求导法则与公式课件.ppt

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1、2 求导数的方法法则与公式,第三章,三、反函数的求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,一、问题的提出,四、复合函数的求导法则,五、小结与思考题,（The Rule of Derivation）,9/24/2022,1,2 求导数的方法法则与公式 第三章 三、反函数的求导,一、问题的提出（Introduction）,9/24/2022,2,一、问题的提出（Introduction）1. 导数的定义9,2. 利用导数的定义得出以下导数公式：,9/24/2022,3,2. 利用导数的定义得出以下导数公式：9/24/20223,但是，对于比较复杂的函数，,直接根据定义求它,们的导数往往很困难.

2、,例如，求下列函数的导函数：,为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！,9/24/2022,4,但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它们的导数往往很困难,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1,的和、,差、,积、,商 (除分母,为0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.,9/24/2022,5,二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 的和、差、积、商,此法则可推广到任意有限项的情形.,设, 则,例如,证:,（1）,9/24/2022,6,此法则可推广到任意有限项的情形.设, 则例如,证: （1）9,证: 设,则有,推论:,( C为常数 ),

3、（2）,9/24/2022,7,证: 设则有推论:( C为常数 )（2）9/24/2022,证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),（3）,9/24/2022,8,证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 )（3）9/2,的导数.,例1 求函数,答案：,答案：,答案：,9/24/2022,9,的导数. 例1 求函数答案：和例2 求函数的导数.,三、反函数的求导法则,定理2,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,9/24/2022,10,三、反函数的求导法则定理2 y 的某邻域内单调可导, 证:在,例4 求反三角函数的导

4、数。,解: 设,则,类似可求得, 则,9/24/2022,11,例4 求反三角函数的导数。解: 设则类似可求得,四、复合函数的求导法则,在点 x 可导,定理3,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,9/24/2022,12,四、复合函数的求导法则在点 x 可导,定理3 在点可导复合函,说 明：,9/24/2022,13,说 明：9/24/202213,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,（3） 此法则可推广到多个中间变量的情形.,9/24/2022,14,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.（3,的导数.,例5

5、 求函数,答案：,例6 设,提示：,分情况讨论。,答案：,由此可见，,即,答案：,9/24/2022,15,的导数. 例5 求函数答案：例6 设提示：分情况讨论,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,这两个记号含义不同,例8 设,9/24/2022,16,求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同,五、基本求导法则与导数公式,1. 常数和基本初等函数的导数,9/24/2022,17,五、基本求导法则与导数公式1. 常数和基本初等函数的导数9/,2. 函数的和、差、积、商的求导法则,( C为常数 ),3. 反函数的求导法则,单调可导,则,4. 复合函数求导法则,5.

6、初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,9/24/2022,18,2. 函数的和、差、积、商的求导法则( C为常数 )3. 反,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,高阶导数,9/24/2022,19,若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导,三、一些常见函数的高阶导数的求法,例1 设 求,解：,1. 直接法,求高阶导数就是多次接连地求导数.,例2 求 的n 阶导数.,解：,9/24/2022,20,三、一些常见函数的高阶导数的求法例1

7、设,求,解:,一般地 ,类似可证:,例3 设,2. 数学归纳法证明高阶导数,9/24/2022,21,求解: 一般地 ,类似可证:例3 设2. 数学归纳法证明高,例4 设 求,解,若 为自然数 ，则,9/24/2022,22,例4 设,内容小结,1. 掌握函数求导的法则,四则运算的求导法则,反函数的求导法则,复合函数的求导法则,注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,记住一些基本初等函数的导数公式3. 求高阶导数的方法,9/24/2022,23,内容小结1. 掌握函数求导的法则四则运算的求导法则反函数的,思考与练习,1.,对吗?,2. 求下列函数的导数,答案：,9/24/2022,24,思考与练习1.对吗?2. 求下列函数的导数答案：9/24/2,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,3. 设,9/24/2022,25,其中在因故正确解法:时, 下列做法是否正确?在求处连续,3.,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,4. 设,9/24/2022,26,求解: 方法1 利用导数定义.方法2 利用求导公,