多元微分偏导微分ppt课件.ppt

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1、,复数复习,一.复数内容:,1.域的扩充,2.复数的定义,复数域,3.复数实部,虚部,模,共轭复数,4.复数的四种表示,5.复数的运算(四则运算，复数的方根),6.圆的复数方程,二.复变函数,1.复变定义,2.复变函数几何意义,多元函数微分学习题课,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),内容小结,3. 微分定义:,4. 重要关系:,方向导数存在,

2、内容小结,5. 复合函数求导的链式法则,例如,6. 全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是因变量,内容小结,1. 隐函数存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法2. 代公式,思考与练习,设,求,函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,1.,一.选择题,2.,3.,4.,5.,二.偏导,全微分问题,2,3,4.,5,6,7.,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解:,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在

3、点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为, 函数在某点处方向导数的最大，最小值问题,1,三.方向导数,梯度问题,3,最小，最小值为,4,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1) 隐式情况 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法向量,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),2. 极值

4、与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题(求区域内部的驻点和边界上可能的极值点),多元函数微分法的应用,1,四. 几何应用问题,4,3,五.多元极值应用,1.,2.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,3.,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,4. 求平面上以,5. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,所对应的三角形面积为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,6.,