测量误差理论知识课件.ppt

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1、,测量误差理论知识主讲：黄声享 教授武汉大学测绘学院,11/10/2022,1,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,9/24/20221School of Geodesy an,教学内容,一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类偶然误差的特性评定精度的标准误差传播定律测量精度分析举例不等精度观测的平差,11/10/2022,2,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,教学内容一、误差理论的基本知识9/24/20222Schoo,教学基本要求,了解测量误差来源及其产生的原因

2、掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念了解并掌握误差传播定律的应用 重点：系统误差和偶然误差的特点及其 处理方法。 难点：中误差、相对误差、容许误差的 概念；误差传播定律的应用。,11/10/2022,3,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,教学基本要求了解测量误差来源及其产生的原因9/24/2022,一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类偶然误差的特性评定精度的标准误差传播定律测量精度分析举例不等精度观测的平差,11/10/2022,4,School of Geodes

3、y and Geomatics,Wuhan University,一、误差理论的基本知识9/24/20224School of,1.1 测量误差的来源,数据采集过程中，要用到各种仪器，要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。数据的误差是观测结果（常称观测值）与观测对象的真值之差，通常称之为真误差，可以写为：=LX （1-1）其中，L观测值，X真值，真误差,11/10/2022,5,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.1 测量误差的来源数据采集过程中，要用到各种仪器，要由人,1.1 测

4、量误差的来源,引起数据中有误差的三个因素为：仪器（精密等级）操作人员（工作经验和技能）环境（气温、风力、湿度等等）通常把它们综合起来称为观测条件。,11/10/2022,6,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.1 测量误差的来源引起数据中有误差的三个因素为：9/24,1.1 测量误差的来源,如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相同的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。在相同的观测条件下，由于测量时产生偶然误差的因素大体相同，因此测量所得结果的精度也是相等的，故称此时的测

5、量为同精度观测或等精度观测。,11/10/2022,7,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.1 测量误差的来源如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人,1.2 测量误差的分类,偶然误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，从单个误差看，该列误差的大小和符号表现出偶然性，无规律，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，也称随机误差。 处理方法：采用多余观测，利用测量平差的方法求出观测值的最或然值。,11/10/2022,8,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan Uni

6、versity,1.2 测量误差的分类偶然误差：指在相同的观测条件下作一系列,1.2 测量误差的分类,系统误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，大小和符号表现出系统性，或按一定规律变化，或者为某一常数的误差。 处理方法： 1)在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制或削弱系统误差的影响； 2）在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公式对观测值进行系统误差改正； 3）将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，一并解算。,11/10/2022,9,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.2 测量误差的分类系统误差：指在相同的观

7、测条件下作一系列,1.2 测量误差的分类,粗差：除了偶然误差和系统误差之外，在观测值中还可能有错误，一般是由于操作人员的过失引起的。 处理方法：寻找错误的最简单办法就是对测量的对象多测几次（进行多余观测），检查各次的观测值相差有多大，如果发现异常便可将异常的观测值剔除。 测绘工作中称必须的那几次观测为必要观测，增多的几次观测为多余观测。,11/10/2022,10,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.2 测量误差的分类粗差：除了偶然误差和系统误差之外，在观,1.2 测量误差的分类,偶然误差系统误差粗差,11/10/2022,11

8、,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.2 测量误差的分类偶然误差9/24/202211Scho,1.2 测量误差的分类,例：为知道一段直线的长度，仅需测量一次即可，但是测量一次又觉得不放心，于是测量了5次，得到5个长度值： 1543.24m、1543.26m、1543.23m、 1543.27m、1544.25m 仅需的一次测量是必要观测，多测量的4次是多余观测。有了多余的4次，将5次的长度值相互加以比较后，发现最后一次的数据与其它4次的长度值明显地差别太大（约1m），因此便可以怀疑它有错误而加以排除。剩余的4个数据之所以也不相

9、同，那就是每个数据中都含有误差。,11/10/2022,12,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.2 测量误差的分类例：为知道一段直线的长度，仅需测量一次,1.2 测量误差的分类,测量平差研究的主要对象是偶然误差，即总是假定含系统误差的观测值已经过适当改正，含粗差的观测值已被剔除，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。,11/10/2022,13,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,1.2 测量误差的分类 9/24/202213Schoo,一、误差理论的基

10、本知识测量误差的来源及其分类偶然误差的特性评定精度的标准误差传播定律测量精度分析举例不等精度观测的平差,11/10/2022,14,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,一、误差理论的基本知识9/24/202214School o,2 偶然误差的特性,对于偶然误差的分析是应用数学中的数理统计理论。在数理统计中，对产生偶然误差的这些因素被认为是随机的作用。测量人员在测量某个对象的过程中的“随机”作用，就是在某个观测条件下（没有其它任何人为的和非人为的限制）自然地产生的作用。在随机作用下，不管那一个随机数，数值大的、数值小的都可能出现或不

11、出现，偶然误差便是这样的随机数。由此可以说明，偶然误差的大小就个别误差而论是看不出什么规律的，但是在相同的观测条件下偶然误差出现的个数多了，由观测条件本身而造成的偶然误差的规律便被显现出来。,11/10/2022,15,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性 对于偶然误差的分析是应用数学中的数,2 偶然误差的特性,偶然误差的规律（性质）可归纳为以下4点：在相同观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。观测条件不同，这个限度的值也不同。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，即绝对值小的误差的个数多于绝对值

12、大的误差的个数。绝对值相等的正、负误差，其出现的可能性相等。当观测次数(N)无限增多时，偶然误差()的算术平均值趋近于零。即,11/10/2022,16,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性偶然误差的规律（性质）可归纳为以下4点：9,2 偶然误差的特性,为了对一组在相同条件下完成的观测中全部偶然误差的分布了解得更为直观，可按一定的规则绘成图形。首先对偶然误差按间隔d分组，每组的偶然误差个数为ni，总的个数为N， ni/N是在一个间隔内偶然误差的个数在总个数中占有的比值，纵坐标则是此比值再除以间隔的宽度d。通常将此图

13、称为直方图。,11/10/2022,17,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性 为了对一组在相同条件下完成的观测中全部,2 偶然误差的特性,在N无限增多，d无限缩小的条件下，直方图的形状将趋向于一条曲线，称之为误差分布曲线（也称误差曲线），它是可以用函数来描述的。,11/10/2022,18,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性 在N无限增多，d无限缩小的条件下，直方,2 偶然误差的特性,误差曲线可以表示为：,由绘制直方图的规则知，每个

14、矩形的面积为ni/N。如果将全部矩形面积相加，因为分子的和就是全部观测值的总个数N，故全部面积的和为1。将此结果推论到误差曲线，则曲线与横坐标之间的面积亦为1。虽然曲线的两端并未与横坐标重合，但它是向横坐标逐渐趋近，因此整个面积与1之差将非常的微小。,11/10/2022,19,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性误差曲线可以表示为：由绘制直方图的规则知，,2 偶然误差的特性,界于曲线之下，横坐标之上，两处之间的面积占有总面积的很大部分 ，由数理统计理论证得，此面积恒为0.6827 。|愈小，曲线的形状将愈陡峭，它

15、表示小的误差愈多。而|愈大，曲线的形状则愈平缓，它表示小的误差愈少。,11/10/2022,20,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性界于曲线之下，横坐标之上，两处之间的面积,2 偶然误差的特性,可见，参数的大小代表着曲线的形状，表征了偶然误差分布的特征，因此成为一个重要的特征值。数理统计称2为误差的方差，称为误差的标准差（又称方根差或均方根差）。在数理统计中称这样的曲线为正态分布。,11/10/2022,21,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶

16、然误差的特性可见，参数的大小代表着曲线的形状，表征了,2 偶然误差的特性,参数与观测条件有关，如果在两种观测条件下各有一组观测值，那么它们对应的将不会相同。下图表示了两个不同的的f()曲线形状，由曲线的函数表示式可知，当=0时f()有最大值。,11/10/2022,22,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性参数与观测条件有关，如果在两种观测条件下,2 偶然误差的特性,直接由的值即可了解得到，绝对值小者(1)陡峭，绝对值大者(2)平缓以两个1为界，曲线2在此区间的面积明显比曲线1的面积小 从曲线顶部的高度也可看出，很

17、小误差的个数也是曲线2少于曲线1,11/10/2022,23,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性直接由的值即可了解得到，绝对值小者(1,2 偶然误差的特性,由此可以认为，曲线2的观测条件不如曲线1的观测条件好。这个结论直接由| 2 | 1 |便可得出。同理，如果| 2 |=| 1 | ，那么曲线2的观测条件与曲线1的观测条件相同。,11/10/2022,24,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性9/24/202224School of

18、,2 偶然误差的特性,必须再次说明的是，特征值是在某种观测条件下，代表误差曲线形状的一个量，它并不是一个具体的误差，即使有某一个具体误差的值正好与相等，也不能说这个误差是特征值，因为它们本身的含义不同。,11/10/2022,25,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,2 偶然误差的特性9/24/202225School of,一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类偶然误差的特性评定精度的标准误差传播定律测量精度分析举例不等精度观测的平差,11/10/2022,26,School of Geodesy and Geomatics

19、,Wuhan University,一、误差理论的基本知识9/24/202226School o,3 评定精度的标准,前面已经说明，有一组同精度观测，若求得的愈小，则这一组观测值的精度愈高，即观测值愈接近真值（在排除系统误差的条件下）。但是，对于这一组中的任意一个观测值，它们的真误差有大、有小，能不能说真误差大的精度低，真误差小的精度高呢？,11/10/2022,27,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202227School of,3 评定精度的标准,不能，因为真误差的大小是由观测条件而随机产生的，是

20、随机量，真误差的大小是在同一个精度工作条件（同一个观测条件）下偶然出现的。因此衡量一个观测值的精度只能是用它所在的一组同精度观测值求得的来表示，也就是用它作为评定某观测值精度的指标。,11/10/2022,28,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202228School of,3 评定精度的标准,测绘学中常将|记为。通常所说的某观测值的精度，即是指该观测值的，是一组观测值偶然误差的密集程度，而不是它各次观测本身的偶然误差的大小。实际上，观测值的精度也代表了获得它的观测条件的好坏。,11/10/2022,

21、29,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202229School of,3 评定精度的标准,由于实际测量工作的观测次数（N）是有限的量，将无法求得，即无法对右式进行计算。如果一定要计算，其结果就不是，现用m代替，即m是的近似值，N愈大，近似于的程度愈好，因而称m是的估值。,11/10/2022,30,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准由于实际测量工作的观测次数（N）是有限的量,3 评定精度的标准,一般情况下，在实际测绘工作

22、中只能求得观测对象的估值m，为区别于为标准差这个名称，称m为中误差，并用之作为评定精度的标准。显然，如果使用的N不够大，那么这个近似于的程度将难以预计。,11/10/2022,31,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202231School of,3 评定精度的标准,为了提高的m可信度，通常总是选择较好的观测环境（外界条件），由经过训练的人员进行观测，此时可以认为产生偶然误差的因素主要是用于观测的仪器的质量。一般地说，影响观测值精度的观测条件，仪器的质量是最主要的因素，偶然误差如此，系统误差亦如此。,1

23、1/10/2022,32,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准为了提高的m可信度，通常总是选择较好的观测,3 评定精度的标准,用中误差来衡量观测值的精度，对有些观测对象并不一定合适，例如有两条直线AB和CD，AB长50m，CD长100m，AB和CD的中误差均为10mm，那么能否因为两条直线的中误差相等而认为它们的精度也相等呢？,11/10/2022,33,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202233School of,3

24、评定精度的标准,就人们的一般常识也不会认为它们是相等的。为此便需要用相对中误差这个概念来衡量精度，AB直线的相对中误差按下式计算：,同样可以算得CD直线的相对中误差为1/10000。取分子为1，是便于了解相对值的大小，有利于在多个相对误差之间进行比较。相对中误差多用于距离这样的观测值，对于角度、高差这样的观测值则直接用中误差来衡量精度。,11/10/2022,34,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准就人们的一般常识也不会认为它们是相等的。为,3 评定精度的标准,在现实的测绘工作中，常常需要知道某个观测值是否可用的

25、问题。例如前述的5个长度值：1543.24m、1543.26m、1543.23m、1543.27m、1544.25m，最后一个因与其它4个明显地相差较大（将近1m）而被认为有错误并将其剔除，但是另外4个之间又只能相差多大呢。假如最后一个不是1544.25m，而是1543.51m，是否应将其剔除？,11/10/2022,35,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准 在现实的测绘工作中，常常需要知道某个观测,3 评定精度的标准,由数理统计可知：位于两个之间的误差个数是总个数的68.27% 两个2之间（右图中灰色部分）误差

26、个数占总误差个数的95.45% 两个3之间的误差个数占了总误差个数的99.7%,11/10/2022,36,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准由数理统计可知：9/24/202236Sc,3 评定精度的标准,有理由认为在实际的测量结果中，误差的绝对值大于2的观测值是极少或不应该出现的，如果出现了这样的误差，可将其认为是不合格的结果而予以剔除。因此通常总是将2作为限制观测值误差大小的界限，即限差。有时也称绝对值大于2的误差为粗差。,11/10/2022,37,School of Geodesy and Geomati

27、cs,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202237School of,3 评定精度的标准,计算中误差的公式为：要得到测量对象的真误差（=LX）首先要知道其真值，而真值通常情况下是不知道的。所以，只能通过别的途径来计算中误差。,11/10/2022,38,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202238School of,3 评定精度的标准,设各次的观测值为Li，它们的真误差为i，可得各次观测的真值为,相加并用N除，得,11/10/2022,39,School of Geode

28、sy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准设各次的观测值为Li，它们的真误差为i，,3 评定精度的标准,在观测次数N不是无限多时，由上式计算的值将不会是真值，而是一个接近于真值的量，这种最接近于真值的量称为最或然值。 N越大，最或然值与真值的差别越小。为了将N为有限个数n时计算的算术平均值与真值相区别，用x表示，即,11/10/2022,40,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准在观测次数N不是无限多时，由上式计算的值将,3 评定精度的标准,这时，因x不等于X，故观测值L

29、与x之差将不是真误差，而是被称为离差的v，在测绘学中称为改正数。计算v的规则如下：v x L 或 x L v即观测值加上改正数v后为最或然值。利用改正数v也可以计算中误差，计算式为：,11/10/2022,41,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准这时，因x不等于X，故观测值L与x之差将不,3 评定精度的标准,上式等号右端根号内的分母n-1是多余观测个数，这是因为其中的n是参与计算平均值的观测值总个数，而一个观测量只需一次观测即可，即必要观测数为1，多余的观测数当然是n-1。有时，必要观测数不是1，例如是t次，那么

30、这时就要用n-t来代替n-1。,11/10/2022,42,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,3 评定精度的标准9/24/202242School of,一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类偶然误差的特性评定精度的标准误差传播定律测量精度分析举例不等精度观测的平差,11/10/2022,43,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,一、误差理论的基本知识9/24/202243School o,4 误差传播定律,实际的测绘工作中的情况：测量一圆形建筑的圆周长计算其半径

31、根据距离和坐标方位角的测量值计算两点间的坐标增量水准测量中，一个测站的高差要由前、后视读数相减计算对于这些具有函数关系的量，它们的方差（中误差）之间的规律？,11/10/2022,44,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,4 误差传播定律实际的测绘工作中的情况：9/24/20224,4 误差传播定律,现以只有两项的线性函数为例进行讨论。有函数Y=k1 X1+k2 X2式中：k1，k2为常数；X1，X2为观测值。因常数没有误差，故真误差之间的关系为：,两端取平方,X1，X2均观测了N次，则两端取和再除以N,11/10/2022,45,

32、School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,4 误差传播定律现以只有两项的线性函数为例进行讨论。有函数两,4 误差传播定律,N无限大时,式中,称为X1，X2和协方差。,11/10/2022,46,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,4 误差传播定律N无限大时式中称为X1，X2和协方差。9/2,4 误差传播定律,如果两个观测值X1，X2是由各自独立的观测测得的值，相互之间不受影响，那么它们的误差X1，X2也是互不影响的偶然误差。由于在个数无限增大时， X1， X2二者均是数值小的多

33、，正负个数大体相等，那么其乘积也会是数值小的多，正负个数大体相等。在分母N极大时可以认为,，从而,11/10/2022,47,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,4 误差传播定律如果两个观测值X1，X2是由各自独立的观测测,4 误差传播定律,N有限，以中误差m代替标准差,这就是误差传播定律,11/10/2022,48,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,4 误差传播定律N有限，以中误差m代替标准差这就是误差传播,4 误差传播定律,以上的推导过程，对一般的线性函数也适用，即

34、,中误差关系为,X1，X2，Xn相互之间应是独立的量，否则应将协方差考虑在内 。,11/10/2022,49,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,4 误差传播定律以上的推导过程，对一般的线性函数也适用，即中,4 误差传播定律,对于非线性的函数，则必须先做微分运算化为线性函数，再转换为中误差：,全微分,微分量看作中误差,11/10/2022,50,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,4 误差传播定律对于非线性的函数，则必须先做微分运算化为线性,一、误差理论的基本知识测量误差

35、的来源及其分类偶然误差的特性评定精度的标准误差传播定律测量精度分析举例不等精度观测的平差,11/10/2022,51,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,一、误差理论的基本知识9/24/202251School o,5 测量精度分析举例,例1：直线AB共测量了6次，各次测量的值见右表，现计算各次测量值的中误差。,11/10/2022,52,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例测量次序测量值/m1864.237286,5 测量精度分析举例,解：AB直线的

36、最或然值x为,计算得各次测量值的改正数为-3.3mm，-1.3mm，+2.7mm，+0.7mm，-0.3mm，+1.7mm。则中误差,即x = 864.2342.2mm,11/10/2022,53,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例解：AB直线的最或然值x为计算得各次测量,5 测量精度分析举例,例2：今测量出某圆形建筑物的圆周长L=46.482m4mm（4mm表示它是46.482m的中误差），欲求该建筑物的圆半径R及其中误差mR。,11/10/2022,54,School of Geodesy and Geom

37、atics,Wuhan University,5 测量精度分析举例9/24/202254School of,5 测量精度分析举例,解：已知圆周长与半径的函数为：,则真误差关系为：,由误差传播律得：,将mL=4mm代入，得mL=0.6mm；由第一式可计算半径，则R=7.398m0.6mm。,11/10/2022,55,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例解：则真误差关系为：由误差传播律得：将m,5 测量精度分析举例,例3：某测量小组，以同精度对30个三角形的每个内角A、B、C进行了观测，由于观测值A、B、C中存在有

38、误差，故每个三角形的内角和并不一定等于180，设差值为W，称为三角形闭合差。W的值按下式计算 WABC18030个W的值见下表,试求每个三角形内角中误差。,11/10/2022,56,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例例3：某测量小组，以同精度对30个三角形,5 测量精度分析举例,解：按误差传播定律，得,同精度，,由于W的真值为零，故表中的值即为W的真误差。按真误差求中误差公式可得mW=11.1，从而可计算得各个内角的中误差m=6.4。,11/10/2022,57,School of Geodesy and G

39、eomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例解：按误差传播定律，得同精度，由于W的真,5 测量精度分析举例,例4：已知A，B两点的距离DAB=582.494m14mm，由A至B的坐标方位角=8334165，求AB的纵坐标增量XAB和它的中误差。,11/10/2022,58,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例9/24/202258School of,5 测量精度分析举例,解：由计算XAB的公式得,为计算中误差，作微分化为线性函数,的单位为弧度，按误差传播律得,11/10/2022,59

40、,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例解：由计算XAB的公式得为计算中误差，,5 测量精度分析举例,已知数据,则可得,从而,11/10/2022,60,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例已知数据则可得从而9/24/202260,5 测量精度分析举例,例5：求例1所示数据的算术平均值的中误差（其数据列于右表）。,11/10/2022,61,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan Universit

41、y,5 测量精度分析举例测量次序测量值/m1864.237286,5 测量精度分析举例,解：设观测值为l1, l2,ln，它们的算术平均值L为,它们的真误差关系为,注意到各观测值为独立观测值且精度相同，按误差传播律有,11/10/2022,62,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例解：设观测值为l1, l2,ln，它们,5 测量精度分析举例,式中，ml为例1计算的各观测值的中误差，将数据代入，得,可见，算术平均值的精度比一次观测值的精度要高。,计算算术平均值中误差的公式可以写为：,11/10/2022,63,Sc

42、hool of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,5 测量精度分析举例式中，ml为例1计算的各观测值的中误差，,一、误差理论的基本知识测量误差的来源及其分类偶然误差的特性评定精度的标准误差传播定律测量精度分析举例不等精度观测的平差,11/10/2022,64,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,一、误差理论的基本知识9/24/202264School o,6 不等精度观测的平差,当一个观测对象有若干次同精度观测的观测值时，它的最后结果用算术平均值求得。由例5的计算知道，算术平均值的中误差(

43、0.9mm)明显地小于各次观测值的中误差(2.2mm)，这也是选取算术平均值作为最或然值的一个重要理由。用算术平均值进行计算时，分子中各观测值前的系数均为1，分母则为观测值的个数，实际上也等于分子各项系数的和。也就是说，同精度观测的各观测值在参与计算最或然值时，它们的权利是相等的。这也说明，如果各观测值的精度不同，那么它们前面的系数也不应该相同，而且称这些系数为权。,11/10/2022,65,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差当一个观测对象有若干次同精度观测的观测,6 不等精度观测的平差,例如，有直线AB，

44、由两个测量小组对它作了长度测量，各小组的每次测量都是在相同观测条件下进行的，即每次观测值的精度都相同。小组1共测量了2次，所得的测量值为l1，它是2次测量值的算术平均值。小组2共测量了4次，所得的测量值为l2，它是4次测量值的算术平均值。现在的问题是，是否可以取l1和l2的算术平均值作为直线AB的最或然值?,11/10/2022,66,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差例如，有直线AB，由两个测量小组对它作,6 不等精度观测的平差,回答是否定的，因为l1只是2次测量值的平均，而l2是4次测量值的平均，它的精度

45、明显地高于l1的精度。也就是说在计算直线AB的最后结果时，必须顾及到二者的精度状况，亦即在作平均值计算时，需要将、前面的系数取不同的数值（取不同的权）。,11/10/2022,67,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差9/24/202267School o,6 不等精度观测的平差,为了说明如何确定权的大小，将两个小组的原始观测值合并在一起计算，即直线AB的最后结果L为,11/10/2022,68,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的

46、平差为了说明如何确定权的大小，将两个小组的,6 不等精度观测的平差,等号右端，分子l1的系数即为l1的权，用p1表示， l2的系数即为l2的权，用p2表示，于是可以写成一般的计算式,推广至n个不同精度的观测值，则有,称上式为加权平均计算，L即为加权平均值（亦称带权平均值或广义算术平均值）,11/10/2022,69,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差等号右端，分子l1的系数即为l1的权，,6 不等精度观测的平差,可以看出，各观测值的权相互之间是一种比例关系。它们代表着相互之间的精度关系，即权是一个代表相对精度

47、的量。既然权与观测值的精度有关，那么权与中误差的关系是怎样的？,11/10/2022,70,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差可以看出，各观测值的权相互之间是一种比,6 不等精度观测的平差,设小组1和小组2各次观测值的中误差为m，那么，由误差传播定律知， l1的中误差m1 ， l2的中误差m2分别为,写成一般形式,可见，观测值的权与观测值的中误差平方成反比。显然，上等号右端的系数为1，也就是说权为1，并称为单位权，对应的中误差则称为单位权中误差，通常记为。,11/10/2022,71,School of Ge

48、odesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差设小组1和小组2各次观测值的中误差为m,6 不等精度观测的平差,下面讨论加权平均值的权的问题根据加权平均值的计算公式，其真误差与各观测值的真误差之间的关系为：,由误差传播定律,11/10/2022,72,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差下面讨论加权平均值的权的问题由误差传播,6 不等精度观测的平差,推论到更多的观测值个数，则,可见，加权平均值的权即是参与计算的各观测值的权之和。以上讨论说明，权是各观测值的相对精度

49、，因此各观测值的权就可以由与精度有关的量来表示，如测量的次数，水准测量的测站数或水准测量的路线长度等等。这些量都不需要在预先知道观测值中误差的情况下即可获得，因此对于计算是有利的。,11/10/2022,73,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差推论到更多的观测值个数，则可见，加权平,6 不等精度观测的平差,但是在需要知道单位权中误差时，计算的办法：事先设定，如前面所述的以一次观测的中误差为单位权中误差在以下三种情况，分别用公式计算,11/10/2022,74,School of Geodesy and Geo

50、matics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差但是在需要知道单位权中误差时，计算的办,6 不等精度观测的平差,对于从已知点A施测到B点的单一水准路线，设水准路线上各测站的高差为hi(i=1,2,n)，则B点的高程HB为,因HA为已知点，其误差可以忽略不计，则,11/10/2022,75,School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,6 不等精度观测的平差对于从已知点A施测到B点的单一水准路线,6 不等精度观测的平差,各测站精度相同，中误差设为mh,误差传播律,取mh=,为单位权中误差,1/n即为B点高程的权，也就是说，