现代控制理论第3章 能控性和能观测性ppt课件.ppt

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1、第三章 能控性和能观测性,线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。,卡尔曼,这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。,点击观看,第一节 线性定常系统的能控性,能控性分为状态能控性、输出

2、能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：,一 离散系统的状态可控性,引例 设单输入离散状态方程为：,可看出状态变量 只能在+1或-1之间周期变化，不受 的控制，不能从初态 转移到任意给定的状态，以致影响状态向量 也不能在 作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。设单输入离散系统状态方程为：,(3-1),式中， 为n维状态向量； 为纯量，且在区间

3、是常数，其幅值不受约束； 为 维非奇异矩阵，为系统矩阵；g为 维输入矩阵：k表示kT离散瞬时，T为采样周期。,初始状态任意给定，设为 ；终端状态任意给定，设为 为研究方便，且不失一般性地假定 。,单输入离散系统状态可控性定义如下,在有限时间间隔 内，存在无约束的阶梯控制号 , , 能使系统从任意初态 转移到任意终态 则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。,可导出可控性应满足的条件。按定义，令 ，且 ，方程两端左乘 ，给出：,该阵为 维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含n个方程，含n个未知数 , 。根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时，方程有解，否则无解。在

4、任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵 满秩，即,(3-5),或能控阵 是非奇异的。这时，方程组存在唯一解，即任意给定 ，可求出确定的 ， , 。,当rank 时，系统不可控，不存在能使任意 转移到 的控制。,从以上推导看出，当 不受约束时，能使任意 转移到 意味着至多经过n个采样周期便可完成转移，而n乃是 系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。,该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法得出完全相同的结论，故假定 是不失一般性的。,提示：点击观看,解 令0，1，2，得状态序列,容易看出系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为 3，两个秩不等，故无解，

5、表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可能的。,例3-2 试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。,例3-3 设 同例3-1， ，试判断能控性。,式中 为 维控制向量， 为 维输入矩阵。问题转化为能否求出无约束的控制向量 ， , ，使系统从任意初态 转移到 。,(3-13),该阵为 维矩阵；同 , 子列向量构成的控制列向量是 维的。式(3-13)含有n个方程， 个待求控制量。由于初态 可任意给定，根据解存在定理，唯有矩阵 的秩为n时，方程组才有解，于是多输入离散系统状态能控的充要条件是：,一般多输入系统，式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数，方程组的解不唯一，可

6、以任意假定 个控制量，其余n个控制量才能唯一确定，这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。,例3-4 试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性：,式中,显见出现全零行，rank ，故不能控。,多输入系统能控阵 ，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见 矩阵的秩为n，便不必把 矩阵的所有列都写出。有时可通过计算 的秩是否为n来判断多输入系统的能控性。这是因为，当 非奇异时， 必非奇异，而 为方阵，只需计算一次n阶行列式即可确定能控性，但在计算 时，可能需多次计算n阶行列式。,在多输入系统中，使任意初态 转移至原点一般可少于n个采样周期。见例3-4，令 ，可给出；,则,已知 ，若能唯一确定 ，

7、便表示能在第一个采样周期将 转移到原点。,二 连续系统的状态能控性,引例 设单输入连续系统方程为：,式中均为阶矩阵。将式(3-23)代入式(3-22)并展开两端：,(3-24),推论1 矩阵可表为的次多项式：,(3-28),均为幂函数，在时间区间 内，不同时刻构成的向量组 是线性无关向量组，这是因为其中任一向理都不能表为其它向量的线性组合。,其状态能控性定义如下： 在有限的时间间隔 内，存在无约束的分段连续控制函数 ,能使系统从任意初态 转移到任意终态 ，则称此系统是状态完全能控的，简称是能控的。,即用无穷级数 表示的可改用A的 次多项式来表示；并经证明，其 都是时间 的不同幂函数，并且向量

8、是线性无关向量。于是有,(3-44),以上推导显见，状态能控性只与状态方程中 矩阵有关。若系统能控，同其 对称为能控对； 亦然。,例3-6 判断下列状态方程的能控性：,例3-7 判断下列状态方程的能控性：,三 A为对角阵、约当阵的能控性判据,为了进一步研究系统的特性，有时经线性将系统矩阵已化成对角形或约当形，此时应用能控性矩阵可导出判断能控性的直观简捷的方法。引例 设状态方程系统矩阵已对角化及输入矩阵分别为：,其能控性矩阵 的行列式为：,时系统可控，于是要求：当A有相异根 时，应存在 。若 ，则该系统始终是不能控的。也就是说，A阵对角化且具有相异根时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断能控；而

9、若对角化A阵中含有相同元素，则不能这样判断。 设状态方程系统矩阵已约当化及其输入矩阵分别为：,其能性矩阵 的行列式为：,(3-49),矩阵A已对角化， 为系统相异特征值。展开式（3-49）可见，每个方程只含有一个状态变量，状态变量之间解除了耦合，这时，只要 方程中含有某一个控制量， 便可控，这意味着输入矩阵第i行不得出现全零行。在 方程中不含任一控 制量的情况下， 与控制无关，自然是不能控的，于是能控性条件可表达为：,A为对角形且元素各异时，输入矩阵中不得出现全零行。A为对角形但含有相同元素时（对应于重特征值但仍能对角化的情况），以上表达方式不适用，仍应根据能控性矩阵的秩条件来判断。,系统具有

10、二重根 及相异根 ；从展开方程可见， 各方程的状态变量是解耦的，因此上述对角化情况下的判据仍适用；而 方程中既含 又含 ，在 受控条件下，即使 方程中不出现控制量，也可通过 间接地传送控制作用，使 仍是能控的。也就是说，输入矩阵的第一行允许为全零行或非零行。于是A阵含有约当块，即可分块对角化的情况下，系统能控条件可表达为：,输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行，不得出现全零 （与约当块其它行所对应的行允许全零）；输入矩阵中与相异根对应的行不得出现全零行。当相同的特征值不是包含在一个约当块内，而是分布于不同约当块时，例如,上述判断方法不适用。这时，矩阵看作两个约当块，在分块对角化情况下，两个分块

11、又是元素相同，故不适用，仍应以能控性矩阵的秩来判断。,2.,3.,四 能控标准形问题,显见这是一个右下三角阵，其主对角线元素均为1，故 ，一定是可控的。这就是形如式(3-51)中的A、 称作可控标准形名称的由来。,一个能控系统，若其矩阵A、b不具能控形形式，则一定可选择适当变换化为能控标准形。,(3-58),(3-61),两端转置可得：,该式表出变换矩阵p中的 ，乃是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是以上原理步骤得证。,五 输出能控性,如果需要控制的是输出量，而不是状态，则需研究输出能控性。输出能控性定义为：在有限时间间隔 内，存在无约束分段连续控制函数 ，能使任意初始输出 转移到任意最终输出

12、，则称此系统是输出完全可控的，简称是输出能控的。,输出能控性的判据推导如下：设系统的动态方程为,可不失一般性地令 ，于是,状态能控性与输出能控性是两个概念，其间没有什么必然联系。,例3-10 判断下列系统的状态能控性和输出能控性：,第二节 线性定常系统的能观测性,一 离散系统的能观测性,引例 设单输入离散系统动态方程为,用递推法求解第 采样时刻的输出量：,离散系统能观测性定义如下：已知输入 的情况下，通过在有限个采样周期内量测到的输出 ， 能唯一地确定任意初始状态 的n个分量，则称系统是完全能观测的，简称是能观测的。,式中 各代表 个方程， 共计 个方程， 含有 个未知量。写成矩阵向量形式：,

13、式(3-78)为 维能观测性矩阵。在式(3-75)的 个方程中若有 个独立方程，便可确定唯一的一组 故系统能观测的充要条件是：,例3-11 判断下列系统的能观测性：,故系统可观测。,(2),显见 矩阵出现全零行，故 ，系统不能观测。,本例看出，输出矩阵为 时， 第 步便同输出确定了 ；当 时便可确定 ；当 时便可确定 ，对三阶系统来说，在三步以内能由 ， ， 测得全部状态，故能观测。而输出矩阵为 时，,可看出在三步内，其输出始终不含 ，故 是不能观测状态。以上分析表明，能观测性是与 有关的； 确定后，则与 的选择有关。,二 连续系统的能观测性,设连续系统动态方程为：,已知 、A、B、C、D，可

14、不失一般性地假定 及 于是有：,、 均称能观测性矩阵。若系统能观测，则其 对称为能观测对， 亦然。,引例 设对角化系统矩阵及输出矩阵为：,设约当化系统矩阵及输出矩阵为,设系统动态方程（已令 而不失一般性）为：,其中 为对角阵且元素各异，这时状态变量间解除了耦合。容易写出状态方程的解：,显见当输出矩阵中第一列全零时，在输出量 中均不含有 ， 是不能观测的。A为对角化且元素各异时，系统能观测的充要条件可表示为：输出矩阵中没有全零列。,A为对角形但含有相同元素时（对应于重特征值但仍能对角化的情况），以上表达方式不适用，仍应根据能观测性矩阵的秩条件来判断。,系统矩阵中含有二重特征值 及相异特征值 ，

15、。动态方程的解：,设系统动态方程如下：, 输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不得全零（允许输 出矩阵中与约当块其它列对应的列为全零）； 输出矩阵A中与阵中相异特征值对应的列不得全零。,显见输出矩阵第一列全零时，输出量 均不含有 ；若第一列不全零，必有输出量，既含有 ，又含有 ，于是输出矩阵第二列允许全零。故A阵为约当形时，系统能观测条件必满足如下两个条件：,例3-13 判断下列系统的能观测性：,1.,2.,3.,4.,5.,6.,解 1. 约当块第一列位于系统矩阵第一列，而输出矩阵第一列不全零；相异根位于系统矩阵第三列，而输出阵第三列也不全零，故能观测。 2含两个约当块，其第一列分别位于系统矩

16、阵第一列及第三列，其输出阵第一、三列不全零，故能观测。,3A已对角化且元素各异，但输出阵有全零列，故不能观 测。 4A已对角化但元素相同，输出阵虽无全零列，也不能观 测。5约当块第一列位于系统矩阵第一列，但输出阵第一列全 零，故不能观测。6含两个约当块，其第一列分别位于系统矩阵第一、三列， 但输出阵中第三列为全零列，故不能观测。,四 能观测标准形问题,设单输入线性定常系统动态方程（单输入为例）为：,计算能观测性矩阵 ：,显见这是一个右下三角阵， ，一定是能观测的，这就是形如式(3-92)、式(3-93)中的A、C称作能观测标准形名称的由来。,一个能观测系统，若其矩阵A、C不具能观测标准形时，定

17、可选择适当变换化为能观测标准形，其变换矩阵的求法见对偶原理一节。,五 线性变换的特性,在前面所作的分析中，为了便于研究系统各种特性，需对系统进行线性变换，所有这些变换都是满秩线性变换，如将A阵化对角形或约当形需进行P变换，将A、b化为能控标准形需进行 变换，将A、C化为可观测标准形需进行 变换等等。引入线性变换后，对于系统的特性，如特征值、可控性、可观测性，是否会引起改变呢？下面来分析论证。,设系统动态方程为：,以引入 变换为例，即令 ，于是变换后：,2. 线性变换后系统能控性不变。,3.线性变换后系统能观测性不变。,4线性变换后系统传递矩阵不变（其证明见第一章第四节）。,第三节 能控性、能观

18、测性与传递函数（矩阵）关系,描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数之间，是必然存在密切关系的，这里揭示出能控性、能观测性与传递函数的零极点对消现象之间的关系，可用来判断单输入-单输出系统的能控性、能观测性；传递函数矩阵的行或列的线性相关性，可用来判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性。这是又一种判断系统的能控性、能观测性的判据，是在s域内的判据。,一 单输入-单输出系统,设系统动态方程为：,当A阵具有相异特征值 时，引入满秩线性变换 一定可使A对角化，得：,其传递函数 ：,以上特性反映在传递函数中，必出现 的项，而此时传递函数中必存在零极点对消的现象，如 由状态

19、方程表示出的n阶系统，但其传递函数分母阶次（即特征方程阶次）却小于n。,故当由动态导出的传递函数存在零极点对消时，该系统或是能控不能观测、或是能观测不能控、或是不能控不能观测，三者必居其一。当由可约的传递函数列写其实现方式时，也必列写出以上三种类型的动态方程，视状态变量的选择而定。,当 时， 既能控又能观测。这时由动态方程导出传递函数后，不存在零极点对消现象。由不可约传递函数列写其实现方式时，其动态方程必是能控、能观测的，与状态变量选择无关。,当A阵具有重特征值时，情况又将如何呢？假定线性变换后得到如下约当化动态方程：,其传递函数 :,(3-100),根据A阵约当化后利用输入、输出矩阵判断能控

20、、能观测的判据，可知：,当 时，系统能控； 当 时，系统能观测； 至于 时，并不影响能控能观测性。以上特性反映在传递函数中，同样是不出现零极点对消现象。故对单输入-单输出系统可综合出以下判据： 无论A阵有相异或重特征值，系统能控能观测的充要条件是：传递函数没有零极点对消，或传递函数不可约。 但以上判据不适用于多输入-多输出系统，以及多输入-多输出、单输入-多输出系统。,例3-14 已知下列动态方程，试研究能控性、能观测性与传递函数的关系：,3.,1对 为能控标准形，故能控，则不可观测； 2对 为能观测标准形，故能观测，则不可控； 3用A阵对角化后的输入、输出矩阵可判断不能控、不能观测。,试写出

21、串联连接系统物动态方程（设 ）；考察串联连接系统的能控性、能观测性；求 及串联连接系统的传递函数并验证能控性能观测性结果。,解 1. 求串联系统动态方程：输入为 ，输出为 ，利用串联连接条件 ，有：,串联连接系统的传递函数 ：,显见存在零极点对消，使特征方程阶次降低，故不能控。,二 多输入-多输出系统,多输入-多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的，这时需利用传递矩阵中的行或列向量的线性相关性来作出判断。传递矩阵 的元素一般是的多项式。设 表示为列向量组：,成立，则称 是线性相关的，若只有当 全为零时，式(3-101)才成立，则称 是线性无关的。,有如下判据：,以

22、上判据也可适用于单输入-单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消，线性相关时必有零极点对消，也就是说，它们是一致的。,运用以上判据判断多输入-多输出系统的能控性、能观测性时，只需检查行或列的线性相关性，至于传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。,例3-16 试判断下列比输入-双输出系统的能控性、能观测性： ，式中,利用同次项系数对应相等的条件，得 。故只有 时，才能满足方程，可判断式中三行线性无关，故系统能控，与零极点存在对消现象无关。由于,例3-17 试判断下列单输入-单输出系统的能控性、能观测性： ，式中,解 计算能控性阵、能观测性阵的秩：,故不可控。,故不可观测。,计算传递矩阵：,

23、可求得不全零的 使式成立，故不能观测。,由传递函数存在零极点对消，也可得出不能控、不能观测的相同结论。,第四节 对 偶 原 理,系统 的能控(能观测）条件与对偶系统 的能观测（能控）条件完全相同，称对偶原理。,应注意到，系统 与 的输入向量分别是 维和 维的；输出向量分别是 维和 维的，即系统与对偶系统之间，输入、输出向量的维数是相交换的。,不难验证， 系统的能控性矩阵为,应用对偶原理，一个系统的能控性（能观测性）可用对偶系统的能观测性（能控性）来检查。,已知系统能观测，但 不是能观测标准形。对偶系统为： ，它一定能控，但不是能控标准形。于是，可利用已知的化为能控标准形的原理与步骤：,第五节

24、线性时变系统的能控性和能观测性,时变系统动态方程中的 的元素均为时间函数，定常系统中关于由常数矩阵 构成的可控性、可观测性判据不以适用了，这里首先遇到如何定义时变列向量的线性无关性问题,其转置矩阵,则格兰姆阵定义 为：,利用格兰姆行列式det 或格兰姆矩阵 能表示出给定矩阵 的列向量是否相关的条件。,该式表示出 为正定二次型函数， 为正定矩阵。已知正定矩阵存在 。于是矩阵 的 个列向量线性无关的充要条件可表示为：格兰姆阵 是正定的，或格兰姆行列式不为零 ，或格兰姆阵是非奇异的。,同理，可根据 的正定或非奇异来确定 的 个行向量无关。在时变系统情况下， 各元素均为时间函数，如果在某时刻系统可控，

25、在另一时刻则可能是不可控的。因此，想判断 时间间隔内诸时变列向量的线性无关性，应考虑在 区间内由如下积分所构成的格兰姆阵是否正定或非奇异来确定：,二、时变系统的能控性,设时变系统状态方程为,若存在一个控制向量 ，在 区间内能使任意起始时刻的任意初态 转移到任意终态 ，则称时变系统在区间是完全可控的。这里仍不失一般性地假定 。,在 区间成立。那么 时，状态方程的解,左乘 ，且选择一个特殊初态 ,有：,考虑到 及及式(1-122)，应存在 ，这意味着 必须为零向量，而与前面假定 为非零向量是相矛盾的。于是证明了可控系统的 必非奇异。,应用以上判据需计算 ，计算量相当大，需计算机来进行。,有必要重复

26、提出， 的非奇异表明 的行向量线性无关，或 的列向量线性无关。,由格兰姆阵(3-118)可导出定常的能控判据。这时， 都是常数矩阵，状态转移矩阵与起始时刻 无关，因而可假定 这时格兰姆阵变为：,的行向量线性无关。可见，定常系统能控性判据是时变系统能控性判据的特例。,式 为 中阶单位矩阵， 均为幂函数，是线性无关的于是 的行向量线性无关表明,三 时变系统的能观测性,能根据 区间测得的输出向量 唯一确定系统任意初始状态 ，则称时变系统在 区间是完全能观测的。,式(3-131)两端左乘 ，并在 区间取积分，得 ：,与式(3-131)相比， 在区间 恒为零，这时便不能观测到初态 ，因而与能观测的假定相

27、矛盾。于是证明了能观测系统的 必非奇异。,也有必要重复提出， 非奇异表明 的列向量线性无关，或 的行向量线性无关。,以上我们研究了多种形式的能控性、能观测性判据，现总结如下：能控性判据, A阵对角化且有相异特征值时，输入矩阵无全零行（A阵元素 相同时不适用）； A阵约当化时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行不全零；输入矩阵中与相异特征值对应的行不全零（相同的重特征值若分布在几个子约当块内时不适用）； 单输入-单输出系统的传递函数无零极点对消（多输入-多输 出系统不适用）；或若有对消，仍能观测，则不能控。,第五节 线性定常系统的典范分解,引例 研究下列系统动态方程的各状态变量的能控性、能观测性

28、及传递函数：,解 按A阵对角化后的能控性、能观测性判据可知： ：能控，不能观测； ：能控，能观测； ：不能控，能观测； ：不能控，不能观测。,计算传递函数,在系统中只要有一个状态变量不能控，则系统便称不能控，那么不能控系统便含有能控、不能控两种状态变量；只要有一个状态变量不能观测，则系统便称为不能观测，那么不能观测系统便含有能观测、不能观测两种状态变量。从能控性、能观测性观点出发，把状态变量分成四类（如引例），由对应变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，把系统也对应分成四类子系统，称为系统的典范分解。至于一个具体系统，究竟能分解为哪几类状态变量或含有哪几类子系统，需由系统特性和状态变量的选择决定

29、。对系统动态方程进行一种特殊的线性变换，可以得到典范分解的动态方程，方程的结构形式呈现某种标准构造，可清晰表出能控性、能观测性及传递特性。,一 能控状态的分离,其阵 为：,令 ，系统变换为 ，式中,能控部分动态方程为：,二 能观测状态的分离,式(3-138)所示系统不能观测时，以观测性矩阵有： ，这时由能观测性矩阵中选出 个线性无关列向量，另外加上任意选择的 个列向量，构成非奇异的 变换矩阵；引入 变换，可将式（3-138）变换为式(3-139)、式(3-140)，其中,由 选出两个线性无关向量，附加一个任意向量，构成 非奇异阵：,于是， ， 也为非奇异阵，其 为：,令 ，系统变换为 ，式中,

30、能观测部分动态方程为：,三 标准分解定理,其中 为能控、能观测状态子向量； 为能控、不能观测状态子向量； 为不能控、能观测状态子向量； 为不能控、不能观测状态子向量。系统的极点由 矩阵的特征值集合而成。,为能控、能观测部分的动态方程。式(3-146)与式(3-145)具有相同的传递函数矩阵：,故用系统输入-输出特性即传递函数矩阵来描述系统时，仅描述了能控、能观测子系统的特性，任何不能控、不能观测的状态及其对应的极点均被消去而不影响传递函数。当不能控的状态不稳定时，传递函数又不能表出， 这时传递函数描述会误认为系统是稳定的，而实际上并不稳定。,1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。在现代控制理论中的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线性滤波与预测问题的新方法）。,卡尔曼,卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953、1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。,