点和圆直线和圆的位置关系课件.pptx

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1、24.2点和圆、直线和圆的位置关系,24.2.1点和圆的位置关系,知识点一,知识点二,知识点三,知识点一点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系:点在圆内、点在圆上、点在圆外.名师解读:确定点与圆的位置关系的方法有两种:一是可用图形上的位置来判断:如图所示,知识点一,知识点二,知识点三,设圆O的半径为r,则有:(1)若点A在圆O的内部,则OAr.反之:(1)若OAr,则点C在圆O的外部.二是利用数量关系来判断:一般地,如果P是圆所在平面内的一点,d表示点P到圆心O的距离,r表示圆的半径,则有:点P在O上d=r;点P在O内dr.,知识点一,知识点二,知识点三,例1如图,以点O(1,1)为圆心,OO为

2、半径画圆,判断点P(-1,1),点Q(1,0),点R(2,2)和O的位置关系.,知识点一,知识点二,知识点三,要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离(d)与半径(r)的大小关系;根据它们之间的对应关系确定即可.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点二不在同一条直线上的三点确定圆不在同一条直线上的三点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.名师解读:(1)一个三角形有且只有一个外接圆,而一个圆可以有无数多个内接三角形.(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,都等于三角形外接圆的半径.,

3、知识点一,知识点二,知识点三,例2三角形外心具有的性质是()A.到三个顶点距离相等B.到三边距离相等C.外心必在三角形外D.到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍解析:三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,外心到三个顶点距离相等.答案:A,知识点一,知识点二,知识点三,理解三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点是解答的关键.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点三反证法假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.名师解读:用反证法证明命题的一般步骤:(1)否定结论假设命题的结论不

4、成立;(2)推出矛盾从假设出发,根据已知条件,经过推理论证,得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果;(3)肯定结论由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,知识点一,知识点二,知识点三,例3用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45”时,应先假设()A.有一个锐角小于45B.每一个锐角都小于45C.有一个锐角大于45D.每一个锐角都大于45答案:D,知识点一,知识点二,知识点三,(1)使用反证法的前提是直接证法比较“困难”.(2)解答问题的关键是第一步“假设”,在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如:“都是”的否定是“不都是”,大

5、于的否定是“不大于”即“小于等于”等等.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点一圆的存在性与点和圆的位置关系例1A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是()A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内解析:A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,AB+BC=AC,则B是线段AC的中点,可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外.答案:B,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点二几何图形上的点与圆的位置关系

6、例2在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,A的半径为r,若B,D在A内,C在A外,则r的取值范围是()A.34,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解析:如图所示,要想矩形的顶点B,D在A内,C在A外,r必须大于AD,且小于AC,而AD=4,AC= =5,所以r的范围为4r5.答案:C,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解答这类问题抓住点到圆心的距离与圆半径的大小关系,数形结合,根据已知得出r与各边长的关系是解题关键.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点三与外接圆有关的综合题例3在等腰ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求等腰ABC外接圆的半径.分析:设O为ABC外接圆的圆心,连接

7、AO,并延长AO交BC于D,连接OB,OC,得出ADBC,BD=DC,根据勾股定理求出AD,设出等腰ABC外接圆的半径,在RtOBD中,由勾股定理得出OB2=OD2+BD2,代入求出即可.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点一,拓展点二,拓展点三,解答这类问题,关键是通过作辅助线,利用外接圆的性质和等腰三角形的性质进行分析.由于是等腰三角形,容易想到过A作AD垂直于BC交于点D,此时需要说明圆心O在AD上,否则错误.,24.2.2直线和圆的位置关系,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点一直线与圆的位置关系 直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆

8、的割线.直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线.直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离.设O的半径为r,点O到直线l的距离为d,则直线l和O相交dr.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,名师解读:直线和圆的位置关系,还可用下表表示:,判定一条直线与圆的位置关系时,既可以用直线与圆的公共点的个数来判定它们的位置关系,也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定它们的位置关系.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,例1如图,ABC中,C=90,B=60,AO=x,O在AB上,且O的半径为1.问当x在什么范围内取值时AC与O

9、相离、相切、相交?,分析:由三角形的内角和定理可求出A的大小,根据含30角的直角三角形的性质即可得到OD和AO的关系,(1)若圆O与AC相离,则有OD大于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围;(2)若圆O与AC相切,则有OD=r,求出x的值即可;(3)若圆O与AC相交,则有OD小于r,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,解答这类问题时,可以先画出草图,利用直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.,知识点一,知识点二,知识点三,知

10、识点四,知识点五,知识点二切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.名师解读:切线的判定方法可以归纳为两种:(1)定义法:和圆有唯一公共点的直线是圆的切线或到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;(2)切线的判定定理.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,例2如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆交BC于D,DEAC交AC于E.求证:DE是O的切线.分析:连接OD,由OB=OD,AB=AC,可得到ODB=C,即ODAC,而DEAC,即可得到ODDE,从而得到DE是O的切线.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,

11、知识点五,证明:如图所示,连接OD,则OB=OD,OBD=ODB.又AB=AC,OBD=C.ODB=C.ODAC.又DEAC,ODDE.DE是O的切线.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,当已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知直线垂直即可.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点三切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.名师解读:切线的性质定理与判定定理互为逆定理,切线的判定定理是由“垂直得切线”;而性质定理是由“切线得垂直”.当已知条件中有切线,而图形中没有经过切点的半径(或直径)时,通常作出经过切点的半径,这是解答

12、这类问题的常规辅助线.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,例3如图,P是O外一点,PA是O的切线,A为切点,PO与O相交于B点,已知P=28,C为O上一点,连接CA,CB,则C的度数为()A.28B.62C.31D.56,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,当题目中有圆的切点,而过切点的半径又没有时,一般作出这条半径,再利用切线的性质定理结合圆周角等其他知识来求解.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点四切线长及其定理切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长

13、.定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.名师解读:理解“切线长”时可以类比“两点间的距离”,切线长是数量,而不是图形.运用切线长定理可以得出角相等和线段相等,因此,在解答与两条切线有关的问题时,常常运用此定理找相等的角或线段.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,例4如图,PA,PB分别切O于A,B,PA=10 cm,C是劣弧 上的点(不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点E,F.则PEF的周长为()A.10 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,解析:

14、由于PEF的三边都是变化的,而图形中有三条圆的切线,故易考虑到使用切线长定理进行转化.PA,PB分别切O于A,B,PB=PA=10 cm.EA与EC为O的切线,EA=EC,同理得到FC=FB,PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=10+10=20(cm).答案:C,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,解答本题关键是运用切线长定理得出EC=AE,CF=FB,最后把三角形的周长转化成两条切线长的和.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点五内切圆及内心内切圆:与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内心:内切

15、圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.名师解读:(1)一个三角形有且只有一个内切圆,而一个圆的外切三角形有无数多个.(2)三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点,这点到三角形三边的距离相等,一定在三角形的内部.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,例5如图,O是RtABC的内切圆,D,E,F分别为切点,ACB=90,则EDF的度数为()A.25B.30C.45D.60,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,解析:由于EDF是圆周角,所以考虑构造出所对的弧所对的圆心角,又有切点,所以想到连接OE,OF.O是RtABC的内切圆,D,E,F分别为切点,O

16、EBC,OFAC.OEC=OFC=90.C=90,由四边形的内角和得EOF=90.EDF= EOF=45.答案:C,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,解答这类问题的关键是构造出EDF所对应的圆心角.,拓展点一,拓展点二,拓展点一直线与圆的位置关系的灵活运用例1如图所示,正方形的边长为4,O的半径为1,正方形中心O1与圆心O在直线l上,O与CD边相切,O以1 cm/s的速度向左边运动.,(1)当运动时间t在何数值范围时O与CD相交?(2)当t为何值时,O与AB相切?,拓展点一,拓展点二,分析:(1)由t=0或t=2时,O与CD边相切,得出当0t2时,O与CD相交;(2)由t=4或

17、6时,O到AB的距离d=1,得出O与AB相切.解:(1)根据题意得,当t=0或t=2时,O与CD边相切,故当0t2时,O到CD的距离d1,O与CD相交.(2)根据题意得,当t=4时,O到AB的距离d=1,O与AB相切;当t=6时,O到AB的距离d=1,O与AB相切.综上所述,当t=4或6时,O与AB相切.,拓展点一,拓展点二,解答这类问题,仔细观察图形,由题意得出圆心到直线的距离d与半径r的数量关系是解决问题的关键.,拓展点一,拓展点二,拓展点二证明圆的切线的常用方法例2如图,已知AB为O的直径,过点B作O的切线BC,连接OC,弦ADOC.求证:CD是O的切线.,拓展点一,拓展点二,分析:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是O的切线,只要证明ODC=90即可,而易发现图形中的ABC是直角,只要设法证明CDO=ABC即可.,拓展点一,拓展点二,证明:连接OD.OCAD,1=3,2=4.OA=OD,1=2.3=4.又OB=OD,OC=OC,OBCODC.OBC=ODC.BC是O的切线,OBC=90.ODC=90.DC是O的切线.,拓展点一,拓展点二,解答这类既有圆的切线,又要求证明圆的切线的问题,可以从切线的性质出发,结合其他条件,数形结合进行分析,逐步探求出证明的思路.,