数学分析第三章函数极限ppt课件.ppt

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1、2022/11/10,1,第三章 函数极限,由上章讨论知，数列实质就是一种特殊的函数整标函数,1 函数极限的概念,2022/11/10,2,引例,2022/11/10,3,当x无限增大时，函数f(x)=arctanx无限接近于,问题:,如何用数学语言刻划 “无限增大”、“无限接近”?,直观上，当 x 无限增时,2022/11/10,4,对任给定的 0，都存在自然数 N=N () ，使得当 nN 时，恒有 |xn-a|=|f(x)-a| 成立。,定义 设f(x)在a,+有定义， =A 对任给定的 0，都存在 X=X() a，使得当 x X 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,2022/11/1

2、0,5,2022/11/10,6,几何解释 y A+ y=f(x) A A- O X x,即 A x + 时， 曲线 y = f (x) 有水平渐近线 y =A .,2022/11/10,7,定义 f(x)在（-，a有定义， A 对任给定的 0，都存在 X=X ()0，使得当 x- X 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,2022/11/10,8,几何解释 y A -X O 即 A x - 时，曲线 y = f (x) 有水平渐近线 y =A。,2022/11/10,9,定义 设f(x)在U()有定义， A 对任给定的 0，都存在 X=X()0，使得当 |x|X 时，恒有 | f(x)-A|

3、 成立。,简写为：,2022/11/10,10,几何解释 y A -X O X x即 A x 时， 曲线 y = f (x) 有水平渐近线 y =A .,2022/11/10,11,不难证明：,2022/11/10,12,例1,证,2022/11/10,13,例2,证,2022/11/10,14,2022/11/10,15,2022/11/10,16,定义 设f(x)在x0的某个去心邻域有定义义， A 对任给定的 0，都存在 = ()0，使得当0 |x-x0| 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,2022/11/10,17,几何解释:,2022/11/10,18,2022/11/10,19,

4、定义 设 f(x) 在x0的某个左去心邻域有定义， 对任给定的 0，都存在 = ()0,使得当 - x-x00 ( 即x0 - x x0) 时，恒有 | f(x)-A| 成立。,2022/11/10,20,不难证明（课后作业）：,2022/11/10,21,注意：,2022/11/10,22,总结：,2022/11/10,23,例3,证,2022/11/10,24,例4 证明 2,证：,2022/11/10,25,例5 证明：,证 ：对任给定的 0，,2022/11/10,26,例6 证明,2022/11/10,27,证：,准备知识 1 证明：,2022/11/10,28,准备知识 2 两角和

5、公式,2022/11/10,29,准备知识 2 积化和差、和差化积,2022/11/10,30,例6 证明,证,2022/11/10,31,左右极限存在但不相等,例7,证,2022/11/10,32,例8,解：,2022/11/10,33,例9 证明：当n是任意整数时，,y=x,证 仅证第一式。,不妨设 nxn+1,则 x=n,2022/11/10,34,2 函数极限的性质,六种函数极限，以 为代表，说明其性质，其余类似。,2022/11/10,35,一、唯一性,定理2 若 存在， 则此极限唯一.,证,2022/11/10,36,2022/11/10,37,二、局部有界性,定理3 若 存在，

6、则f在x0的某空心邻域内有界.,证,2022/11/10,38,三、局部保号性,定理4,证,设A0,同理可证A0的情况。,2022/11/10,39,四、不等式性,定理4,证,2022/11/10,40,五、迫敛性（夹逼准则）,定理6,2022/11/10,41,六、四则运算法则,定理7,2022/11/10,42,说明：,同数列极限需注意,2022/11/10,43,例1 计算下列极限：,解,2022/11/10,44,2022/11/10,45,例2 计算下列极限：,解,2022/11/10,46,2022/11/10,47,3 函数极限存在的条件,一、归结原则 (Heine定理),定理8

7、,2022/11/10,48,证,2022/11/10,49,(用反证法),2022/11/10,50,2022/11/10,51,例如,注1,归结原则是把函数极限问题归结为相应的数列极限问题。,2022/11/10,52,注2,若可以找到一个以x0为极限的数列xn，使,或可以找到两个以x0为极限的数列xn1xn2，使,2022/11/10,53,例1,证,二者不相等,2022/11/10,54,例2 证明,证,2022/11/10,55,注3 归结原则对xx0+, xx0-, x+, x- , x,也成立，但对xx0+, xx0-, x+, x- 有更强的形式。,定理9,2022/11/10

8、,56,证,2022/11/10,57,x0,xn,x2,x1,矛盾！,2022/11/10,58,同样有,定理91,定理92,2022/11/10,59,二、单调有界定理（仅对4种单侧极限成立）,定理,对于x时的单调有界定理，请同学叙述并证明。,2022/11/10,60,证,另一方面，上确界是上界，故,2022/11/10,61,三、Cauchy 收敛准则,定理10,2022/11/10,62,证,2022/11/10,63,用归结原则。,2022/11/10,64,2022/11/10,65,由归结原则，,2022/11/10,66,注1,注2,2022/11/10,67,例4 证明,证,2022/11/10,68,作业：P55. 2 3 4,