弹性力学简明教程第四版 徐芝纶 第九章ppt课件.ppt

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1、,第一节 有关概念及计算假定,第二节 弹性曲面的微分方程,第三节 薄板横截面上的内力,第四节 边界条件 扭矩的等效剪力,第五节 四边简支矩形薄板的重三角级数解,第六节 矩形薄板的单三角级数解,第七节 矩形薄板的差分解,第八节 圆形薄板的弯曲,第九节 圆形薄板的轴对称弯曲,习题的提示和答案,例题,第九章 薄板弯曲问题,教学参考资料,9-1 有关概念及计算假定,定义,薄板是厚度 板面尺寸的物体。薄板的上下平行面 ，称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面 。,比较,薄板受到横向荷载（板面）的作用 薄板的弯曲问题。,薄板受到纵向荷载（板面）的作用 平面应力问题；,杆件受到横向荷载（杆轴

2、）的作用 梁的弯曲问题。,杆件受到纵向荷载（杆轴）的作用 杆件的拉压问题；,薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。,特点,当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面。 小挠度薄板这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：,定义,(3)在内力中，仅由横向剪力 与横向荷 载q成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。,(2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；,(1)具有一定的刚度，横向挠度 ；,1. 垂直于中面的线应变 可以不计。取 ，由 ，得,故中面法线上各点，都具有

3、相同的横向位移，即挠度w。,本章研究小挠度薄板的弯曲问题。,根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：,计算假定,弯应力 （合成弯矩 ）及扭应力 （合成扭矩 ）横向切应力 （合成横向剪力 ）挤压应力,2. 次要应力分量 远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。 薄板中的应力，与梁相似，也分为三个数量级：, 为次要应力， 为更次要应力。略去它们引起的形变，即得,并在空间问题的物理方程中，略去 引起的形变项。因此，当略去 后，薄板弯曲问题的物理方程为,(1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变; 但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。,说明：, 薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的

4、物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布， 合成轴力 而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩 和扭矩 。, 从计算假定1、2，得出 故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩， 并且成为弹性曲面的法线。,因此，中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。,由于,故,3.中面的纵向位移可以不计，即,实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。,类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述三个计算假定，并应用这三个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。,1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这三个计

5、算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？,思考题,9-2 弹性曲面的微分方程,本节从空间问题的基本方程出发，应用三个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。,薄板问题解法,薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：,4.导出板边的边界条件。,3.导出求解w的方程。,2. 将其他未知函数纵向位移 u,v；主要 应变分量 ;主要应力分量 ；次要应力分量 及最次要应力 均用w来表示。,1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。,具体推导如下： 1. 取挠度 为基本未知函数。 应用几何方程及计算假定1，,2. 将 ， 用 表示。 应用几何方程及计算假

6、定2， 对 积分， 又由计算假定3， 故 得：,3.主要应变 用 表示。 应用其余三个几何方程，并代入式(a)得：,(b),4.主要应力 用 表示。 应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：,(c),5.次要应力 用 表示。 应用平衡微分方程的前两式（其中纵 向体力 ），有 代入式(c) ，并对z积分，得：,其中,上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件,由此求出 及 ，代入得到,6.更次要应力 用 表示。 应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入式(d)，并对z积分，得,由下板面的边界条件求出 ，故更次要应力为,7.导出求解w的基本方程。 由上板面边界条件（属于

7、静力平衡条件）得出在A域中求w的方程,(f),(g),为薄板的抗弯刚度,求w方程,说明： 在三个计算假定下，纵向位移u,v；主 要应变 ；主要应力 ； 沿z向均为线性分布，在中面 为0； 次要应力（横向切应力） 沿z向 为抛物线分布； 均与材料力学相似。 更次要应力（挤压应力） 沿z为三次曲线分布。, 按位移求解薄板弯曲问题，只取w为 基本未知函数。在导出求w的基本方 程中应用了三个计算假定，与材料力 学解梁的弯曲问题相似。, 从上述推导过程可见,空间问题的6个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分 方程都已考虑并满足（其中应用了3个计 算假定）；并且在 的大边界 （板面）上，三个应力边界条件也

8、已精 确满足。, 只有板边的边界条件尚未考虑，它们将作为求解微分方程（f）的边界条件。,思考题,试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲问题的异同。,9-3 薄板横截面上的内力, 在板边（小边界）上，要用内力的边 界条件代替应力的边界条件。, 薄板是按内力设计的；,薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面 上 ,由应力合成的主矢量和主矩。 求薄板内力的目的：,薄板内力,求内力：取出 的六面体，x面上，有应力 ， ， y面上，有应力 ， ， 。其中 ， ， = 沿z为直线分布，在中面为0；,， 沿z为二次分布，方向横截面。,x面 面积上，应力的主矢量和主矩为：,x面内力,合成主矢量称为横向剪力,合成主矢量为0,合

9、成主矩称为扭矩,合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩,类似地，求出y面 面积上的内力：,y面内力,弯矩扭矩横向剪力,内力的正负号规定，根据应力符号确定: 正的应力方向的主矢量为正;正的应力正的矩臂的力矩方向为正,如图。,x,y,z,内力符号,内力均为单位宽度上的主矢量和主矩，其量纲均应降低一次长度量纲。 薄板内力是横截面上，应力向中面合成的主矢量和主矩。,(e),(f),中面内力平衡条件,考虑上图的中面平衡条件，可得：,再将 用w来表示，同样地得出挠曲线微分方程,将前两式代入后式，得,94边界条件 扭矩的等效剪力,薄板的边界条件 ：,上下板面（大边界）已精确地满足了3个应力边界条件。,边界条件,板

10、边为小边界，可以应用圣维南原理来简化边界条件,将板边的边界条件归结为中面的位移边界条件或中面的内力边界条件。,板边（小边界）的边界条件尚未考虑,是求解挠曲线微分方程的边界条件。,，可看成是中面的挠曲微分方程, 或中面的平衡方程；,边界条件,薄板板边的边界条件分为三类： 1.固定边 若 为广义固定边，则,其中 为给定的约束位移。若完全固定， 则,固定边,(a),2.简支边 若 为广义简支边，则其中 ， 分别为给定的约束位移和弯矩。若 ，则一般的简支边条件为,简支边,故 第二个条件可以简化。简支边的条件为,因,简支边,3.自由边 若 为一般的自由边，则上式边界条件共有3个，与四阶微分方程不相对应。

11、经过约二十年后，基尔霍夫指出，薄板板边上的扭矩可化为等效的横向剪力。,自由边,在EF=dx 微分段上，总扭矩 ，化为E、F上等效的一对力 ，分别向下（E）和向上（F）；,在FG=dx 微分段上，总扭矩 ，化为F、G上等效的一对力 ，分别向下（F）和向上（G）。,图中，取出板边AB（y面），,扭矩的等效剪力,在F点，合成集中力 ,向下。再化为 宽度上的分布剪力 。故AB边界总的分布剪力为,此外，在A，B两端，还有两个未被抵消的集中剪力,用挠度表示为,自由边的边界条件成为,同理可导出 的自由边条件。,自由边交点的角点条件在角点B，集中 力为,若B点有支承，阻止挠度的发生，则有,若B点无支承，应无集

12、中力，有,角点条件,角点集中力的正负号及方向，根据扭矩确定，见习题9-2。 固定边是位移边界条件，自由边是内力边界条件，简支边是混合边界条件。,95四边简支矩形薄板的重三角级数解,小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲线微分方程和板边的边界条件。,求w条件,对于四边简支的矩形板，边界条件为,(b),四边简支,纳维将w表示为重三角级数， 其中m，n为正整数。代入式(b)，边界条件全部满足。,将q(x,y) 也展为重三角级数，,再代入式(a)，得,将q代入上式，比较两边系数，得,纳维解答是用多种正弦波形 的叠加来表示挠度w的。对于各种形式的荷载q ，均可方便地求出解答。它的主要缺

13、点是，只能适用于四边简支的薄板。,当q为集中荷载F，作用于一点 时，可用 代替q，并且只在 处的微分面积上存在，其余区域q =0，于是 中,当q为均布荷载时， 代入式(f)，便可求出 ，并得出w解答。,96矩形薄板的单三角级数解,设矩形板的两对边 为简支边，其余两边为任意边界。,两对边简支,其中 是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了 的简支边条件,莱维采用单三角级数表示挠度，,将式(a)代入挠曲线微分方程，得,两对边简支,将 q/D也展开为单三角级数，,两对边简支,代入式(b)，比较系数，得出求 的常微分方程，,其中 为式(d)的特解；其余四项为齐次方程的通解。将 代入式(a)，得w解，

14、其中 的系数由其余两边界条件来确定。,式(d)的解为,书中列举了受均布荷载 时,四边简支板的解答。,矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。,从求解薄板弯曲问题来看，两者比较 如下：,适用性,四边简支 两对边简支，另两边可任意,求解,简便 较困难，须求解系数,收敛性,慢 快,应用,局限于四边简支 可推广应用到其他各种边界,纳维解法 莱维解法,2.应用叠加方法，可将莱维提出的单三 角级数解，用于解决各种边界条件的 薄板问题。,3.纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的 静力（弯曲）问题中得到了广泛的应 用，而且可以推广应用于薄板的动力、 稳定问题,以及能量法中

15、。,1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？,思考题,应用差分法求解薄板弯曲问题，是比较简便的。,首先将挠曲线微分方程变换为差分方程,插分方程,97矩形板的差分解,对 点，即,固定边和简支边附近的w 值，如下图所示。,若AB为简支边，对于o 点，,若AB为固定边，则对于o点，,(a)固定边,(b)简支边,9-11,对于自由边的情形，边界点是未知数，须列式(a)的差分方程，其中涉及边界外一、二行虚结点的 w值，用自由边的边界条件来表示，所以求解时比较麻烦。,对于具有支承边（简支边，固定边）的矩形板，每一内

16、结点的w值为未知数，对每一内结点应列式(a)的方程。其中涉及边界点和边界外一行虚结点的 w值，如式(b)或(c)所示。,例1四边简支的正方形薄板， ，受到均布荷载 的作用，试取 的网格，如图 ，用差分法求解薄板中心点的挠度和应力（取 ）。,9-12,网格,精确解,答案:,例2,同上题，但四个边界均为固定边。,网格,精确解,答案:,总之，对于具有支承边的矩形板，采用差分法求解是十分简便有效的，取较少的网格便可求得精度较好的挠度值w。而由 w求内力时，对近似解w求导数后会降低精度，所以须适当地加密网格。,对于 的正方形薄板，受均布荷载 作用，试取 的网格，分别求解下列边界问题的中心点挠度，并进行比

17、较： （1）四边简支； （2）三边简支，一边固定；,思考题,（3）两对边简支，另两对边固定；（4）两邻边简支，另两邻边固定；（5）一边简支，三边固定；（6）四边固定。,98圆形薄板的弯曲,圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。,1. 挠曲微分方程仍为,其中,圆板方程,将对x，y的导数变换为对 的导数，并代入 ，得,2. 内力公式类似地可利用公式，,例如，,内力公式,同样，得出,类似地，横截面上的总剪力为,3. 边界条件可以表示为, 设 为简支边，则, 设 为固定边，则,边界条件,前一条件使w对 的导数在 边界上 均为0，故简支边条件为, 设 为自由边，则,若圆板的荷载q

18、和边界条件均为轴对称，则薄板的挠度和内力必然也为轴对称。有,99圆形薄板的轴对称弯曲,挠曲微分方程为,轴对称弯矩,式(a)的全解为,对于无孔板，则除2个外边界条件外，还应考虑挠度和内力在 的有限值条件，得 。,对于有孔板，由内外边界共4个边界条件来确定 。,通解的系数 由边界条件来确定：,其中特解 为,边界条件,上述的轴对称解答(b)，是轴对称弯曲的一般解，可以应用于一切轴对称弯曲问题。读者可参考教科书的解答和有关力学手册。,第九章例题,例题1,例题2,例题3,例题4,例题5,例题,固定边椭圆板的边界方程为,受均布荷载 作用，如图，试求其挠度和内力。,例题1,由 ，显然 。因此，从方向,解：固

19、定边的边界条件是,(a),(b),导数的公式可推出，,为了满足边界条件(a)，可以令,便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载 ，将式(c)代入方程 得出 ，并从而得,因此，只需取,(c),内力 为,读者可以检验，最大和最小弯矩为,当 时，便由上述解得出圆板的解答，若令 则椭圆板成为跨度为 的平面应变问题的固端梁。,四边简支矩形板，如图，受有分布荷载 的作用，试用重三角级数求解其挠度。,例题2,解：将 代入积分式，,由三角函数的正交性，,及,得,代入 ，得挠度的表达式为,四边简支矩形板，如图， 在 的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。,例题3,解

20、： 板中的荷载只作用在 的线上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在 的线上，荷载强度可表示为,代入系数 的公式，,(n=1,3,5),得出挠度为,四边简支矩形板，受静水压力作用， ，如图，试用单三角级数求解其挠度。,例题4,解： 应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中96式(d)右边的自由项，即代入式(d)，方程的特解可取为,从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴， 应为 的偶函数，由此， 。于是 的表达式为,在 的边界，有简支边条件,将挠度 代入边界条件，记 ，得,解出,从而得挠度解答,发生在薄板的中心点的挠度为与板上作用有均布荷载 的解

21、答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由 的条件，求出最大挠度为,例题5 设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板，其内边界简支，外边界为自由，并受到均布力矩荷载M的作用，如图，试求其挠度和内力。,解： 本题属于圆板的轴对称问题，可引用99 中轴对称圆板的一般解。由于板上无横向荷载，特解 ，于是挠度为,代入内力公式，得,内外边界的四个边界条件为,将挠度及内力代入边界条件，求出 ，最后得解答如下：,第九章 习题提示和答案,91 挠度w应满足弹性曲面的微分方程， x =0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件， 。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题4。求挠度及弯矩等的最大值

22、时，应考虑函数的极值点（其导数为0）和边界点，从中找出其最大值。,92 在重三角级数中只取一项就可以满足 的弹性曲面微分方程，并可以求出系数m。而四个简支边的条件已经满足。 关于角点反力的方向、符号的规定，可参见94中的图95。,93 本题中无横向荷载，q = 0，只有在角点B有集中力F的作用。注意w =mxy应满足：弹性曲面的微分方程，x =0和y =0的简支边条件, x =a和y =b的自由边条件，以及角点的条件 （见图95中关于角点反力的符号规定）。,在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述这类问题

23、，作为其解答的一部分。读者可参考96中图9-9的例题。,9-4 本题中也无横向荷载，q = 0，但在边界上均有弯矩作用。x= 0,a 是广义的简支边，其边界条件是,而y= 0,b为广义的自由边，其边界条件是,将w=f (x)代入弹性曲面微分方程，求出f (x)。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。,9-5 参见97及例题1，2。,只有在 的区域有均布荷载 作用，应进行积分；而其余区域 ，积分必然为零。,9-6 应用纳维解法，取w为重三角级数，可以满足四边简支的条件。在求重三角级数的系数 中，其中对荷载的积分,9-7,对于无孔圆板，由 的挠度和内力的有限值条件，得出书中99 式(d) 的解中

24、， ，然后再校核简支边的条件，求出 。 求最大值时，应考虑从函数的极值点和边界点中选取最大的值。,9-8,本题也是无孔圆板，由有限值条件，取 。相应于荷载 的特解，可根据书中99 的式(c) 求出。然后再校核 的固定边的条件。 求最大值时，应从函数的极值点和边界点的函数值中选取。,9-9,由 ，代入 及 的公式，两边相比便可得出 等用 等表示的表达式。 由 ，将w对x,y的导数转换为对 的导数。然后再与式(a) 相比， 便可得出 等用挠度 表示的公式。,9-10,参见上题，可以用类似的方法出。,（一）本章学习重点及要求,1、杆件受到纵向（平行于杆轴）荷载的作用，这是杆件的拉压问题；杆件受到横向

25、（垂直于杆轴）荷载的作用，这是梁的弯曲问题。,与此相似，薄板受到纵向（平行于板面）荷载的作用，这是平面应力问题；薄板受到横向（垂直于板面）荷载的作用，这就是薄板的弯曲问题。薄板的弯曲，可以认为是梁的弯曲的推广，是双向的弯曲问题。,第九章 教学参考资料,但读者不可简单地将板的弯曲看成是纵、横梁弯曲的迭加。否则，这会重复板的弯曲理论发展史中的错误。,2、与平面问题和空间问题不同的是，除了前述的弹性力学的五个基本假定之外，在薄板弯曲问题中，根据其内力和变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。这点与材料力学的解法相似。因此，常将薄板和壳体的理论归入高等

26、材料力学。但由于其应用的数学工具较为复杂，所以这些内容又称为实用弹性力学。,3、薄板弯曲问题属于空间问题。薄板弯曲理论，是从空间问题的基本方程和条件出发，应用薄板的三个计算假定进行简化，并按位移法导出薄板弯曲问题的基本方程和边界条件的。最后归结的基本未知函数（挠度w）和相应的方程、边界条件都只含（x,y）两个自变量，因此，薄板弯曲问题也属于二维问题。,5、对于圆形薄板，类似于极坐标中的平面问题，可以建立相应的圆板弯曲问题的方程。对于轴对称圆板的弯曲问题，其中只包含一个自变量，其方程为常微分方程，它的通解已经求出。,4、对于矩形薄板，基本的解法是纳维法和莱维法。,（二）本章内容提要,1. 薄板小

27、挠度弯曲问题的基本方程和边界条件，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，引用三个计算假定进行简化，并由按位移求解的方法导出的。,2.在薄板弯曲问题中，取挠度 为基本未知函数，它应满足：,区域内的弹性曲面微分方程固定边边界条件或简支边边界条件或自由边边界条件,薄板横截面上的内力公式为：,弯矩扭矩剪力,3.四边简支矩形板的重三角级数解（纳维解法）,4.两对边简支矩形板的单三角级数解（莱维解法）,其中 为特解，并由其余两边界的条件求出系数,5.薄板弯曲问题的差分法是:o点的差分公式为：固定边边界条件（x边界o点）简支边边界条件（x边界o点）,6.圆形薄板弯曲问题的基本方程是：其中,固定边边界条件简支

28、边边界条件自由边边界条件,7.圆板轴对称弯曲的一般解是,其中 由边界条件确定。,（三）板的分类,不同厚度的板具有不同的内力和变形特征。按板的厚度，可以分为： 1.厚板其板厚与板面尺寸之比，约为 即三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。因此，空间问题的各物理量也为同阶大小，均应考虑而不宜忽略。,2、薄板大约为 又按抗弯刚度的大小分为：,小挠度薄板这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是，（1）由于具有一定的刚度，其横向挠度 即符合小变形假定；（2）在中面位移中，w是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；（3）在内力中，仅由横向剪力 与横向荷载q成平衡，纵向轴力（平行于中面的内力）N的作用可以

29、不计。,大挠度薄板其抗弯刚度较小，因此，（1）挠度w与板厚 为同阶大小；（2）在中面位移中，u,v不能忽略；（3）纵向轴力N 也应考虑入横向的平衡条件之中。,3、薄膜大约为 其抗弯刚度极小，相应的弯曲内力 主要由纵向轴力N与横向荷载q成平衡。,（四）薄板弯曲问题的变分法,下面我们来介绍一下薄板弯曲问题的变分法。这也是解决实际问题的很有效的方法。 在薄板弯曲问题中，由于不计形变分量 因此形变势能为,(a),将形变分量 （式（9-4）和应变分量 （式（9-5）代入上式，,并注意w是(x,y)的函数。对z进行积分，得出薄板的形变势能为,薄板在横向荷载作用下的外力功和外力势能为,因此，薄板弯曲问题的总

30、势能极值条件是,求解薄板弯曲问题的里兹法是，首先设定挠度w的试函数，,使之预先满足位移边界条件（关于挠度及转角的条件），再满足里兹变分方程，,由上式可解出系数 。,求解薄板弯曲问题的伽辽金法是，令设定的挠度w 不仅满足位移边界条件，也满足应力边界条件（关于弯矩和总剪力的条件），即满足全部边界条件。然后再满足伽辽金变分方程，,(c),由上式解出系数 。,其中体力 已转化为等效的面力，归入q元中。将 （书中式（9-5），（9-6）代入，对z进行积分，得出薄板的伽辽金变分方程为,例题3 四边固定的矩形薄板，受有均布荷载 试用变分法求解其挠度。,解：薄板的固定边条件是,取挠度表达式为,上式已满足全部边

31、界条件和对称性条件。若只取一项，,并考虑到本题中全部为位移边界条件且已满足，可以应用伽辽金法求解。将,代入式（d），求出,对于正方形薄板，a=b,得出挠度解答为,最大挠度发生在x = y = 0点，,与精确解 相比，大出5% 左右。,（五）薄板弯曲问题和平面问题的比较,薄板弯曲问题和平面问题都是二维问题，可以比较如下。,基本未知函数基本方程边界条件位移边界条件应力边界条件混合边界条件,平面问题,薄板弯曲问题,应力函数,挠度,(固定边),一个位移边界条件，另一个为应力边界条件,从上表可见，两者的方程相似；但薄板弯曲问题的边界条件，特别是固定边和简支边，比平面问题的边界条件要简单的多，因此，薄板弯

32、曲问题的解答也就比平面问题的解答多。,（六）应用叠加方法,应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解用于解决各种边界条件的薄板问题(参见弹性力学简明教程学习指导)。 例如，对于图9-8的问题，二邻边为支边，另二邻边可表示为解答的叠加 ，其中 为四边简支矩形板，受q作用的解，可以用纳维解法或莱维解法求出： 分别,为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（在边界上分别受弯矩的作用，其中 均为未知，用待定系数 表示）的解，应用莱维解法可求出。,由此得出解答， ，然后再由条件,求出系数 ，从而得出解答 。,又例如，图9-9的薄板，二邻边为支边，另二邻边为自由边，也可以按图示方法求解。令 分别见图9-9所示。其中 为四边简支板，受q作用的解， 分别对应为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（其中弯矩为0，而挠度为未知，分别用待定系数 表示）的解，,应用莱维解法可求出 ； 为两邻边简支，两邻边自由，在角点A受强迫位移 （未知）作用的解（参见习题9-3）。并叠加得到 然后再由条件,及角点条件,求出 及 从而得出解答w。,