求曲线方程的常用方法课件.ppt

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1、轨迹法定义法待定系数法直接法代入法参数法,求曲线方程,轨迹法求曲线方程,例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x= -5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。,O,3,-5,A,x,y,m,解法一轨迹法,思考：如何化去绝对值号？,P点在直线左侧时，|PH| -5,P,如图，,P,H,例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x,例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x= -5的距离少2。求：动点P的轨迹方程。,3,-5,A,x,y,m,解法一 轨迹法,解法二,定义法,如图，,则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。,P（x

2、，y）,故，点P的轨迹是,A,n,例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x,例2已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）; （3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.,例2已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（,【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比

3、P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离.,【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲,【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=64=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= ，因此其方程为 （y0）. （2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a=1，2c=4，即a= ,c=2,b= ，因此其方程为,【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=,（3）依题意，知动点P

4、到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.因此其方程为y2=-8x.,【小结】解题时应注意动点的几何特征，若盲目进行代数运算则可能较繁琐.,【小结】解题时应注意动,例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。,O,解,则,|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a,所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a,即,例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个,例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为

5、其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B。求：该椭圆方程。,O,解,得,D,|AD| + |AC| = 2a,|AC| =,|AD| =,|DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ ）2 + 16 = 24,2c,6，,（2 + ）2 - 6 =,故所求椭圆方程为,注：重视定义！,例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个,例3设动直线l垂直于x轴，且与椭圆交于A、B两点，P是l上满足 =1的点，求点P的轨迹方程.,【分析】设P点的坐标为(x,y)，用直接法求得P点的轨迹方程.要注意x的范围通过直线l与椭圆相交获得.,直接法,例3设动直线l垂直于x轴，且与椭圆【

6、分析】设P点的坐标为,【解析】设点P的坐标为(x,y)， 由方程x2+2y2=4得2y2=4-x2，y= ， A、B两点的坐标分别为(x, ),(x,- )， 又 =1. (0, -y)(0,- -y)=1， 即y2- =1，,【解析】设点P的坐标为(x,y)，,又直线l与椭圆交于两点，-2x2 点P的轨迹方程为 （ -2x2 ）,【小结】 （1）“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).（2）求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性.化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点.,又直线l与椭圆交于两点，-2x2

7、【小结,例4 设椭圆方程为 .过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满 ，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.,代入法,【解析】设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）, B(x2,y2), 因A，B在椭圆上，所以 ,例4 设椭圆方程为 .过点M(0,1,求曲线方程的常用方法课件,当x1=x2时，点A，B的坐标为（0，2），（0，-2），这时点P的坐标为（0，0），也满足，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.,当x1=x2时，点A，B的坐标为（0，2），（0，-2），这,例5设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴

8、长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.,参数法,【解析】法一：设双曲线实半轴长为a,则椭圆的长半轴长为2a，由题意得2a4，由半焦距为4，可得椭圆与双曲线方程为,例5设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2（,设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）, B(x2,y2), 因A，B在椭圆上，所以 由4-可得,设点P的坐标为（x,y），A（x1,y1）, B(x2,将此式代入式可得a2=2|x|， 再把代入式，消去a，得 当x0，得（x-5）2+y2=9; 当x0，得（x+5）2+y2=9; 由2a4，得2|x|8. 所以，所求轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的交点.,将此式代入式可得a

9、2=2|x|， ,法二：设椭圆与双曲线交点P（x，y）， 由椭圆与双曲线的定义及已知条件，可得 |PF1|+|PF2|=2|PF1|-|PF2|， 即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|， 将P点坐标（x，y）代入，化简可得 （x+5）2+y2=9及（x-5）2+y2=9. 因交点P不会在x轴上，y0，故2|x|8， 所以所求轨迹方程是（x+5）2+y2=9（y0），,法二：设椭圆与双曲线交点P（x，y），, （x-5）2+y2=9（y0）. 轨迹为两个圆，并除去它们与y轴的交点.,【小结】由于探讨的对象是“交点的轨迹”，求轨迹方程的过程是一个创造性的“建模”过程，并不能完全依靠

10、已有，因此，充分认清题设条件后或选择适当的参数，建立方程组，消去参数后就得“交点轨迹方程”（如方法一）或选择根据几何等式的传递，构建新的几何条件（如方法二）都是常见的解题思路, （x-5）2+y2=9（y0）.【小结】由于探讨,1求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从而简化解题过程. 2求关于轴对称的曲线的方程的一般步骤：（1）设所求曲线上任一点P(x,y)；（2）求出其关于点或轴对称的点p(x,y)；（3）将p坐标代入已知曲线得所求曲线方程. 3涉及多个动点的轨迹问题，可用动点代入法或参数法求解，分清主动点和从动点，选择适当参数是解题的关键. 4求轨迹要注意取值范围和“杂点”的

11、去除.,规律总结,1求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从,基础训练,1动点P与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则P点的轨迹方程是 ( ) Ax2+y2=1 Bx2+y2=1(x1) Cx2+y2=1(x0) Dy= 【解析】直接法,B,基础训练1动点P与定点A(-1,0)，B(1,0)的,2设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为x2-4y2=1,【解析】（代入法）设P(x1,y1)，M(x,y)则x1=2x，y1=2y，代入得x2-4y2=1.,3两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a1)的交点的轨迹方程是,

12、2设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点,【解析】（参数法） ax+y+1=0， x-ay-1=0. y+x得y2+y+x2-x=0, 即 . a1 x1 x0 y0 且 y-1,【解析】（参数法） ax+y+1=0，,4已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是,【解析】(定义法)动圆M与两圆C1，C2都要相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切，动圆M与两圆都相内切；动圆M与圆C2内切、与圆C1外切；,4已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x-4,动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在情况下，显然，动圆圆心

13、M的轨迹方程为x=0；在的情况下，如图8-55-1设动圆M的半径为r，则|MC1|=r+ ，|MC2|=r- ， 故得|MC1|-|MC2|=2 ； 在的情况下，同理得|MC2|-|MC1|=2 . 由得|MC1|-|MC2|=2 . 根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线，且a= ，c=4，b2=c2-a2=14， 其方程为,动圆M与圆C1内切、与圆C2外切.在情况下，显然，,知识要点,1求轨迹方程的一般步骤建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性） 2求轨迹方程的常用方法 （1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系

14、，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x,y）的解析式. （2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.,知识要点1求轨迹方程的一般步骤,（3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程. （4）参数法：如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数. 3注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系 一般说来，若是“求轨迹方程”，求得方程就可以了；若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型.,（3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动,