实却是有许多股份公司的领导者并没有控制那么多。例如在 2019年盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份时，所收购的股本数只占总股本数的 19.5%,却实现了

5、成功收购。,2、挖掘指标的金矿,另一个例子是美国通用汽车公司的第一大股本福特家族也只占有该公司 15%的股本。但也控制了整个公司。 这样，一个自然而然的问题是：如何估计某种势力在股东大会中所在的“权重”？,2、挖掘指标的金矿,在原来我们所认为需50%的想法中。隐含着这样一个前提，即其他的股东都是您的反对者，这是一个极端的情形，也是我们一种自我孤立的意识在作怪。 这样我们开始转换思维，考虑联盟的情形，这也符合实际，一部分股东因某种共同利益而实行联合。,2、挖掘指标的金矿问题的分析,首先我们介绍加权多数对策：设g,w1, w2, , wn，这里有n个股东，用wi是表示股东i所持有股本，假定是非负的

6、。设N=1, 2,n 是所有股东集合，N的一个子集S称为股东联盟。一个联盟赢得一次表决，是指 wi1+ wi2+ wik=g 这里S =i1,i2,ik,2、挖掘指标的金矿数学的分析之一,这一部分我们将会认同这样一个现实：占有更多的股本并不一定增加其势力（当然不会减少），也不一定是以一种正比例方式增加其势力。,2、挖掘指标的金矿若干实例,“哑元” 现象 在对策 50；51,14,13,12,10中第一个股东无需他人合作即可取胜，因而股东 2,3,4,5尽管持有股本，但势力为 0 ，这时称股东2,3,4,5为“哑元”。 这时观察对策51；26,26,26,22，最后一个股东也是毫无势力的，因为任

7、何一个取胜联盟若含有他，那么去掉他时联盟依旧能取胜。因此最后一个股东也是“哑元”。,2、挖掘指标的金矿实例一,同等势力 在对策 2；1,1,1， 50；49,48,3 中的势力是相同的，因为他们给出相同的取胜联盟。其中第三个对策说明了位居第三的小股东也有潜在的价值。,2、挖掘指标的金矿实例二之一,如果将这一想法应用于政治，也可以解释为什么大富翁佩罗会两次参加美国总统的选举。尤其是他第一次参加的布什、克林顿、佩罗的三人选举中（假设为50；49,48,3）。通过此获取的势力，嬴得了数倍投资于竞选的资本。,2、挖掘指标的金矿实例二之二,建模分析,在对策g,w1, w2, , wn中定义gi为第i个股

8、东的势力指标，它需满足以下五点： gi 0； gi =0当且仅当i是哑元；若i与j在取胜联盟中地位相同，则gi = gj ；若wi wj ，则gi gj ； g1+g2+ + gn =1。,2、挖掘指标的金矿数学的分析之二,Shapley_Shubik指标 ：,2、挖掘指标的金矿数学的分析之三,对策51;40,30,20,10的四个股东1,2,3,4共有下面24种排列“*”表示该股东在取胜联盟中是关键人。 12*34 21*34 31*24 412*3 12*43 21*43 31*42 413*2 13*24 231*4 321*4 421*3 13*42 234*1 324*1 423*1

9、 142*3 241*3 341*2 431*2 143*2 243*1 342*1 432*1,2、挖掘指标的金矿数学的分析之四,于是我们得到 g1= g2= g3= g4=,2、挖掘指标的金矿数学的分析之四,股份公司中的大股东 设一公司有一大股东A，他控制着40%的股票，假设其余的股票平均分配在另外60个股东手中，每人占1%。通过一项决议需50%的赞成票。这时通过计算这个对策中的Shapley-Shubik势力指标，该大股东的势力为40/61。现仍假设A控制着40%的股票，但其余的股票平均分配在另外600个股东手中，每人占0.1%，此时A的势力为400/601。而且随着小股东人数的不断增大

10、，A的势力份额将趋于2/3。这个例子解释了为什么收购一个股份公司，并不一定占据50%的股票。以盛大互动娱乐有限公司收购新浪股份为例，盛大只控制了19.5%的股票，而其余股东，最大的不过占据了4.96%的股票。这就是一个有趣的例子。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之一,“团结并不永远意味着力量” 在实际生活中，人们经常以搓草绳为例来告诫人们，一根稻草微不足道，一拉就断。但搓成草绳后却力量大增，从而得出结论：团结就是力量。这样在二次大战后，在欧洲大陆，形成了北大西洋公约组织和华沙条约组织这两个集团势力。但1955年，周恩来总理在万隆会议上提出的著名的“和平共处”五项原则中有一条“独立自主”的口号，这

11、从表面上看似乎与“联盟”存在着差异。但在这里我们将通过一个实例，试图给出“独立自主”的诠释。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之二,假设一个对策为5;3,3,1,1,1，另一个对策将3个1形成联盟成为对策5;3,3,3。注意到前一个对策的Shapley_Shubik势力指标为3/10,3/10,4/30,4/30,4/30 。而后一个对策的Shapley_Shubik势力指标为1/3,1/3,1/9,1/9,1/9 。后一个对策分配到每个1所占的势力为1/9。哦！ “独立自主”使您的势力增大。 请您记住，“独立自主”也是一种很好的外交手段，尤其是没有占据主导地位的时候。,2、挖掘指标的金矿案例的分

12、析之二,联合国安理会的例子,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,联合国安理会的例子 现在的联合国安理会由5个常任理事国和10个非常任理事国组成。5个常任理事国是中国、法国、俄罗斯（1991年12月苏联解体后席位由俄罗斯联邦接替）、英国、美国。非常任理事国由联合国大会选举产生，最初为6个，1965年开始增加到10个，席位按地区分配，即亚洲2个、非洲3个、拉美2个、东欧1个、西欧及其他国家2个。非常任理事国任期2年，经选举每年更换5个，不能连选连任。根据地域分配原则，每次新选出的5个成员国中应包括来自亚洲和非洲的3个国家、1个东欧国家和1个拉美或加勒比地区国家。 每个理事国成员都具有否决权，而十个非

13、常任理事国每两年轮流变动一次。在安理会中通过一项决议需有九票以上，其中五个常任理事国需全部投赞成票，再加上至少四个非常任理事国投赞成票。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,对于这一对策系统，记为： g; a, a, a, a, a, b, b, b, b, b, b, b, b, b, b 根据已知条件： 5a+4b=g, 4a+10b6b. 于是可令 b=1,a=7. 这样求得 g=39. 对于 39;7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,这一对策可求得对每个常任理事国其势力指标为 0.1963； 而每个非常任理事国的势力指标为 0.0

14、01863。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,现在的联合国安理会的组成模式形成于1965 年。在1965 年之前，安理会是由五个常任理事国和六个非常任理事国组成，通过一项决议需七票以上，其中五个常任理事国全部投赞成票。再加上至少两个非常任理事国投赞成票。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,提示：对于这一对策，用上面类似的方法可以求得对策系统是 27;5,5,5,5,5,1,1,1,1,1,1， 同样可求得1963年之前每个常任理事国的势力指标为0.1974。每个非常任理事国的势力指标为 0.002165。这表明对于1963年的改革。使得安理会理事国成员的势力指标下降了。,2、挖掘指标的金矿案

15、例的分析之三,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,现在有一个设想，即将来的安理会组成中，增加德国、日本、印度和巴西这四个国家作为常任理事国，具有否决权，这些国家有的现在对联合国的经济资助已超过法国和英国，有的人口众多。请您设计将来的安理会所组成的这一对策，并求得常任理事国和非常任理事国的势力指标。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,日本等五国当选安理会非常任理事国 中新社联合国十月十七日电(记者 李静)第六十三届联合国大会十七日召开全体会议，投票选出奥地利、日本、墨西哥、土耳其、乌干达等五个国家为安理会非常任理事国。 日本当选非常任理事国，上述五国将取代目前十个安理会非常任理事国中的比利时、印度

16、尼西亚、意大利、巴拿马和南非，自二00九年一月一日始就任，任期两年。在当日联大投票中，日本获得一百五十八票，击败伊朗获得亚洲组的席位。这是日本第十次当选安理会非常任理事国。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,欧洲及其他地区组两个席位的竞争在奥地利、土耳其和冰岛之间展开，土耳其和奥地利分别以一百五十一票和一百三十三票胜出。乌干达和墨西哥由于各自在非洲组和拉美及加勒比组中没有竞争对手，轻松当选安理会非常任理事国。联大每年选举产生五个非常任理事国，名额按地区分配，并需要获得大会三分之二多数票通过。目前安理会非常任理事国还包括去年当选的利比亚、越南、布基纳法索、哥斯达黎加和克罗地亚，它们的任期到明年年

17、底结束。除十个非常任理事国外，中国、法国、俄罗斯、英国和美国为常任理事国。 (完),2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,10月17日，在美国纽约联合国总部，中国常驻联合国副代表刘振民在填写选票。新华社记者侯俊摄,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,中新网9月19日电 伊朗总统内贾德18日称，重申即使再严厉的制裁，伊朗也不会停止铀浓缩活动。同时他呼吁日本，支持伊朗成为明年的联合国安理会非常任理事国。据星岛环球网报道，内贾德将到纽约出席联合国大会，他18日称，今年日本将与伊朗竞争非常任理事国席位，内贾德希望日本能帮助伊朗竞选成为非常任理事国、并保证将维护日本在联合国的权益。内贾德说：“我们提出申请，正

18、是想看看某些口口声声提出民主主张的人对此采取的举动，看看他们到底支持哪一边。我们不想和日本竞争，但希望日本能尊重我们的申请，我们和日本是朋友，如果我们竞选成功，将完全支持日本的权利。”,背景：伊朗呼吁日本支持其成为安理会非常任理事国,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,内贾德还说，国际原子能机构(IAEA)对伊朗的最新调查报告证明伊朗的核活动是和平的，伊朗与国际原子能机构的合作“完全公开透明”。他重申，伊朗不会放弃核发展计划，即使联合国安理会实施更加严厉的制裁，伊朗亦不会屈服，会继续发展核能源，又警告任何侵略伊朗的国家，亦会受到灾难性的惩罚。 国际原子能机构总干事巴拉迪15日发布关於伊核问题的最

19、新报告，美国认为这份报告显示伊朗拒绝与国际社会合作，并要求伊朗暂停铀浓缩活动，否则将实行更严厉制裁。内贾德在当天的记者招待会上否认了西方指责，强调伊朗不会改变立场，停止铀浓缩活动。对於伊朗可能遭受到的制裁，内贾德嗤之以鼻，说美英等国损失会更大。对目前的全球金融危机，他认为根源来自于美元缺乏支持，而伊朗则不会受太大影响。在纽约期间，内贾德说，不会与美国官员会面，但希望可以与美国两位总统候选人举行电视辩论。 （完）,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,日本要成为常任理事国，就需要谋求安理会扩容第一方案（投赞成票的10年、20年，乃至50年的常任理事国）获得通过。日本要获得代表亚洲的新席位候选国的提名

20、，还有巨大阻力。如果要决议案获得通过，需要联合国191个成员国中超过三分之二的国家赞成，即最少要获得128票，才能上会；此外，安理会常任理事国中必须无人对决议案投否决票。日本还需落实其对联合国的官方发展援助承诺，我们的方案常坐的非常任理事国。,2、挖掘指标的金矿案例的分析之三,一、设计围棋的指标二、挖掘指标的金矿三、指标联想和应用,姜启源老师的数学模型 例：已知比赛无平局，只有胜负(如:排球、乒乓球、羽毛球、网球 等)，共有六支队伍，两两之间均比赛过，结果如右图: 问：如何排定名次?,思考1：“获胜”是关键。于是，寻找一条从起点不断获胜的路径；如： 1 46 3 2 5 4 56 3 12,明

21、显有不合理且不可行的地方。第一，解明显不唯一。第二，强队一失手，真成千古之恨。（比如巴西负阿根廷，阿根廷再负，此种传递会得出极荒谬的结论。但注重“获胜”是体育竞赛精神之所在，也是建模的基本依据。,3、指标联想和应用循环比赛,思考 2: 国际足联 积分制 1队: 4胜1负 8分 2队: 3胜2负 6分 3队: 3胜2负 6分 4队: 2胜3负 4分 5队: 2胜3负 4分 6队: 1胜4负 2分,这时1，6两队名次立即分出。但2、3两队，4、5 两队呢？以体育界常用的做法，3胜2，故3在2之前。4胜5，故4在5之前。于是名次为： 1，3，2，4，5，6。但问题或困惑随之而来，就4、5而言，5胜的

22、是3和6，而4胜的是5和6。看一看对手的实力， 我们又有理由说5会强一点，因为534。,3、指标联想和应用循环比赛,2019年CBA总决赛，目前广东宏远2:0新疆广汇,可4月18日就在第二场比赛结束的一刹那，新疆外援查尔斯与广东队员杜锋发生冲突，查尔斯一记猛拳将广东队员杜锋打倒在地，场面一度失去控制。 为何比赛如此激烈？,3、指标联想和应用循环比赛,这说明，排名的学问很深,2009年赛季，广东队正是在总决赛中以总比分4：1击败新疆队，夺得了总冠军。 然而，时隔一年，双方不可同日而语， 2019年常规赛中，广东队（30胜2负），就曾在主客场两负新疆队（27胜5负）。预测：2019年赛季总冠军？,

23、注：CBA十大冲突之首的处罚结果：4月20日，中国篮协公布了对“CBA总决赛第二场中球员之间发生冲突”事件的处罚结果。最终广东队的杜锋和新疆队的外援查尔斯同时被通报批评，两家俱乐部各罚款5万，广东主场东莞赛区由于球迷不冷静被加罚5万元。,3、指标联想和应用循环比赛,综合思路1、2，我们有以下的分析： 取胜的价值有所不同。由于积分制只关心取胜，不关心失败，所以取胜强队的价值(即分数)应高一些。依照此思想，在区分2、3和4、5时，要给出更精细的分数。 以2、3为例,它们的精细分数为： 2 胜4、5、6，得 4+4+210分 3 胜1、2、4，得 8+6+418分,3、指标联想和应用循环比赛,以4、

24、5为例,它们的精细分数为: 4 胜5、6，得 4+26分 5 胜3、6，得 6+28分 需要说明的是这只是精细分数，不是说由于108，则2在1之前。这只是为了区分同一名次的。 从解决问题的角度来看，做到这里似乎目的达到了。但作为数学建模，这只是开始。我们只是有了些正确的思路，或解决问题的技巧，还没有建立模型。现在，我们朝着模型的方向前进着。,3、指标联想和应用循环比赛,于是, 我们转换为矩阵的做法试试看： 令,设胜一场得2分, 负一场得0分. 记初始向量为(为什么?),3、指标联想和应用循环比赛,这就是区分2、3和4、5的过程,这就是国际足协,3、指标联想和应用循环比赛,注意到,这给出了“矩阵

25、相乘”的一个解释看对手.,3、指标联想和应用循环比赛,矩阵乘法 中究竟 是什么？观察注意： 当且仅当 战胜 。所以 表明有三个 ，存在着 战胜 ， 战胜 。,3、指标联想和应用循环比赛,一般的定理: PerronFrobenius 定理若A是非负、不可约矩阵，则,注意:约束条件不可分矩阵（分块矩阵）对应的图是连通图,数模竞赛中的类似问题,CUMCM:92B:足球排名(残缺矩阵)MCM:96B:快速评卷.MCM:98B:ABC学院,右图中示明了d国三个城市，e国三个城市，f国两个城市相互之间的通路， d国和e国之间的通路情况可以用下面的矩阵表示,问：e国和f国之间， d国和f国之间呢？,3、指标

26、联想和应用通路矩阵,3、指标联想和应用Google搜索,请关注,搜索 第七届全国研究生数学建模竞赛 获得约 341,000 条结果。（用时0.06秒）,How can google make a ranking of 341,000 pages in 0.06 seconds?,网络通讯,一个网络是由若干个节点和连线组成,-计算机-电视机-卫星,-电话线-有线电视-无线网络,网络通讯：不同的点有不同的线互联（图论思想）。, HITS, PageRank,2019 Jon Kleinberg Cornell University,Sergey Brin and Larry Page Stanfo

27、rd University,通过检查整个网络链接结构，确定哪些网页重要性最高；然后进行超文本匹配分析，以确定哪些网页与正在执行的特定搜索相关。在综合考虑整体重要性以及与特定查询的相关性之后，Google 将最相关最可靠的搜索结果放在首位。,3、指标联想和应用Google搜索,Page Rank, Google的搜索引擎所用的排序系统。,搜索者是独立的； 搜索的内容是独立的；搜索仅用到互联网的图结构。,3、指标联想和应用Google搜索,Page Rank通过对由超过 50,000万个变量和20亿个词汇组成的方程进行计算，能够对网页的重要性做出客观的评价。注意：PageRank并不计算直接链接的

28、数量，而是将从网页 A 指向网页 B 的链接解释为由网页 A 对网页 B 所投的一票。这样，PageRank会根据网页 B 所收到的投票数量来评估该页的重要性。,基本原理“从许多优质的网页链接过来的网页，必定还是优质网页”超链接ABA对B投一票若A的质量高（如QQ），则该投票分数高,PageRank（衡量网页质量）,PageRank示意图,搜索者是独立的， 搜索的内容是独立的,Page Rank, Google的搜索引擎所用的排序系统。,例：六个页面的有向图,问题：已知Google矩阵（网页邻接矩阵），如何求出PageRank?首先，PageRank可以表示为向量R=R1,R2,Rn,Page

29、Rank（衡量网页质量）,还是：PerronFrobenius 定理,PageRank是Google矩阵的主特征向量Google矩阵P记P=PT（关注被链接）P（注意每列为和1向量，不为1呢？）令 x= PageRank，则求解 x=Px P的最大特征值为1(主特征值)x是主特征值1对应的特征向量,PageRank是主特征向量,Google公司的秘诀:,在网球比赛中，观众最兴奋、比赛最精彩之处莫过于Deuce情形。 乒乓球比赛也一样，9平、10平、11平、12平、13平、，观众的心都被提到了嗓子眼了，呐喊的、跺脚的，没有一个观众愿意此时离去(心脏病除外)。这时有一个问题， 如果比赛一直平下去，

30、那岂不是把观众紧张死了，这可能出现吗? 当然你会说，这决不可能。为什么?,3、指标联想和应用网球中的Deuce问题,假设你赢一分的可能性为P，你的对手赢一分的可能性为1-P，那么比赛一直进行下去的可能性为 。 这里 , 且 故上面的极限是0，即比赛不会持续下去。,: 比赛会不会持续下去?: 若甲,乙的获胜概率为P,(1-P). 若此时甲领先, 问甲最终获胜的概率有多大?若甲,乙打平呢?若甲落后呢?,3、指标联想和应用网球中的Deuce问题,好了，你将会看到比赛的结局的。但结局的各种可能性是多少呢? 这又是一个有趣的问题? 让我们来分析一下，就你现在的状态而言，你有5种情况: 1.赢了这一局，2

31、. 只赢一分， 3.打平，4. 只输一分，5. 输了这一局。出现情况：1、5则比赛结束，2、3、4则仍继续，出现2后，出现1的可能性为P、出现3的可能性为1-P,4、5不可能出现，如此类推到3、4，则有如下的概率转移矩阵：,出现2后的一次发球的比赛结果的可能性是 由此继续下去的第k次发球可能性则是,3、指标联想和应用网球中的Deuce问题,A这个矩阵很有特点，每一行的和为1，且每个元素 的值在0、1之间，这个矩阵称为Markov矩阵。我们的问题是问 的值是多少? 这又是一个是否收敛的问题。要证明它，可采用相似标准形等方法解决，注意A的一个自然的特征值1和对应的特征向量 。现假设 存在，那么它是

32、多少呢? 让我们先分析一下，既然 存在，那么它一定是稳态的，即只可能处于1或5状态，否则 又不同了。,3、指标联想和应用网球中的Deuce问题,于是,由于 ,所以AB=B, 解之, 得:,3、指标联想和应用网球中的Deuce问题,以 为例（五五波）, 若你现在赢一分, 则你取胜的可能性是 ; 若你现在与对手打平, 则你取胜的可能性是 ; 若你现在输一分则你取胜的可能性是1/4.在这个模型中, 你会发现, 当A赢一分之后再赢一份的概率保持不变, 这与现实情况并不完全相同. 因为你一分在手, 在比赛中的心情和战术变化也不同, 应该取胜的可能性也大一些. 这种模型可能会有变换, 请你自己动手一下.,

33、3、指标联想和应用网球中的Deuce问题,一个醉汉在床与三步之远的楼梯之间徘徊。每走一步，朝着床走的机会与朝着楼梯走的机会是3:1，如果到了位置1，就会摔下楼梯，如果到了位置4，就会睡个好觉到天亮。假设该醉汉不会清醒，也不会伏下，且现在离天亮还有很长的一段时间。请问：试证明：该醉汉最终一定到床和楼梯这两个位置中的一个； 假设醉汉现在()：离床两步远(位置2)，()：离床一步远(位置3)，分别计算他到床上去的概率。,位置1,位置4,位置2,位置3,3、指标联想和应用醉汉问题,设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？,4、指标联想和应用矩阵乘法,Thank you!,广东工业大学zfhaogdut.edu,