湘教版八年级数学上册第5章二次根式课件.ppt

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1、二次根式,第5章,5.1.1二次根式（第1课时）5.1.2二次根式（第2课时）5.2.1二次根式的乘法和除法（第1课时） 5.2.2二次根式的乘法和除法（第2课时）5.3.1二次根式的加法和减法（第1课时）5.3.2二次根式的加法和减法（第2课时）,二次根式,5.1,5.1.1 二次根式,返回,如果一个数的平方等于5，那么把这个数叫做5的一个平方根.,1. 5的平方根是 ；,由于 ，而其他数的平方不会等于5，因此5的平方根有且只有两个： .,0的平方根是 ；,0 的平方根有且只有一个：0.,正实数a的平方根是 ；,负实数有没有平方根？,由于任何实数的平方都等于正数或0，因此负实数没有平方根.,

2、可以说明：每一个正实数a有且只有两个平方根，其中一个平方根是正实数，记做 ，称它为a的算术平方根；另一个平方根是,我们把形如 的式子叫做二次根式，符号“ ”叫做二次根号，简称为根号，根号下的数叫做被开方数.,0的平方根记做,由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.,举例,例1 当x是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？,解 由 x-10，,解得 x 1.,因此，当x1时，,在实数范围内有意义.,在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.,2,4,17,0,对于非负实数a，

3、由于 是a的一个平方根，因此,举例,例2 计算：,在下面横线上填写适当的数：,2,1.2,根据上述结果，当a0时，你猜测 = .,a(a0),由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根.,又由于已知a0，因此,由此得出：,2,根据上述结果，当a0时，你猜测 = .,-a(a0),-1.2,举例,例2 计算：,由于-a的平方等于a2，因此-a是a2的一个平方根.,又由于已知a0，因此,由此得出：,综上可得：,2.从取值范围来看:,a0,a取任何实数,1.从运算顺序来看:,先开方,后平方,先平方,后开方,3.从运算结果来看:,1. 当x是怎样的实数时，下列二次根式 有意义？,答案：x1.5,答

4、案：x1,2. 计算：,答案：3,3. 计算：,答案：7,答案：3,答案：0.01,1. 定义： 我们把形如 的式子叫做二次根式，符号“ ”叫做二次根号，简称为根号，根号下的数叫做被开方数，被开方数a0 .,2. 性质：（1）（2）,例 若二次根式 有意义，则x的取值范围是_.,答案：,二次根式,5.1,5.1.2 二次根式的化简,返回,计算下列格式，观察计算结果，你发现了什么？,=,=,当a0，b0时，由于,公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.,利用积的算术平方根的这一性质，可以化简二次根式,现在你能用上面的性质说明 吗？,所以 类似 等这样的二次根式还能化简.,举例,例4 化简下列二次

5、根式：,注意：在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子全部移到根号外，否则未完成化简。,被开方数有什么特点的二次根式才能化简呢？,被开方数能写成平方因子和其它因子相乘形式的二次根式,化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方后移到根号外。,（注意：移到根号外的数必须是非负数）,举例,例5 化简下列二次根式：,观察上面例4和例5可以看出：这些式子的最后结果，具有以下特点：,（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；,（2）被开方数中不含分母.,把满足上述两条件的二次根式，叫做最简二次根式.,一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成最简二次根式.,1. 化简下列二次根式：,

6、2. 化简下列二次根式：,2、化简时，被开方式一定要先分解成平方因子和其它因 子相乘的形式. 当被开方式是多项式时一定要先因式 分解，化为积的形式后才能化简.,二次根式的化简,1、积的算术平方根的性质： 是化简二次根式的依据之一.,3、最简二次根式满足：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母.,4、二次根式的运算的最后结果要化成最简二次根式.,习题5.1,1. 当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？,为任意实数,2. 计算,习题5.1,3. 计算,习题5.1,4. 化简下列二次根式,习题5.1,5. 化简下列二次根式,习题5.1,6. 一个底面是40cm45cm

7、的长方体玻璃容器装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的陶瓷容器中.当陶瓷容器装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，求陶瓷容器的底面边长；,习题5.1,7. 在比萨斜塔上做自由落体实验得知：物体的下落距离h(m)与下落时间t(s)之间的关系约为 ，当物体从39.2m的高度下落时，求该物体到达地面所需的时间；,习题5.1,8. 化简下列二次根式：,习题5.1,9. 在实数范围内，把下列多项式因式分解；,习题5.1,10. 若 是整数，求自然数n的值.,解：令,习题5.1,二次根式的乘法和除法,5.2,1.二次根式的乘法,返回,积的算术平方根的性质是什么？,思考：把上述公式从右

8、到左看得到什么？,把上述公式从右到左看，可以得到：,思考：这个公式有什么用？,可以进行二次根式的乘法运算.,例1 计算：,举例,二次根式的运算结果，一定要进行化简. 在化简二次根式时，通常是先把根号下的每个数分 解因数，然后把每一个平方因子去掉平方号后根号外.,例2 计算：,举例,如果根号前有系数，就把系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数。,例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是 和 ，求这张长方形图片的面积.,答： 这张长方形图片的面积为21,你能总结以上例题的解题规律吗？,（1）二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。（2）如果积含有能开得尽方的因数或因式一定要移到根号外。（3）当二次根式

9、前面有系数时，可类比单项式和单项式相乘的法则，即系数与系数相乘作为积的系数，被开方数与被开方数相乘作为积的被开方数。,1. 计算：,2.计算：,3.已知三角形的一条边为 ，这条边上的高为 ，求该三角形的面积.,1.计算：,2.,2.二次根式的除法,5.2,二次根式的乘法和除法,返回,计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？,你能用字母表示你所发现的规律吗？,一般地，如果a0，则,因此,设a0，b0则,注意字母的取值条件了吗？,公式从左到右看，是商的算术平方根性质，利用这一性质，可以进行二次根式的化简.,这个等式成立吗？,举例,例4 计算：,公式从左到右看，可以进行二次根式的除法运算.,注意字

10、母的取值条件了吗？,举例,例5 计算：,例6 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高 与电视节目信号的传播半径 之间满足 (其中是 地球半径).现有两座高分别 的电视塔,问它们的传播半径之比等于多少?,解 设两座电视塔的传播半径分别为 .,你能总结以上例题的解题规律吗？,（1）二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（2）如果商含有能开得尽方的因数或因式一定要移到根号外.（3）当二次根式前面有系数时，可类比单项式和单项式相除的法则，即系数与系数相除作为商的系数，被开方数与被开方数相除作为商的被开方数.,你知道怎样化去分母中的根号？,通常

11、的方法 （1）将式子的分子、分母同时乘以一个“适当”的因式，就可以化去分母中的根号.如何选择这个因式呢？一般来说这个因式就是原式分母中的那个二次根式.（2）采用约分的办法有时也可以起到化去分母中根号的作用.,在二次根式的运算中，最后结果一般要 求分母中不含二次根式.,1.化简下列二次根式：,2.计算：,如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数.,3.已知 长方形的面积是 ，宽为 ，求长方形的长.,1. 计算：,习题5.2,2. 化简下列二次根式:,3. 计算：,4.若以个长方体的长为 ,宽为 ,高为 ,求它的体积.,5.在下面的方格中，若要使横、竖、斜的对角的所有3个实数相乘得

12、到同样的结果，则3个空格中的实数之积为多少？,6. 求下列各式当a=3，b=4时的值：,7.解一元二次方程组：,8.站在海拔高度为 的地方可看见的水平距离 ，它们两者之间的关系近似为 .某一登山者从海拔 处登上海拔 的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？,结 束,二 次 根 式,第5章,5.3 二次根式的加、减法,返回,依据上述材料，同学们能做出什么化简变形呢？,返回,试问：这样化简变形的依据是什么？,上式中第一个等号成立的理由是：实数的运算满足乘法对加法的分配律,图5-1 是由面积分别为8 和18 的正方形 和正方形 拼成求 的长.,分析问题：,解决问题：,需要条件？,二次根式做加法时

13、先 ，再将被开方数相同的二次根式 ，被开方数不变.,举例,例 1,举例,例 1,举例,例 1,通过例1我们发现，二次根式的加减法和我们能够联想到前学习过的哪一种运算呢？但是有什么不同呢？,注意 的系数是1(这是因为 )， 的系数是-1(这是因为 ).,二次根式的加减类似于合并同类项的运算.,由此看出，二次根式的加、减运算，首先要把每个根式化简，然后再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变.,例 2 图5-2是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2. 求圆环的宽度 ( 取3.14).,举例,分析问题：,解决问题：

14、,需要条件：,解：设大圆和小圆的半径分别为 ，面积分别为 ，由 可知 .,举例,1. 计算：,2. 计算：,例 计算,答案：,1.二次根式加减的步骤是什么？,2.二次根式加减的运算依据是什么？,首先要把每个根式化简，然后再把被开方数相同的二次根式的系数相加、减，被开方数不变.,实数的运算满足乘法对加法的分配律,二次根式的加、减法,本课内容,5.3,5.3.2 二次根式的混合运算,5.3,返回,甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽 下底宽 高 的梯形，这段路基长 那么这段路基的土石方为多少立方米呢？（路基的土石方即等于路基的体积）？,二次根式的混合运算是根据实

15、数的运算律进行的.,举例,例3 计算:,从例3可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似.,我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.,例4 计算：,举例,从例4的第(1)小题的结果受到启发，把分子与分母都乘以 ，就可以使分母变成1.,如何计算 ？,例5 计算：,举例,1. 计算：,2. 计算：,3. 计算：,习题5.3,1. 计算：,2. 计算：,3. 计算：,4. 计算：,5. 一个长方形的窗户,如果使得它的宽与高的比值等于 ,那么看上去就比较美观.若它的高为 ,求它的宽.,3.举例说明什么叫最简二次根式,试写出一个二次根式并将它进行化简.,2.二次根式有哪些性质?

16、,4.如何进行二次根式加、减、乘、除运算?,回顾 1.二次根式 在实数范围内有意义的条件是什么?,本章知识结构,2.学习了二次根式以后,代数式可看成是把数和表示数的字母用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)连接而成的式子.,3.积与商的算术平方根性质公式从右至左地使用,可以进行二次根式的乘、除运算.,4.实数的运算律在二次根式加、减、乘、除运算中仍然成立.,注意 1.二次根式 在实数范围内有意义,必须满足,复习题5,1. 当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？,2. 计算：,3. 计算：,4. 计算：,5. 计算：,6. 计算下列各式,根据它们的运算结果与表盘的相应刻度位置进行连线.,7. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中,给出了下面的公式:如果一个三角形的三边长分别为 则该三角形的面积为 如果已知 的三边长 分别为 请你根据该公式计算 的面积.,8. 在实数范围内,把下列多项式因式分解：,9. 当 时,求代数式 的值.,10. 设,11. 若 表示 的整数部分, 表示它的小数部分,求 的值.,12. 将边长分别为的正方形的面积记做,把边长为 的正方形的面积记做 ,其中 是正整数,从 的计算结果，你能猜出 等于多少吗？你的猜测是否正确,为什么？,