概率论与数理统计老师总结习题总汇ppt课件.ppt

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1、例1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) 而且可得到下列随机事件A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球；B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球；C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球；D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球；G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2

2、,)为事件,返回,例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。,解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：,因此对立事件为：,即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。,1、概率的统计定义,设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，

3、记为P(A)=p。由定义，显然有0P(A)1, P(S)=1，P()=0。,设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质：非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0 ；完备性：P(S)=1；可列可性质：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) + P(An)+则称P(A)为事件A的概率。,2、概率的公理化定义（P.8）,1.3 古典概型与几何概型,一、古典概型的定义(p.11)设随机实验E满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有

4、限个可能的结果，即2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。,二、古典概型的基本类型举例,古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。,由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。,1、抽球问题 例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球,答:取到一红一白的概率为3/5。,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,(2)从中任意接连取出k+1(k+1m

5、+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。,解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为,设事件B：“第k+1个取出的球是白球”， 由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有,其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为,种保留下来的取法，,事件B所包含的基本事件总数为,在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的概率。如产品的检验、疾病的

6、抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,例1.11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：,A=某指定的一个盒子中没有球B=某指定的n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn)解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。,事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(

7、N1)n种放法。因此,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,?,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子

8、。,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,例 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。,解：,根据题意，这是一个几何概型问题，于是,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件

9、概率(p.18),定义 设A、B是S中的两个事件，P(A)0，则,可以验证，条件概率P(|A)符合概率所需满足的三条基本性质： 非负性：对任意一个事件B，均有0P(B|A)1； 完备性：P(S|A)=1； 可列可加性：若B1，B2，Bn，两两互不相容，则有,条件概率也满足概率的基本性质（P.18),条件概率的一般计算方法：(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下， B发生的条件概率。“缩减样本空间”(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式,例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”， B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)

10、，P(B|C),解,例1.17 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然,设S是试验E的样本空间，A1,A2,An是试验E的一组事件，若A1, A2, An满足如下两个条件：（1）A1A2An=S，（2） A1, A2, An两两互不相容则称事件组A1,A2,An组成样本空间的一个划分； 若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件A1,A2,An必有且仅有一个发生。,1、样本空间的划分,定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A

11、2,An组成样本空间S的一个划分，且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则,此公式称为全概率公式。,2、全概率公式(P.21),（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）,例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,解 设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。,例1.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了1000批产品，则可以通过检验，以合

12、格品出产厂的约有814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有i(i=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Ai|B) (i=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应i的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。,3、贝叶斯公式(Bayes),定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个划分，且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则,此式称为Bayes公式。,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此

13、时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？,类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。,例1.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解 设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球。,甲,乙,思考 例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多

14、少？,答,一般地，设A1，A2，An是n个事件，若下面个等式同时成立：,则称n个事件A1，A2，An相互独立。,.,性质1: 若事件A1，A2，An(n1)相互独立，则其中任意k(k n)个事件也相互独立。,性质2: 若事件A1，A2，An(n1)相互独立，则将A1，A2，An中任意m(1 m n)个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。,注：通常事件的相互独立性是根据实际意义判断的。,注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件的异同 A、B互不相容表示A、B不能同时发生 A、B互逆表示A、B不能同时发生且不能同时不发生 A、B相互独立表示两事件中一事件发生与否不影响另一事件的发生与

15、否,例2.5 设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。,解,X=k的所有可能取值为0，1，2,X是一个随机变量,解 设Ai 第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1, A2，A5相互独立，且P(Ai)=p,i=1,2,5。SX=0,1,2,3,4,5,例2.6 某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,例2.7设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。,解 设X=k表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，

16、1，2，100。本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)，XB(100,0.002)。因此，所求分布律为,例2.8 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率是0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。,解 设X表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，7。（视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,XB(7,0.6)。因此X的分布律为,所求概率为,例2.9 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并

17、且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解 (1)由题意，XB(6,1/3)，故X的分布律为：,例2.10 某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。,解 每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则 XB(400,0.02)，X的分布律为,所求概率为,例2.10告诉我们两个事实：1虽然每次射击的命中率很小(0.02)，但射击次数足够大(为400次)，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的(概率为0.997)。 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验

18、中，这事件的发生几乎是必然的，也就是说小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视的。 2若射手在400次独立射击中，击中目标的次数不到2次，则P(X2)=1-P(X2)0.003，即命中目标次数不到两次是一件概率很小的事件，而这事件竟然在一次试验中发生了。则根据实际推断，我们有理由怀疑“每次射击命中率为0.02”是否正确，即可以认为命中率达不到0.02。,例2.10可用泊松定理计算。取 =np=4000.028, 近似地有PX21 PX0PX1 1(18)e80.996981,例2.11 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，

19、才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？,解 用X表示每月销量，则XP()= P(5)。由题意，要求k，使得PXk0.999，即,这里的计算通过查Poisson分布表(p.292-294)得到，=5,k=12时,k=13时,k=13即月初进货库存要13件。,例2.12 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解 由题意,例2.14 设随机变量X具分布律如下表,解,试求出X的分布函数。,例2.15 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽

20、车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率,解 X的可能取值为0，1，2，3，且设p=1/2,则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：,X的分布函数：,所求概率为,一般地，X是离散型随机变量，其概率分布律为P(X=xk)=pk, (k=1, 2, )则X的分布函数F(x)为,F(x)的图像：非降，右连续，且在x1，x2 ，xk，处跳跃。,例2.16 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在0,1区间任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。解 F(x)=P(Xx),当

21、x1时,F(x)=1,当0 x1时,特别,F(1)=P(0 x1)=k=1,例2.17 设,求:(1)常数K；(2)X的分布函数；(3),解 (1)由性质,得,解之得,(2)X的分布函数为,(3),例2.18 设随机变量XU1, 6 ，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。,解 当=X2-40时，方程有实根。所求概率为,而X的密度函数为,另解,例2.19 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。,15,45,解 设A乘客候车时间超过10分钟，X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),例2

22、.20 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率；(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？,解,指数分布Forever Young(无记忆性),例2.21 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设0，t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的泊松分布，求T的概率密度。,解,当t0时，F(t)=0；,当t0时，F(t)=P(Tt)=1-P(Tt),=1-P(在t时刻之前无汽车过桥)=1-P(X=0)=1-e-t,于是,注：通常概率密度不能直接求得时，先求分布函数。,对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(P2

23、95)。表中给出了x0的函数值。当x0时，可利用(-x)=1- (x)计算得到。,例2.22 已知XN(0, 1)，求P(-X-3)， P(|X|3),解 P(-X-3)= (-3) = 1-(3),标准正态分布表,P(|X|3)= P(-3X 3)= (3) - (-3) = (3) -1-(3) =2(3)-1 =20.9987-1=0.9974,=1-0.9987=0.0013,一般地, XN(0, 1), P(Xx)=(x),P(|X|x)=2(x)-1,例2.23 已知XN(1, 4),求P(5X7.2), P(0X1.6),解,分位数的概念,XN(, 2)，p(0,1)，若实数up

24、满足P(X up)=p,则称up为标准正态分布的p分位点。,标准正态分布表,Up O x,p,例2.24 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用XN(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用YN(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？,解 （1）工程资方掌握资金3亿元。,若委托甲公司承包,若委托乙公司承包,标准正态分布表,=0.6554,(2)请自己完成。,委托甲公司承包较为合理。,正态随机变量的3原则(P

25、52)：设XN(,2),在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略|X|3的值。 如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。,在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以为中心，3为半径的区间(-3, +3)内的概率相当大(0.9973)，即X几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在(-3, +3)以外的概率可以忽略不计。,例2.25 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解 设Y为使用的最

26、初90小时内损坏的元件数，则YB(3,p),故,其中,标准正态分布表,例2.26 设离散型随机变量X有如下分布律，试求随机变量Y=(X-3)2+1的分布律,解 Y的所有可能取值为1，5，17,故，Y的分布律为,例2.27 设随机变量,求Y=3X+5的概率密度。,解 先求Y=3X+5的分布函数FY(y),Y的概率密度函数为,例2.28 设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y0时，,当0y1时,当y1时,解,例2.29 设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单调减函数，求Y=g(X)的概率密度。,FY(y)=P(Yy)=P(g(X)y) =P(Xg-

27、1(y)=1-FX(g-1(y),Y的概率密度为fY(y)= FY(y)= - FX(g-1(y)=fX(g-1(y) g-1(y),解 Y的分布函数为,例2.30 已知XN(,2),求,解,的概率密度,关于x严格单调，反函数为,故,若XN(,2), 则,例2.31 设XU(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a0),解 Y=ax+b关于x严格单调，反函数为,故,而,所以,例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,(1)求常数A，B，C。 (2)求P0X2,0Y3解:,例3.1设袋中有a+b个球，a只红球，b只白球。今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋中，并再加入与所取的球相同颜色的球

28、c只，然后再从袋中任取一球，设,求二维随机变量(X,Y)的分布律。 解 X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1。,例3.2 袋里有5个有编号的球，其中有1个球编号为1，有2个球编号均为2，有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以X和Y分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求X和Y的联合分布律。,解 (X,Y)的全部可能取值为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5个球从中任取2个，共有C52=10种取法。试验样本点总数为10，,用表格表示为,例3.3 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为,(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y1)。,解 (1),解得

29、k=15,O 1 x,1,y,y=x,x+y=1,(2),例3.4 设二维随机变(X,Y)量具有概率密度,(1)确定常数C；(2)求概率P(XY)。,O x,y=x2,y=x,y,解 (1),(2)确定积分区域,(1)求常数K；(2)求联合分布函数F(x,y)；(3) 求概率P(X+2Y1)。,例3.5 已知,解 (1),K=6,O x,y,x+2y=1,(2),(3),例3.6 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,其中A，B，C为常数，x(-,+)，y(-,+) (1)试确定A，B，C；(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X2),解 (1)由联合分布函数性质2可知,解得,(2),

30、(3)由X的分布函数可得,故,例3.7 已知(X,Y)的分布律为,故关于X和Y的边缘分布律分别为：,求X、Y的边缘分布律。,解,例3.8 设随机变量(X,Y), X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个Y在1至X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律。,解 事件(X=i,Y=j)中i的取值为1、2、3、4，而j取不大于i的整数，因此,i=1,2,3,4，ji,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,X和Y的边缘分布律分别为,例3.9 设二维随机变量,求边缘密度函数fX(x)和fY(y),解 当0 x1时,O 1 x,y,1,y=x2,y=x3,当x0或x1时，f(

31、x,y)=0，所以,当0y1时,当y0或y1时，f(x,y)=0，所以,例3.10 设(X,Y)服从如图区域G上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P(Y2X)；(3)求F(0.5,0.5)。,O 0.5 1 x,G,解 (1)区域G的面积为1,(2) Y2X，,G1,y=2x,y1,区域G1的面积为,1,P(Y2X),(3)F(0.5,0.5)=P(X0.5,Y0.5),G2,解 由题意，联合密度函数为,先求fX(x),当,O x,y,G,当,同理可得,例3.11 设二维随机变量(X,Y)在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形之对角线为坐标轴，求边缘密度函数,例3.12 设

32、二维随机变量,x(-,+)，y(-,+)，求fX(x)，fY(y)。,解,因此,同理可得,但 (X,Y)不服从二维正态分布。,求(1)P(X0)，(2)P(X1)，(3)P(Y y0),练习 随机变量(X，Y)的概率密度为,y,D,答: P(X0)=0,O x,1,y0,y0,例3.13 已知(X,Y)的联合分布律为,试确定常数a,b，使X与Y相互独立。,解 先求出(X,Y)关于X和Y的边缘分布律,要使X与Y相互独立，可用pij =pipj来确定a,b 。P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2)，即,因此， (X,Y)的联合分布律和边

33、缘分布律为,经检验，此时X与Y是相互独立的。,例3.14 设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服从均匀分布，若,试求(U,V)的联合分布律，并判断U与V是否相互独立。,解 (X,Y)在G上服从均匀分布，则联合密度函数为,O 1 2 x,y,1,y=x,x=2y,G,(U,V)的联合分布律和边缘分布律为,经检验， U和V不是相互独立的。其中p00p0 p0,例3.15 若二维随机变量,证明X与Y相互独立的充分必要条件为=0,证 (X,Y)的联合密度函数为,边缘密度函数为,f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要条件是=0，而X与Y相互独立的充分必要条

34、件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。,例3.16 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时之间，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时之间。设他俩到达时间是相互独立的，求他俩到达办公室的时间差不超过5分钟的概率。,解 设X是负责人到达办公室的时间，Y是秘书到达办公室的时间，则X和Y的密度函数分别为,O 8 12 x,y,9,7,因X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合密度函数为,所求概率为P(|X-Y|1/12)，即随机点(X,Y)落在区域G中的概率，,y=x+1/12,y=x-1/12,矩形区域上的均匀分布,G,G的面积为1/6,例3.17 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数,(

35、1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？,O 1 x,y,1,解,由于f(x,y)与fX(x)fY(y)在平面上不是几乎处处相等，因此X与Y不相互独立。,练习.已知随机变量(X,Y)的概率密度为判断X,Y是否相互独立。解：,x,yR2,f(x,y)=fX(x)fY(y),即X,Y相互独立。,3.5 多维随机变量的函数的分布,已知随机变量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是连续函数。,一、两个离散型随机变量的函数的分布举例,例3.18 已知随机变量(X,Y)的联合分布律为,试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律。,解 Z1的所有可能取值

36、为2,3,4,5,P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+ P(X=2,Y=1) =1/5,P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+ P(X=3,Y=1) =2/5,P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5,Z1的分布律为,Z2=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3,P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2) =1/5+0+1/5=2/5,P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,

37、Y=2) =1/5+1/5=2/5,Z2的分布律为,例3.19 设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为1和2的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布。证,k1=0,1,2,k2=0,1,2,Z=X+Y的所有可能取值为0,1,2,3,XP(1),YP(2),因此 ZP(1+2),k=0,1,2,例3.20 设(X,Y)N(0,1;0,1;0)，试求Z=X+Y的密度函数,解 由于=0，所以X与Y相互独立，且,所以Z的密度函数为,令,此式说明ZN(0,2),一般地，(1),且X与Y相互独立，则,(2)Y=aX+b，(a,b为常数，且a0)，,则,(3),X与Y相互独立，且,是不全为

38、0的常数，则,(4),Xi相互独立，i是不全为0的常数，,i=1,2,3,n，则,相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。,例3.21 设X,Y相互独立，且两者都在区间0,1上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。,解 X,Y的密度函数分别为,由卷积公式,O 1 2 z,x,1,x=z,x=z-1,当0 x1，且0z-x1时，被积函数为1，其它区域被积函数为0，即0 x1，且z-1xz,2、M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）,设随机变量X,Y相互独立，且分布函数分别为FX(x)，FY(y)，求M与N的分布函数。,即M的分布函数为,即N的分布函数为,结论的推广

39、(1)设X1,X2,Xn相互独立，且Xi的分布函数为Fi(xi)，则M=maxX1,X2,Xn的分布函数为FM(z)F1(z)F2(z)Fn(z),N=minX1,X2,Xn的分布函数为,(2)当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)，则M=maxX1,X2,Xn的分布函数为FM(z)F(z)nN=minX1,X2,Xn的分布函数为FN(z)1-1-F(z)n,(3)当X1,X2,Xn相互独立且具有相同的概率密度f(x)，则M=maxX1,X2,Xn的密度函数为fM(z)=nF(z)n-1f(z)N=minX1,X2,Xn的密度函数为fN(z)n1-F(z)n-1f(z),例3.2

40、2 设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，其联接的方式分别为(1)串联，(2)并联，如图所示。设L1，L2的寿命分别为X与Y，而且,其中0，0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的分布函数与概率密度函数。,解 (1)串联时，当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)。,由条件可得X,Y的分布函数分别为,Z的分布函数为,Z的概率密度函数为,(2)并联时，当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，因此L的寿命Z=max(X,Y)其分布函数为,密度函数为,例3.23 设(X,Y)在G=(x,y)|0 x2,0y1上服从均匀分布，试求Z=XY的

41、密度函数。,解 (X,Y)的联合密度函数为,Z的分布函数为,O z 1 2 x,y,1,z=xy,当z 0时，FZ(z)=0;,当0z2时，,当z2时，,Z的密度函数,练习 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解 设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量，则,由题意,令,查表得,例4.3 从一个装有m个白球和n个红球的袋中取球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取到红球的次数的数学期望。,解 设取到红球的次数为X ，则X的分布律为,k=0,1,2,其中,例4

42、.4 设X取,(k=1,2,)对应的概率为,，证明E(X)不存在。,证明,且,但级数,发散,所以E(X)不存在，但级数,(交错级数满足Leibniz条件)(收敛),要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。,例4.5 设有5个相互独立的元件，其寿命服从参数为0的指数分布，其概率密度为,(1)若将5个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；,(2)若将5个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；,解 (1)设Xk表示第k个元件的寿命，k=1,2,3,4,5，则X1, X2, X3, X4, X5相互独立，且Xkf(x)，同分布。,记Y为串联系统的寿命，则Y=min(X1, X2, X3, X4,

43、X5)，分布函数为,密度函数为,所以数学期望为,(2) 记Z为并联系统的寿命，则Z=max(X1, X2, X3, X4, X5)， Z的分布函数为,密度函数为,所以数学期望为,从本例可知：同样5个组件，并联系统的平均寿命是串联系统的平均寿命11.4倍。,例4.6 设随机变量X服从,(-x+),试讨论E(X)。此分布称为Cauchy分布。,解,此广义积分发散（阶的估计法），因此数学期望E(X)不存在。注意这里,例4.7 设随机变量XB(n,p)，,求E(Y),解 XB(n,p)，分布律为,其中p+q=1,例4.8 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,设Z=XY，试求Z的数学期望。,解,O 1

44、 x,y,1,y=x,例4.9 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该组织多少吨货源才可使平均收益最大？,解 由题意可知X的密度函数为,设每年组织货源y吨，(2000y4000)，则收益,可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故组织3500吨此商品才可使平均收益最大。,例4.10 设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过；如果混

45、合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数。,解 设Xj为第j组的化验次数，j=1,2,10， X为1000人的化验次数，则Xj的可能取值为1，101，且,例4.11 一民航机场的送客车载有20名乘客从机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个站无旅客下车就不停车，假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一个站下车相互独立。以X表示停车次数，求平均停车次数E(X)。,解 X的可能取值为1,2,10，又设,则 X=X1+X2+X10,按题意，对一位旅客而言，他在第i站下车的概率是1/10，在第i站不下车的概率是9/10。由于在各站旅客下车与否相互独立，故第i站无人下车

46、的概率为(9/10)20，从而第i站有人下车的概率为1- (9/10)20， Xi的分布律为：,E(Xi)=11- (9/10)20+0 (9/10)20 =1- (9/10)20,E(X)=E(X1+X2+X10)= E(X1)+ E(X2)+E(X10) =101- (9/10)20=8.784,例4.12 对某一目标连续射击，至命中n次为止。设每次射击的命中率为p，且相互独立，求消耗的子弹数X的数学期望。,解 设Xi为第i-1次命中后至第i次命中时所消耗的子弹数，则,且Xi的分布律为,例4.14 已知随机变量X的分布律如下，求D(X)。,解 数学期望E(X)=7/8，,例4.15 设随机

47、变量,求D(X),解,已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解 由切比雪夫不等式,令,练习,练习1、设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=(2X+3Y)(4Z-1)的数学期望,2、 设随机变量X1, X2,Xn相互独立，且均服从N(,2)分布，,答:,答:,，求,3、长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。,解 设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则,=10分25秒,4、设X

48、服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4),例4.15 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,其中p+q=1，求相关系数XY 。,解 由题意可得X,Y的边缘分布律为,均为01分布， E(X)=p，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y) =00q+010+100+11ppp =pp2=pq因此,例4.16 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求Cov(X,Y)解,同理,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,例4.17 设(X, Y)在D=(x,y)|x2+y2r2上服从均匀分布，(1)求XY；(2)讨论X与Y

49、的独立性。解 (1),Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，,所以XY=0，X与Y不相关。,(2),显然,X与Y不独立。,二维正态随机变量(X,Y) ，X与Y独立,例4.18 设二维随机变量,则可求得协方差Cov(X,Y)=1 2且相关系数XY =二维正态变量(X,Y)，X与Y相互独立的充分必要条件是=0(P78 例7)；而XY =0表示X与Y不相关，可见， X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,X与Y不相关,等价于,EX,解1),2),练习 1、设随机变量XB(12,0.5)，YN(0,1)，Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差(33)

50、。2、X Y Z相互独立，X服从0,6均匀分布， YN(1,4)，Z服从参数为2的泊松分布，求W=X-Y-2Z+3的方差。3、设(X,Y)服从区域D:00)，则UV =XY,2,解,例4.19 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,解 设Xk为第k 次掷出的点数，k=1,2,100，则X1,X2,X100独立同分布，而且,由中心极限定理,例4.20 某车间有200台机床，它们独立地工作着，设每台机器开工率为0.6，开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于99.9%的概率保证车间不会因供电不足而影响生产。解 设X为200台机器中工作着的机器台数，则XB(200