流体力学第三章ppt课件.ppt

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1、第三章 理想流体动力学基本方程,理想流体： 不计粘性切应力的运动流体一元流动： 流动参数主要跟一个座标方向 有关的流动本章讨论理想流体的基本方程及 在一元流动中的基本应用,流体动力学是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系，以及引起运动的原因和流体对周围固体物体的影响。 流动参量：压力 密度 表面张力 速度 应力 作用力 粘度 力矩 动量 能量,流体运动学,研究方法：从理想流体出发，推导其基本理论，再根据实际流体的条件对其应用加以修正。 流场：流体占据的全部空间范围。经过管道或明渠的流场叫“管道流场”或“径流流场”；绕过物体的流场叫“绕流流场”,流体运动学,连续介质模型的引入，使我们可以把流

2、体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。 由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。,3-1 描述流体运动的两种方法,拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本以研究个别流体质点的运动为基础；研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。,设某质点的轨迹为：x=x(t), y=y(

3、t), z=z(t),速度：,加速度：,在理论力学中应用：,拉格朗日法：,流场有无数个质点，设其中某一质点t=0时的位置为（a,b,c），称为拉格朗日变数，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。将座标原点建在该质点，则对于任意的流体质点在t时刻：,轨迹：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t),速度：,加速度：,拉格朗日法,欧拉法,欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个固定空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和

4、时间t的函数，,欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动参数（速度、压力、密度），并给出这些参数与空间点和时间的分布：速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)， w=w (x, y, z, t)压力：p=p (x, y, z, t) 密度：=(x, y, z, t),欧拉法,速度分布,设某个质点，t 时刻位于（x, y, z），速度为：,t+t 时刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t),速度为：,V0和V1的关系为,加速度（质点导数）,而,注意到,因此,右边第一项为当地加速度，又称当地导数、时变加速度或局部加速度，后三项为迁移加速度，又称迁移导数

5、、对流加速度。,当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产生的。当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。 两个加速度的物理意义： 如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。,图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动,注意：

6、流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流场中的一些点流体质点不断流过空间点空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。,加速度的投影值：,定常流与非定常流,概念： 定常流动： 非定常流动 一元流动 二元流动（平面流动） 三元流动（空间流动）,例题, 拉格朗日法可以描述流场中各个质点的运动轨迹和轨迹上运动参量的变化，但是流体具有易流动性，对每一个质点的跟踪十分困难。, 欧拉法给出不同时刻流场中各个空间点的流动参量的分布，通过连续函数的理论对流场进行分析和计算；不注重各个质点的运动轨迹。,欧拉法与拉格朗日法比较,由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其

7、原因有三。利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。,欧拉法与拉格朗日法比较,3-2 迹线、流线与流管,1、迹线和流线,迹线：空间某一流体质点的运动轨迹线 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。,流场中所有的流

8、体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线。,烟火迹线,彗星迹线,流线:在固定时刻t, 设流动空间中有某曲线, 该曲线上每 一点的切线都与该点的流体速度方向相同, 则称此 曲线称为流线。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。,流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。 流线的引入

9、是欧拉法的研究特点。,在运动流体的整个空间，可绘出一系列的流线，称为流线簇。流线簇构成的流线图称为流谱。,钝体后流线图,汽车外部空气流线,流线的性质:1. 流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中各点速度的变化，流线密集的地方流动速度较大，流线稀疏的地方速度较小。 2. 对于定常流，流线的形状和位置不随时间而变化。 3. 定常流时，流线和迹线重合。 4. 流线不能相交，不能折转，只能是一条光滑曲线。,图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点0的迹线.,对定常流动，迹线和流线重合。,迹线和流线的区别：,迹线是流体质点在t0t时间段的运动轨迹，是实在的；流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速

10、度大小的假象线。 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间而变与质点无关。 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流线重合。,迹线方程,质点速度：,故,或写成：,称为迹线方程。,流线方程,设流线微段为:,该点的流体速度为:,因为, 平行于 ，两矢量的分量对应成比例:,称为流线方程。,* 思考：和迹线方程的比较？,例3-1,已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0,求t=2，经过点（0，0）的流线,解: t=2时，u=(y+4)，v=x+2，w=0,流线方程 d z =0,流线过点（0，0） c=10,流线方程为 (x+2)2+(y+4)2=20,特例分析：对一平面不可压非定

11、常流，速度分布为u=xt，v=-yt，分别求其流线和迹线方程。,流线微分方程：,代入u，v分布,积分，得,当x=x0，y=y0时，可得C1=x0y0，所以过空间固定点（x0，y0）的流线方程为,由此可见，对于非定常流，流线的形状和位置也可能不随时间而变化。,迹线方程为,代入u，v分布，得,积分，得,设t=t0时，x=x0，y=y0，可求得积分常数A，B，由以上两式消去参数t，即可得过点（x0，y0）的迹线方程为,由此可见，对本例中的非定常流，不同时刻过空间固定点（X0，y0）的流线与迹线是重合的。,原因分析：,用表示空间点（x0，y0）处流体速度与x轴的夹角，则,由此可见，虽然流速u，v既是空

12、间坐标的函数，也是时间的函数，但速度的方向却只是空间坐标的函数，这就导致了其流线与迹线有与定常流相似的性质。,流管和流束的概念,流管:在一条封闭曲线上的每一点作流线,这些流线所 围成的管状面称为流管.,流束:流管内的运动流体称为流束.,流管表面的流体速度与管表面相切，因此，没有流体质点会穿过流管表面。,总流:工程上把由无数微小流束组成的流动称为总流。,体积流量：单位时间内，流过某一曲面的流体体积称为该曲面的体积流量。,质量流量：单位时间内，流过某一曲面的流体质量称为该曲面的质量流量。,流量,要计算总流的流量，可以在总流中取一个横截面，则此横截面上的流量就是总流的流量。,过流断面,在流管内任取一

13、微元面dA，过其上的每一点作流线，叫微元流束，如果dA与微元流束的每一根流线都正交，则dA叫做有效流通截面（过流断面、有效截面）。,有效截面,实际计算中，常采用过流断面来计算总流流量,平均流速： 流量与过流断面的面积之比。,平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。 将流动简化为一元时，可以简化工程实际问题，其前提是流动截面上的流速是均匀的。,根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，可将总流分为均匀流和非均匀流。若同一条流线各空间点上的流速相同则称为均匀流，否则称为非均匀流。 由此定

14、义可知在均匀流中，流线是彼此平行的直线，过流断面（有效截面）是平面。如在等直径的直管道内的水流都是均匀流(图3-9)。注意在均匀流中各流线上的流速大小不定彼此相等在非均匀流中，流线或者是不平行的直线，或者是曲线，如图3-10所示。一般非均匀流的过流断面（有效截面）是曲面。,均匀流和非均匀流,图 3-9 均匀流,图 3-10 非均匀流,非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种（图3-11）。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）变流。显然，缓（渐）变流的流线的曲率半径r较大，流线之间的夹角较小。因此，缓（渐）变流是一种流线几乎平行又近似直线

15、的流动，其极限情况就是均匀流。缓（渐）变流的有效截面可看作平面，但是缓（渐）变流各个过水断面的形状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布图形也是沿程逐渐改变的。流速的大小和方向沿流线急剧变化的非均匀流，称为急变流。急变流流线之间的夹角较大，或者流线曲率半径较小，或者两者兼而有之。,缓变流和急变流,急变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,急变流,急变流,急变流,急变流,图 3-11 缓变流和急变流,习题,3-23-3,3-3 连续性方程,系统和控制体的概念系统：固定的流体质点的集合。 系统的位置，形状及边界可以随时间而变化，但系统包含 的流体质量不变。系统的流体质量为：,质量守

16、恒:系统的质量在任何时刻都相等：,控制体的概念,控制体是指一个空间固定体（或区域）。控制体既不运动也不变形，控制体表面可以有流体出入。,流体系统，控制体及两者的区别,图中，控制体的边界（控制面）A是流体系统在时刻t的边界，t+t时刻，系统运动到新的边界A（t+t），而控制体保持不变。,连续性方程,如图所示，从时刻t到t+t，系统内流体质量的变化可以表示为,而：,vn是系统表面的法向速度。,该式对于一般物理量（如动量，能量）也成立：,根据质量守恒，可得：,称为积分形式的连续性方程。其物理意义是，控制体内单位时间内由于密度变化引起的质量增加量与单位时间内经过控制体表面流出的质量之和等于零。,（雷诺

17、输运定理）,由此可得,特例,定常流动:,固定边界区域流动：1V1A1=2V2A2,不可压: V1A1=V2A2,式中：A1、A2为过流断面的面积， V1、V2为平均流速。,微分形式连续性方程,左侧面流入质量:,右侧面流出质量:,如图所示，取一边长为dx，dy，dz的控制体，在时刻t，中心点流体密度为，速度分量为u，v，w。,则x方向纯流出的质量为:,同理, y方向纯流出的质量为:,密度变化引起控制体内质量的减少:,z方向纯流出的质量为:,即,或,于是，,这就是微分形式的连续性方程。,微分形式连续性方程,定常流动:,=常数时（不可压流动）：,或,附：极（柱）坐标方程,极坐标和直角坐标的速度分量的

18、关系,极坐标形式的连续性方程：,习题,3-53-73-9,3-4 理想流体动量方程和运动方程,根据牛顿第二定律 ，流体的动量定理可以表示为,对于理想流体，作用在控制体上的外力只有质量力和压力，利用雷诺输运定理，可以将上式写为,这就是积分形式的理想流体动量方程。,在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图3-15所示。对于理想流体，没有粘性，作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p，密度为。,x方向 m ax=Fx,即,同理,由牛顿第二定律：,或写成：,

19、或：,称为：理想流体运动微分方程,* 对于静止流体，u=v=w=0，则由该式可以得出静止流体的 欧拉平衡微分方程。,理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下： (1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。,3-5 伯努利方程 (Bernoulli equation,1738),因此理想流体的运动微分方程可写成,1) 理想流体定常流动：,分别以dx、dy、dz乘三个方向的运动方程,同理有,因此：,2) 流线方程：,将(1)、(2)、(3)式相加：,因为：,3) 重力场

20、中：,由(4)(5)(6)(7)式，得：,此即微分形式的伯努利方程,4) 对不可压流体，为常数，积分上式：,即理想流体伯努利方程积分式。,伯努利方程的物理意义,z表示单位重量流体所具有的位势能；p/(g)表示单位重量流体的压强势能；V2/(2g)表示单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换。伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。,理想流体伯努

21、利方程三种形式,1) 能量形式,单位：J/kg,2) 压头（压强）形式,单位：Pa,3) 水头形式,单位：mH2O,伯努利方程的物理意义,能量意义：,沿流线，(压力能势能动能)守恒,沿流线，(静压位压动压=总压)守恒,几何意义：,沿流线, (压力水头位置水头速度水头)总水头, 即：沿流线总水头守恒,几何意义图 p/(g)表示单位重量流体的压强水头， Z表示单位重量流体的位置水头， V2/(2g)表示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系

22、，如图3-16所示。因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的压强水头、位置水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。,图 3-16 总水头线和静水头线,伯努利方程应用,1、静压管、总压管测速度,P0=Pa+g(h+x) （总压）,P1=Pa+g x （静压）,2、毕托管(Pitot Tube)测流速,用于测点速度.,沿流线伯努利方程,3-6 压强沿流线法向的变化,设流线某处的曲率半径为r ，法向运动方程为,（适用于缓变流）,3-7 总流的伯努利方程,总流：全部流束的总体,研究总流在截面11和22的部份，取某一流

23、束，速度和截面积为u1, dA1和u2，dA2。,伯努利方程,不可压缩连续方程 u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2,作积分,设两截面处在缓变流中，在11和22截面上，z+p/g=常数,则,对圆管层流，=2；工程上的管流一般为湍流，1,z, p 通常在截面中心取值，对管流，可在轴线上取值。,总流伯努利方程的应用条件：,流动定常。理想流体。不可压缩流体。只在重力场中。两截面处在缓变流，但两截面之间可以出现急变流。,对若干支总流的分支或汇合,gz+V2/2+p=gz1+1V12/2+p1,gz+V2/2+p=gz2+2V22/2+p2,1、小孔定常出流,对00和11：,该式称为托里拆利定理/

24、公式（1628年）。,3-8 总流伯努利方程应用,2、文丘里流量计(Venturi Meter)对截面1和2，总流伯努利方程,如果用水银压差计测压差则有p1+g(x+h)=p2+g(z2-z1+x)+gh,为流量系数，一般=0.950.98。,3、烟囱排烟原理对截面1和2，总流伯努利方程,设烟囱周围大气压为 Pa1，Pa2,则烟囱正常排烟时，,称为烟囱的自然抽力，通常为负值，说明烟囱底部是负压。并且只有流体的密度小于空气的密度时才能自然排出。,可见，H越大时，烟囱的自然抽力也越大。,但,总流伯努利方程的推广,1、风机,2、水泵,3、涡轮机,其中，P为风机的静压头，Pa,其中，H为水泵的扬程，m

25、H2O,其中，N为涡轮机的输出功，J/kg,伯努利方程应用时特别注意的几个问题 伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点： (1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。 (2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自

26、由液面，速度可以视为零来处理.,(3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。 (4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。 (5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上点的压强，又取同一有效截面上另一点的速度。,例3-2. 有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中

27、流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。,所以管内流量,代入到式（1）,则,【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程,当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出值,（1）,例3-3. 水流通过如图所示管路流入大气，已知：形测压管中水银柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。,【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：,则,列1-1和2-2断面的伯努利方程,由连续性方程：,将已知

28、数据代入式（1），得,（1）,管中流量,采用动坐标，离心惯性力属质量力,沿动坐标的一条流线S，运动方程为,加速度:,质量力有重力和惯性力,3-9叶轮机械的伯努利方程,表示：出口水头入口水头转动动能的变化量（做功）,积分得,该式即为叶轮机械内理想流体定常流动的伯努利方程。,设流体沿通道的相对运动速度为ur，牵连速度为uc=r，绝对速度V是牵连速度及相对速度之和:,速度三角形,且有:,3-10 非定常流动的伯努利方程,非定常一元流动的运动方程：,或,沿流线从1到2点积分,例 旁管非定常流出流,即,容器的旁管打开瞬间，出流速度从零开始增加。容器内速度视为零，水深 h 可视常数,当t时，,（定常解）,

29、例: U形管中的液体振荡,初始时，液面在虚线上,振荡时，左液面向下位移x，右液面向上位移x。,设液柱之长为l，运动方程可写为,例 习题3-21,水库的出水管设有调压井, 已知 l,d,h,D,求调压井水面的震荡周期.解:,习题,3-103-123-143-17,求解物体所受流体的作用力（或力矩）利用流体运动微分方程： 根据边界条件求出速度与压强分布（求解困难）利用动量方程和动量矩方程求解 不需要了解流动的细节，仅根据边界上的流动状况就可以求解。,3-11 动量方程与动量矩方程,即,质点动量方程:,系统的动量方程：,对于控制体，不计粘性力影响,则有动量方程,动量方程,总流的动量方程：,对于定常流

30、动：,物理意义：流出控制体的动量等于作用在控制体上的外力和。,总流的动量方程与动量矩方程,对圆管层流，=4/3，工程上的管流为湍流，1.021.05 1,注意事项,动量方程和动量矩方程是矢量式，为便于计算，应选择一个合适的坐标系，求出各项在坐标轴上的投影值。选择一个合适的控制体。方程的未知数较多，要与连续性方程和伯努利方程联合才能求解。,应用1水流对弯管的作用力,分析管壁受力,设：为固定弯管所需外力为F,分析控制体内水的受力（不计重力）,注意：控制面上的压强一律采用表压强！,例:求固定弯管所需外力,已知:Q=0.08m3/s，d1=0.3m，d2=0.2m， =30，p1-pa=12kN/m2

31、，求F x ,F y.,解: V1=Q/A1=1.13m/s,V2=Q/A2=2.55m/s,得 p2-pa=p1-pa+(V12-V22)/2=9387N,Fx=-(p1-pa)A1+(p2-pa)A2cos+Q(V2cos-V1)=-506.6N,Fy=(p2-pa)A2sin-QV2 sin =249.5N,应用2水流对喷嘴的合力,已知:管径,d1,d2,截面1的表压强p1-pa,求为固定喷嘴所需的力F.,设喷嘴给水流的合力为F，则：,（p1- pa）A1- (p2- pa）A2-F=Q(V2 - V1), p2= pa F=（p1 - pa）A1 -Q(V2 - V1),今求V1和V2

32、，根据伯努利方程和连续方程,应用3水流对水坝的合力,已知:上下游水深h1和h2,求水坝给水流的合力F.,由连续性方程,得,应用4射流对固定平板的作用力,由于p1=p2=pa，忽略重力作用，根据伯努利方程，有： V1=V2=V,因: Q1+Q2=Q 所以:,y,应用5. 射流对固定叶片的作用力,设叶片给水体的合力为Fx和Fy,如图所示,不计重力作用,由动量方程，得,在叶轮机械中，设射流绝对速度为V0,叶片运动速度为u，将坐标轴固定在叶片上。,控制面上流体的相对速度为V0-u,应用6物体阻力,物体上游速度均匀分布V0.,物体下游的速度分布为,试用动量定理求物体的阻力.,取如图的两条流线，对控制体应

33、用动量方程：,h1为上游半宽，待求.F为物体给流体的合力(即阻力),应用7. 叶轮机械欧拉方程,假设：1）二维不可压定常，2）叶片无限多、无限薄， 3）忽略粘性，4）任一园周面上流速均匀,对微小流束，对转轴的动量矩：,沿园周积分：M=Q(V2r2cos2V1r1cos1),根据动量矩方程,得dM=dQ(V2r2cos2V1r1cos1),当P0时，叶轮机械对流体做功，流体从内轮流 入，从外轮流出，a1、a2均小于900；（水泵，风机）当P0时，流体对叶轮机械做功，流体从外轮流入，从内轮流出，a1、a2均大于900。（水轮机）,此即为叶轮机械欧拉方程。,外力矩的功率为:,应用7洒水器转速,设为顺时针方向，则阻力矩为逆时针方向，则：,M=2Q（V sinR）R,阻力为零时，M=0，则,（V=Q/A）,思考：1. 如果周围是固体壁能转吗？ 2. 如果是单臂如何？,习题,3-223-263-293-313-34,