概率论第一章ppt课件.ppt

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1、概率论与数理统计,概率论与数理统计是研究什么的？,概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。,数理统计从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。,随机现象：不确定性与统计规律性,第一章 概率论的基本概念第二章 随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其概率分布第四章 随机变量的数字特征第五章 大数定律和中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章 参数估计第八章 假设检验,主要内容,第一章 概率论的基本概念,1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其性质1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 独立性,1.1 随机事件及其运算,如何研究随机现象呢？,1.1.

2、1 随机现象 自然界的现象按照发生的可能性（或者必然性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。,1.1.2 随机试验,例1-1：,上述试验具有如下特点：1.试验的可重复性在相同条件下可重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验的可能结果不止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；3.全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验。随机试验常

3、用E表示。,样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间, 记为.,样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为.,1.1.3 随机事件与样本空间,分别写出例1-1各试验 所对应的样本空间,例1-2：,例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本空间的一个子集。,事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。,基本事件：随机事件仅包含一个样本点，单点子集。,如，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件。,随机事件

4、：样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”， 记作A、B、C等。,复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。,两个特殊的事件,必然事件：；,不可能事件：.,既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。,1. 包含关系与相等： “事件 A发生必有事件B发生” 记为AB。 AB AB且BA.,1.1.4 事件间的关系与运算,2. 和（并）事件： “事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。,推广：n个事件A1, A2, An至少有一个发生， 记作 或,3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记作 AB 或AB。,推广：

5、n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An或 或,4. 差事件： AB称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生,5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件A与事件B不能同时发生。AB 。,推广：n个事件A1, A2, An任意两个都互不相容，则称n个事件两两互不相容。若n个事件A1, A2, An 两两互不相容，且则称n个事件A1, A2, An 构成一个完备事件组。,6. 对立（逆）事件 AB , 且AB ,思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互为对立事件的区别.,对立事件一定是互不相容事件，互不相容事件不一定是对立事件,交换律：ABBA，ABBA。,结

6、合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。,分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)。,对偶(De Morgan)律：,7.事件的运算性质,例1-3： 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”, i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.,解,例1-4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,本节课主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念； 4.随机事

7、件的关系和运算（重点）。,小 结,1.2 概率的定义及其性质,1.2.1 概率的统计定义,频率的性质：,一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的有放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。,频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：,定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无穷大时，事件A发生的频率 稳定于某个确定的常数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 ,注1：概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频率值作为概率的近似值,注2：但上述定义存在着明显

8、的不足，首先，人们无法把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而容易造成误解,注3：定义2中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为频率的极限，以什么方式趋于概率呢？,1.2.2 概率的公理化定义,定义3：若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) 非负性公理：P(A) 0；(2) 规范性公理：P()1 ，P()0 ； (3) 可列可加性公理：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A

9、2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,性质 1,概率的性质,性质 2（有限可加性）,设A1，A2，, An是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , n， 有 P( A1 A2 An ) P(A1) P(A2)+.P(An),性质 3 （互补性）,性质4 P(A-B)=P(A)-P(AB).,性质 5（加法公式）对于任意事件A,B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).,推广：,2） 设A1，A2，An 是 n 个随机事件， 则,例1-5 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.

10、3, 求P(B).,解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.,解 由性质6可知，,本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。,小 结,1.3 古典概型与几何概型,1.3.1 古典概型,2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.,理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型（或等可能概型）：,1.有限性：基本事件的总数是有限的, 换句话说样本空间仅含有有限个样本点;,设事件A中所含样本点个数为r , 样本空间中样本点总数为n,则有,古典概型的概率

11、计算公式:,例1-9 从1,2,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.,解 基本事件总数n=92,因为第一次取数有9中可能取法,这时可重复排列问题. 设A表示“取出的两个数字不同”. A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9中可能取法,为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8中可能取法,r=9*8, 故 P(A)=rn= 9*892=89,例1-10 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到的两个球颜色相同的概率。,解 从8个球中任意取两个,共有 种取法,即基本事件总 数 . 记A表示“取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能:

12、 全是白球或全是黑球. 全是白球有 种取法,全是黑球有 种取法,由加法原理 知, A的取法共 中, 即A包含的基本事件数 r =,故,解：(1),例1-11 将r个人随机地分配到n(r n)个房间里，设 A=“某指定的r个房间中各有一人”， B=“恰有r个房间中各有一人”， C=“某指定房间恰有k(k r)人”， 求A、B、C的概率.,(2),(3),说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的先后顺序如何，每次取到白球的概率都是一样的 我们日常生活中的抓阄，就是不放回抽样，可见不管第几个去抽，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关,把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概

13、型. 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了.,1.3.2 几何概型,当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.,例1-13（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率解：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间（以分钟为单位），在平

14、面上建立xOy直角坐标系，见图1-1因为甲乙都是在0到60分钟内等可能到达，所以由等可能性知这是一个几何概型问题,会面问题,样本空间 = (x，y)：0 x，y 60事件A =“甲乙将会面” = (x，y) ：| x y | 20因此,本节课的重点：,小 结,（1）古典概型事件概率的计算； （2）几何概型事件概率的计算.,1.4.1 条件概率与乘法公式,例1-15 一家庭有两个孩子，考虑：(1)求两个都是男孩的概率；(2)已知其中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率；(3)已知老大是男孩，求老二也是男孩的概率,1.4 条件概率,定义1 ：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条

15、件概率,记作P(B|A).,解：用g表示女孩，b表示男孩，则样本空间为(b,b)，(b,g)，(g,b)，(g,g)，其中括号中第一个位置表示老大，第二个位置表示老二。,（2）事件B1=“其中一个是男孩”，B2=“另一个也是男孩”，显然此时的样本空间为 B1=(b,b), (b,g), (g,b)。则事件B1发生的条件下，B2发生的条件概率为P(B2|B1)=1/3.,（1）事件A=“两个都是男孩”，显然 P(A)=1/4.,（3）事件C1=“老大是男孩”，C2=“老二也是男孩”，显然此时的样本空间为 C1=(b,b), (b,g)。则事件C1发生的条件下，C2发生的条件概率为P(C2|C1)

16、=1/2.,例如：,某班有30名学生，其中20名男生，10名女生，身高1.70米以上的有15名，其中12名男生，3名女生。（1）任选一名学生，问该学生的身高在1.70米以上的概率是多少？（2）任选一名学生，选出来后发现是个男生，问该同学的身高在1.70米以上的概率是多少？,定义2 设A,B是两个事件,且P(B)0,称,为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)0时，,计算条件概率有两个基本的方法： 用定义计算，即在原样本空间中计算P(AB)与P(B)之比； 在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算，即在新样本空间B中直接计算A发生的概率.,例1-16 在全部产品中有4%是废品,有7

17、2%为一等品.现从中任取一件为合格品,求它是一等品的概率.,解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”, 显然B A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为,解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A).,由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得,例1-17 盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取出的是黑球的概率.,例1-18 盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球7个,其中3个是新球;白色球

18、5个,其中4个是新球.现从中任取一球是新球,求它是白球的概率.,解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”, 由古典概型的等可能性可知,所求概率为,解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”,由条件概率公式可得,性质2 若A与B互不相容，则,性质3,条件概率的性质,性质1,若事件 ，两两互不相容，且P(B)0，则,概率的乘法公式当 P(A)0 时，有 P(AB)=P(A)P(B|A).当 P(B)0 时，有 P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：设 P(AB)0 时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).设 P(A1

19、A2An-1)0, 则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).,例1-19 在10个产品中,有2件次品, 不放回的抽取2次产品, 每次取一个, 求取到的两件产品都是次品的概率.,解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则 故,例1-20 袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。解：设B第二次取到白球,则要求P（B）令A第一次取到白球，则 第一次取到黑球,例1-21 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率.,解 设Ai(i=1,2,3)表示“

20、第i次取到黑球”,于是所求概率为,例1-22 设 P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25, 求 P(A|B).,解,1.4.2 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组（或划分），且P(Ai)0, i=1,2,n，B是任意一个事件,则,注：全概率公式求的是无条件概率,例1-23 盒中有5个白球3个黑球, 连续不放回地从中取两次球, 每次取一个, 求第二次取球取到白球的概率.,解 设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,则,由全概率公式得,例1-24 在某工厂中有甲、

21、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%, 35%, 35%,并且在各自的产品中废品率分别为5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.,解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则,P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)=35%,P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=3%.,由全概率公式得,贝叶斯(Bayes)公式 设A1,A2,An是样本空间

22、的一个完备事件组（或划分）, B是任一事件, 且P(B)0, 则,注：Bayes公式求的是条件概率.,例1-25 在例1-23的假设下,若任取一件是废品,分别求它是甲、乙、丙生产的概率.,解 由贝叶斯公式，,【在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%, 35%, 35%,并且在各自的产品中废品率分别为5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.】,设8支枪中有3支未经过试射校正，5支已经试射校正。一射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8。而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3。今假定从8支枪中任取一支进行射击 ，结果中靶，求所用这支枪是

23、已校正过的概率,练习：,例1-26玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率解：设B =“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai =“抽到的一箱中有i件残次品”，i = 0，1，2(1) 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件残次品。显然A0，A1，A2是完备事件组由题意知,由全概率公式,由贝叶斯公式,玻璃杯成箱出售，每箱2

24、0只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率,2、全概率公式及其应用(求无条件概率),小 结,3、贝叶斯公式及其应用(求条件概率),1、条件概率及乘法公式；,定义1 若P(AB)=P(A)P(B) ,则称A与B相互独立,简称A,B独立.,1.5.1 两事件独立,性质1 设P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).,设P(B)0,则A与B相互独立的充

25、分必要条件是P(A)=P(A|B).,1.5 独立性,回忆：,由性质2知，,事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.,独立与互斥的关系,这是两个不同的概念.,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.,两事件相互独立,两事件互斥.,由此可见两事件互斥但不独立.,又如：,两事件相互独立.,两事件互斥,例1-27 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率.,解 设A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, C表示“目标被击中”,则C=AB,A与B相互独立,P(A)=

26、0.9,P(B)=0.8，故,P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.,或利用对偶律亦可.,注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时,例1-28 袋中有5个白球3个黑球, 从中有放回地连续取两次, 每次取 一个球, 求两次取出的都是白球的概率.,解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为,例1-29 设A与B相互独立,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,且P(A)=1/3，求P(B).,即,解得,解 由题意，P(AB)=P(AB)

27、，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故,P(A)P(B)=P(A)P(B)，,练习：,从五个三新二旧的乒乓球中每次取一个，有放回的取两次，求下列事件的概率：（1）两次都取到新球；（2）第一次取新球第二次取旧球；（3）至少有一次取到新球。,定义2 若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立, 简称A、B、C独立.,1.5.2 多个事件的独立,一般地,设A1,A2,An是n个事件,如果对

28、任意k(1kn), 任意的1i1i2 ik n,具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件A1,A2,An相互独立。,注意：三个事件两两相互独立不能推出三个事件相互独立,例如设袋中有4个乒乓球，1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色。今从袋中随机的取一个球，设事件A=取出的球涂有白色， B=取出的球涂有红色，C=取出的球涂有蓝色，试验证事件A，B，C两两相互独立，但不相互独立。,例1-30 3人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为 1/5, 1/3, 1/4. 求此密码被译出的概率.,解法1 设A

29、,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4.,于是,解法 2 用解法1的记号，,比较起来, 解法1要简单一些,对于n个相互独立事件A1,A2,An,其和事件A1A2An的概率可以通过下式计算：,例1-31 用步枪射击飞机，设每支步枪命中率是0.004，求（1）现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；（2）若想以0.99的概率击中飞机，需多少支步枪同时射击一次？,小 结,1、两个事件的独立性；,2、多个事件的独立性.,本章小结,1、基本概念： 概率 条件概率 独立性,2、主要公式： 古典概型 几何概型 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式,3、计算： 事件运算 概率计算,