机器人轨迹规划课件.ppt

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1、第四章 机器人轨迹规划,第四章 机器人轨迹规划,本章主要内容,4.1 机器人轨迹规划概述4.2 插补方式分类与轨迹控制4.3 机器人轨迹插补计算4.4 轨迹的实时生成,本章主要内容4.1 机器人轨迹规划概述,所谓机器人的规划(P1anning)，指的是机器人根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等。,4.1 机器人轨迹规划概述,一、机器人规划的概念,所谓机器人的规划(P1anning)，指的是机器,为说明机器人规划的概念，我们举下面的例子： 在一些老龄化比较严

2、重的国家，开发了各种各样的机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是采用声控的方式比如主人用声音命令机器人“给我倒一杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的自然语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个命令后，如何来完成主人交给的任务。,一、机器人规划的概念,为说明机器人规划的概念，我们举下面的例子：一、机,首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务分解成为“取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、“把水倒人杯中”、“把水送给主人”等一系列子任务。这一层次的规划称为任务规划(Task planning)，它完成总体任务的分解。 然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水倒入杯中

3、”这一子任务为例，可以进一步分解成为一系列动作，这一层次的规划称为动作规划，它把实现每一个子任务的过程分解为一系列具体的动作。,首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交,为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的规定，这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。 为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规律，这是关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。 最后才是关节的运动控制(Motion control)。,为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的规,上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的，从高层的任务规划，动

4、作规划到手部轨迹规划和关节轨迹规划。在上述例子中，我们没有讨论力的问题，实际上，对有些机器人来说，力的大小也是要控制的，这时，除了手部或关节的轨迹规划，还要进行手部和关节输出力的规划。 智能化程度越高，规划的层次越多，操作就越简单。,轨迹规划的目的是将操作人员输入的简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。 例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和速度等。这里所说的轨迹是指随时间变化的位置、速度和加速度。,上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的，,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声

5、点,大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点,简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任务变为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信号，产生相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力，从而完成期望的任务。如下图所示。这里，机器人实际运动的情况通常还要反馈给规划级和控制级，以便对规划和控制的结果做出适当的修正。,要求的任务由操作人员输入给机器人，为了使机器人操作方便、使用简单，必须允许操作人员给出尽量简单的描述。 期望的运动和力是进行机器人控制所必需的输入量，它们是机械手末端在每一个时刻的位姿和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一时刻期望的关节位移和速度，有些

6、控制方法还要求给出期望的加速度等。,简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，,4.1 机器人轨迹规划概述,轨迹规划？ 机器人在作业空间要完成给定的任务，其手部运动必须按一定的轨迹(trajectory)进行。 轨迹的生成一般是先给定轨迹上的若干个点，将其经运动学反解映射到关节空间，对关节空间中的相应点建立运动方程，然后按这些运动方程对关节进行插值，从而实现作业空间的运动要求，这一过程通常称为轨迹规划。,4.1 机器人轨迹规划概述轨迹规划？,二、轨迹规划的一般性问题,工业机器人的作业可以描述成工具坐标系T相对于工件坐标系S的一系列运动。,图4.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述,图4.1所示的

7、将销插入工件孔中的作业，可以借助工具坐标系的一系列位姿Pi (i=1，2，n)来描述。,二、轨迹规划的一般性问题 工业机器人的作业可以描述成工,二、轨迹规划的一般性问题,用工具坐标系相对于工件坐标系的运动来描述作业路径是一种通用的作业描述方法。 它把作业路径描述与具体的机器人、手爪或工具分离开来，形成了模型化的作业描述方法，从而使这种描述既适用于不同的机器人，也适用于在同一机器人上装夹不同规格的工具。,图4.2 机器人的初始状态和终止状态,二、轨迹规划的一般性问题 用工具坐标系相对于工件坐标系,对点位作业(pick and place operation)的机器人，需要描述它的起始状态和目标状

8、态，即工具坐标系的起始值T0，目标值Tf。在此，用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态(简称位姿) 。,对点位作业(pick and place opera,对于另外一些作业，如弧焊和曲面加工等，不仅要规定操作臂的起始点和终止点，而且要指明两点之间的若干中间点(称路径点)，必须沿特定的路径运动(路径约束)。这类称为连续路径运动(continuousPath motion)或轮廓运动(contour motion) 。 在规划机器人的运动时还需要弄清楚在其路径上是否存在障碍物(障碍约束)。,主要讨论连续路径的无障碍的轨迹规划方法。 轨迹规划器可形象地看成为一个黑箱，其输入包括路径的“设定”和“

9、约束”，输出的是操作臂末端手部的“位姿序列”，表示手部在各离散时刻的中间形位。,对于另外一些作业，如弧焊和曲面加工等，不仅要规定操,轨迹规划既可在关节空间也可在直角空间中进行，但是所规划的轨迹函数都必须连续和平滑，使机器人的运动平稳，不平稳的运动将加剧机械部件的磨损，并导致机器人的振动和冲击。为此，要求所选择的运动轨迹描述函数必须连续，而且它的一阶导数(速度)，有时甚至二阶导数(加速度)也应该连续 。 在关节空间进行规划时是将关节变量表示成时间的函数，并规划它的一阶和二阶时间导数。 在直角空间进行规划是指将手部位姿、速度和加速度表示为时间的函数。而相应的关节位移、速度和加速度由手部的信息导出。

10、通常通过运动学反解得出关节位移、用逆稚可比求出关节速度，用逆雅可比及其导数求解关节加速度。,轨迹规划既可在关节空间也可在直角空间中进行，但是所规,三、轨迹的生成方式,(1) 示教-再现运动。这种运动由人手把手示教机器人，定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生序列动作。 (2) 关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所以用这种方式求最短时间运动很方便。 (3) 空间直线运动。这是一种直角空间里的运动，它便于描述空间操作，计算量小，适宜简单的作业。 (4) 空间曲线运动。这是一种在描述

11、空间中用明确的函数表达的运动，如圆周运动、螺旋运动等,三、轨迹的生成方式 (1) 示教-再现运动。这种运动由,4.2插补方式分类与轨迹控制,一、插补方式分类,点位作业（PTP=point-to-point motion）连续路径作业（CP=continuous-path motion）,4.2插补方式分类与轨迹控制 一、插补方式分类,二、 机器人轨迹控制过程,图4.3 机器人轨迹控制过程,机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机器人如何做，机器人记住了这个过程，于是它可以根据需要重复这个动作。操作过程中，不可能把空间轨迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐，也浪费很多计算机内存。实际

12、上，对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点，计算机就能利用插补算法获得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆弧需要示教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标求出机器人各关节的位置和角度(1, , n)，然后由后面的角位置闭环控制系统实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的轨迹。,二、 机器人轨迹控制过程图4.3 机器人轨迹控制过程,4.3 机器人轨迹插值计算,一、 直线插补,空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。,已知直线始末两点的坐标值P0(X0，Y0，Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及姿态，其中P0、Pe是相对于

13、基坐标系的位置。这些已知的位置和姿态通常是通过示教方式得到的。设v为要求的沿直线运动的速度；ts为插补时间间隔。,直线长度,直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。,4.3 机器人轨迹插值计算一、 直线插补 空间直线插,ts间隔内行程d = vts；,插补总步数N为L/d +1的整数部分；,各轴增量：,各插补点坐标值：,式中：i=0，1，2，N。,可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。 机器人控制系统易于实现定时插补，例如采用定时中断方式每隔ts中断一次进行一

14、次插补，计算一次逆向运动学，输出一个给定值。由于ts仅为几毫秒，机器人沿着要求轨迹的速度一般不会很高，且机器人总的运动精度不高，故大多数工业机器人采用定时插补方式。,ts间隔内行程d = vts；插补总步数N为L/d +1的整,二、圆弧插补,1.平面圆弧插补 平面圆弧是指圆弧平面与基坐标系的三大平面之一重合，以XOY平面圆弧为例。已知不在一条直线上的三点P1、P2、P3及这三点对应的机器人手端的姿态，如图4.5及图4.6所示。,图4.5 由已知的三点P1、P2、P3决定的圆弧 图4.6 圆弧插补,二、圆弧插补1.平面圆弧插补 图4,设v为沿圆弧运动速度；ts为插补时时间隔。 (1) 由P1、P

15、2、P3决定的圆弧半径R。(2) 总的圆心角=1+2，即,(3) ts时间内角位移量=tsv/R,设v为沿圆弧运动速度；ts为插补时时间隔。 (3) ts时间,(4) 总插补步数(取整数)N = / + 1对Pi+1 点的坐标，有式中：Xi=R cosi；Yi=Rsini。,由i+1=i +可判断是否到插补终点。若i+1，则继续插补下去；当 i+1时，则修正最后一步的步长,故平面圆弧位置插补为,(4) 总插补步数(取整数)由i+1=i +可判断是,2.空间圆弧插补,空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧。空间圆弧插补可分三步来处理：(1) 把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。(2) 利用二维

16、平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1, Yi+1)。(3) 把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值，如图4.7所示。,2.空间圆弧插补 空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧。,通过不在同一直线上的三点P1、P2、P3可确定一个圆及三点间的圆弧，其圆心为OR,半径为R，圆弧所在平面与基础坐标系平面的交线分别为AB、BC、CA。建立圆弧平面插补坐标系，即把ORXRYRZR坐标系原点与圆心OR重合，设ORXRYR平面为圆弧所在平面，且保持ZR为外法线方向。求解两坐标系的转换矩阵。 令TR表示由圆弧坐标ORXRYRZR 至基础坐标系OX0Y0Z0的转换矩阵。,通过不在同一直线上的三点P1、P2、P3可确

17、定一个圆及三点间,若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为，XR轴与基础坐标系的夹角为，则可完成下述步骤：将XRYRZR的原点OR放到基础原点O上；绕ZR轴转，使X0与XR平行；再绕XR轴转角，使Z0与ZR平行。,若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为，XR轴与基础坐标系的夹,这三步完成了XRYRZR向X0Y0Z0的转换，故总转换矩阵应为,这三步完成了XRYRZR向X0Y0Z0的转换，故总转换矩阵应,欲将基础坐标系的坐标值表示在ORXRYRZR坐标系，则要用到TR的逆矩阵,欲将基础坐标系的坐标值表示在ORXRYRZR,三、关节空间插补,路径点(结点)通常用工具坐标系相对于工件坐标系位姿来表示。为了求得在

18、关节空间形成所要求的轨迹，首先用运动学反解将路径点转换成关节矢量角度值，然后对每个关节拟合一个光滑函数，使之从起始点开始，依次通过所有路径点，最后到达目标点。,三、关节空间插补 路径点(结点)通常用工具坐标系,对于每一段路径，各个关节运动时间均相同，这样保证所有关节同时到达路径点和终止点，从而得到工具坐标系应有的位置和姿态。但是，尽管每个关节在同一段路径中的运动时间相同，各个关节函数之间却是相互独立的。,三、关节空间插补,对于每一段路径，各个关节运动时间均相同，这样保证所有关节同时,在关节空间中进行轨迹规划，需要给定机器人在起始点、终止点手臂的形位。 对关节进行插值时，应满足一系列约束条件，在

19、满足所要求的约束条件下，可以选取不同类型的关节插值函数生成不同的轨迹。,三、关节空间插补,在关节空间中进行轨迹规划，需要给定机器人在起始点、,1.三次多项式插值,在操作臂运动的过程中，由于相应于起始点的关节角度0是已知的而终止点的关节角f可以通过运动学反解得到，因此，运动轨迹的描述，可用起始点关节角与终止点关节角度的一个平滑插值函数(t)来表示。(t)在t0=0时刻的值是起始关节角度0，终端时刻tf的值是终止关节角度f。,1.三次多项式插值 在操作臂运动的过程中，由,为实现单个关节的平稳运动，轨迹函数(t)至少需要满足四个约束条件，即两端点位置约束和两端点速度约束。 端点位置约束是指起始位姿和

20、终止位姿分别所对应的关节角度。(t)在时刻t0=0时的值是起始关节角度0，在终端时刻tf时的值是终止关节角度f，即,1.三次多项式插值,为实现单个关节的平稳运动，轨迹函数(t),为满足关节运动速度的连续性要求，两外还有两个约束条件，即在起始点和终止点的关节速度要求。为了满足关节运动速度连续性的要求，起始点和终止点的关节速度可简单地设定为零。,1.三次多项式插值,为满足关节运动速度的连续性要求，两外还有两个约束条,上面给出的四个约束条件可以惟一地确定一个三次多项式,运动过程中的关节速度和加速度则为,上面给出的四个约束条件可以惟一地确定一个三次多项式 运动过程,为求得三次多项式的系数a0，a1，a

21、2和a3，代以给定的约束条件，有方程组,求解该方程组，可得,为求得三次多项式的系数a0，a1，a2和a3，代以给定的约束,对于起始速度及终止速度为零的关节运动，满足连续平稳运动要求的三次多项式插值函数为,关节角速度和角加速度的表达式为,这里再次指出：这组解只适用于关节起始、终止速度为零的运动情况。,对于起始速度及终止速度为零的关节运动，满足连,图4.8 三次多项式插值的关节运动轨迹,三次多项式插值的关节运动轨迹曲线如图4.8所示。由图可知，其速度曲线为抛物线，相应的加速度曲线为直线。,图4.8 三次多项式插值的关节运动轨迹 三次多项式插,例：设有一台转动关节的机器人，其在执行一项作业时关节运动

22、历时3s。根据需要，其上某一关节必须运动平稳，并具有如下作业状态：初始时，关节静止不动，位置0=15；运动结束时f =75，此时关节速度为0。试根据上述要求规划该关节的运动。,例：设有一台转动关节的机器人，其在执行一项作,2.过路径点的三次多项式插值,一般情况下要求规划过路径点的轨迹。如图4.9所示，机器人作业除在A、B点有位姿要求外，在路径点C、D也有位姿要求。对于这种情况，假如末端执行器在路径点停留，即各路径点上速度为0，则轨迹规划可连续直接使用前面介绍的三次多项式插值方法；但若末端执行器只是经过，并不停留，就需要将前述方法推广。,2.过路径点的三次多项式插值 一般情况下要,实际上，可以把

23、所有路径点看作是“起始点”或“终止点”，求解逆运动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插值函数，把路径点平滑地连接起来。但是，在这些“起始点”和“终止点“的关节运动速度不再是零。,实际上，可以把所有路径点看作是“起始点”或“终止点,设路径点上的关节速度已知，在某段路径上，起始点为0和 ，终止点为f和 ，这时，确定三次多项式系数的方法与前所述完全一致，只是速度约束条件变为,利用约束条件确定三次多项式系数，有下列方程组：,设路径点上的关节速度已知，在某段路径上，,求解方程组，得,如何来确定路径点上的关节速度？,由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置和速度约束条件

24、的运动轨迹。,求解方程组，得如何来确定路径点上的关节速度？ 由上式确定的三,如何确定路径点上的关节速度？,（1）根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和角速度来确定每个路径点的关节速度。 该方法利用操作臂在此路径点上的逆雅可比，把该点的直角坐标速度“映射”为所要求的关节速度。当然，如果操作臂的某个路径点是奇异点，这时就不能任意设置速度值。 按照该方法生成的轨迹虽然能满足用户设置速度的需要，但是逐点设置速度毕竟要耗费很大的工作量。,如何确定路径点上的关节速度？ （1）根据工具坐标系在直角,如何确定路径点上的关节速度？,(2) 在直角坐标空间或关节空间中采用适当的启发式方法，由控制系统自动地选

25、择路径点的速度。 图表示一种启发式选择路径点速度的方式。图中0为起始点；D为终止点，A，B和C是路径点，用细实线表示过路径点时的关节运动速度。这里所用的启发式信息从概念到计算方法都很简单，即，假设用直线段把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径点处改变将号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号，则选取路径点两侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。因此，根据规定的路径点，系统就能够按此规则自动生成相应的路径点速度。,如何确定路径点上的关节速度？ (2) 在直角坐标空间或,如何确定路径点上的关节速度？,(3)为了保证每个路径点上的加速度连续，由控制系统按此要求自动地选择路径点的速度。

26、该方法为了保证路径点处的加速度连续，可以设法用两条三次曲线在路径点处按一定规则联接起来，拼凑成所要求的轨迹。 其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度也连续，下面具体地说明这种方法。,如何确定路径点上的关节速度？ (3)为了保证每个路径点上,设所经过的路径点处的关节角度为v，与该点相邻的前后两点的关节角分别为0和g。设其路径点处的关节加速度连续。如果路径点用三次多项式连接，试确定多项式的所有系数。 该机器人路径可分为0到v段及v到g段两段，可通过由两个三次多项式组成的样条函数连接。设从0到v的三次多项式插值函数为,而从v到g的三次多项式插值函数为,设所经过的路径点处的关节角度为v，与该点相

27、,时间区间分别是0,tf1、0,tf2；约束是：,对于第一个方程：,对于第二个方程：,时间区间分别是0,tf1、0,tf2；约束是：对于第,二个方程： 第一条曲线在t=tf1时的速度等于第二条曲线在t=0的速度；第一条曲线在t=tf1时的加速度等于第二条曲线在t=0时的加速度,二个方程：,两个方程共有8个未知数：,已知条件有8个：,第一方程：,第二方程：,第一条曲线在t=tf1时的速度等于第二条曲线在t=0的速度；第一条曲线在t=tf1时的加速度等于第二条曲线在t=0时的加速度,两个方程共有8个未知数：已知条件有8个：第一方程：第二方程：,当tf1=tf2=tf时的解为：,当tf1=tf2=t

28、f时的解为：,3. 高阶多项式插值 如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨迹的路径段进行插值。例如， 对某段路径的超始点和终止点都有规定了关节的位置、速度和加速度要求，则要用一个五次多项式进行插值。,3. 高阶多项式插值,1）超始点的位置0、速度0 、加速度0 ；2）终止点的位置f、速度f 、加速度f ； 在给定六个约束条件下，方程的解为：,五次多项式有六个系数，必须满足六个约束条件：六个约束条件是：,1）超始点的位置0、速度0 、加速度0 ；五次多,4.用抛物线过渡的线性插值,在关节空间轨迹规划中，对于给定起始点和终止点的情况

29、选择线性函数插值较为简单，如图4.10所示。 然而，单纯线性插值会导致起始点和终止点的关节运动速度不连续，且加速度无穷大，显然，在两端点会造成刚性冲击。,4.用抛物线过渡的线性插值 在关节空间轨迹规划中,为此应对线性函数插值方案进行修正，在线性插值两端点的邻域内设置一段抛物线形缓冲区段。由于抛物线函数对于时间的二阶导数为常数，即相应区段内的加速度恒定，这样保证起始点和终止点的速度平滑过渡，从而使整个轨迹上的位置和速度连续。线性函数与两段抛物线函数平滑地衔接在一起形成的轨迹称为带有抛物线过渡域的线性轨迹，如图4.11所示。,为此应对线性函数插值方案进行修正，在线性插值两端点,为了构造这段运动轨迹

30、，假设两端的抛物线轨迹具有相同的持续时间，具有大小相同而符号相反的恒加速度。对于这种路径规划存在有多个解，其轨迹不惟一。但是，每条路径都对称于时间中点th和位置中点h。 要保证路径轨迹的连续、光滑，即要求抛物线轨迹的终点速度必须等于线性段的速度，故有下列关系,为了构造这段运动轨迹，假设两端的抛物线轨迹具有相同,设关节从起始点到终止点的总运动时间为tf ，则tf=2th，并注意到,设关节从起始点到终止点的总运动时间为tf ，则tf=2th，,当上式中的等号成立时，轨迹线性段的长度缩减为零，整个轨迹由两个过渡域组成，这两个过渡域在衔接处的斜率(关节速度)相等；加速度的取值愈大，过渡域的长度会变得愈

31、短，若加速度趋于无穷大，轨迹又复归到简单的线性插值情况。,为保证有解，加速度值必须选得足够大，即 通常的做法是先选定加,例：已知条件为0=15，f =75，tf =3s，试设计两条带有抛物线过渡的线性轨迹。,例：已知条件为0=15，f =75，tf,解 根据题意，求出加速度的取值范围，为此，将已知条件代入下式中，有 26.67/s2 1) 设计第一条轨迹对于第一条轨迹，如果选 = 42/s2，算出过渡时间，则,解 根据题意，求出加速度的取值范围，为此，将已知条件代入下,计算过渡域终了时的关节位置和关节速度，得,计算过渡域终了时的关节位置和关节速度，得,2) 设计第二条轨迹对于第二条轨迹，若选择

32、加速度为27/s2，可求出,2) 设计第二条轨迹,(a) 加速度较小时的位移、速度、加速度曲线,(b) 加速度较大时的位移、速度、加速度曲线,(a) 加速度较小时的位移、速度、加速度曲线(b) 加速度较,五、过路径点的用抛物线过渡的线性插值,某个关节在运动中有n个路径点，其中三个相邻的路径点表示为j,k,l，每两个相邻的路径点之间都以线性函数相连，而所有路径点附近则由抛物线过渡。,五、过路径点的用抛物线过渡的线性插值 某个关节,对于内部路径段,对于第一路径段，可用以下公式求出,对于内部路径段对于第一路径段，可用以下公式求出,值得注意的是，多段用抛物线过渡的直线样条函数一般并不经过那些路径点，除

33、非在这些路径点处停止。若选取的加速度充分大，则实际路径将与理想路径点十分靠近。,值得注意的是，多段用抛物线过渡的直线样条函数一般并不经过那些,如果要求机器人途经某个结点，同时速度不为零，可以在此结点两端规定两价目“伪结点”，令该结点在两个“伪结点”的连线上，并位于两噎渡域之间的连线上。,如果要求机器人途经某个结点，同时速度不为零，可以在此结点两端,轨迹的实时生成前面所述的计算构成了机器人的轨迹规划。运行中的轨迹实时生成是指由这些数据，以轨迹更新的速率不断产生、 、 所表示的轨迹，并将此信息送至机器人的控制系统。关节空间轨迹的生成前面已经介绍了几种关节空间轨迹规划的方法，按照这些方法，其计算结果

34、都是有关各个路径段的一组数据，系统的轨迹生成器利用这些数据以轨迹更新速率具体计算出、 、 。,轨迹的实时生成,对于三次样条，轨迹生成器只需随时间的变化不断按下式,计算、 、 。当到达路径段的终点时，调用新路径段的三次样条系数，重新赋t为零，继续生成轨迹。,对于三次样条，轨迹生成器只需随时间的变化不断按下式计算、,对于带抛物线过渡的直线样条插值，每次更新轨迹时，应首先检测时间t的值以判断当前处于路径段的线性域和过渡域。处于线性域时，各关节的轨迹按下式计算：,其中t是从第j个路径点算起的时间；第二式右边jk的值在轨迹规划时由下式算出。,对于带抛物线过渡的直线样条插值，每次更新轨迹时，应首先检测时,处于守渡域时各关节轨迹按下式计算,其中jk ， k ，和tjk在轨迹规划时已经算出。,处于守渡域时各关节轨迹按下式计算其中jk ， k,Class is over.Bye-bye!,Class is over.Bye-bye!,