多元函数微分学ppt课件.ppt
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1、第一节 多元函数的基本概念,一、多元函数的概念,二、多元函数的极限,三、多元函数的连续性,四、小结 思考题,(1)邻域,一、多元函数的概念,(2)区域,例如,,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如,,例如,,有界闭区域;,无界开区域,例如,,(3)聚点, 内点一定是聚点;,说明:, 边界点可能是聚点;,例,(0,0)既是边界点也是聚点, 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,(4)n维空间, n维空间的记号为,说明:, n维空间中两点间距离公式, n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时,便为数轴、平面、空间两
2、点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域:,设两点为,(5)二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,(如下页图),二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,二、多元函数的极限,说明:,(1)定义中 的方式是任意的;,(2)二元函数的极限也叫二重极限,(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时,,原结论成立,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化,,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限不存在的方法:,利用点函数的形式有,三、多元函
3、数的连续性,定义3,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化,,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数,,在有界闭区域D上的多元连续函数,,(1)最大值和最小值定理,(2)介值定理,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,如果在D上取得两个不同的函数值,,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,(3)一致连续性定理,在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续,多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多
4、元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,(注意趋近方式的任意性),四、小结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,练 习 题,练习题答案,不存在.,观察,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,三、小结 思考题,一、偏导数的定
5、义及其计算法,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,证,原结论成立,证,有关偏导数的几点说明:,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;,解,、偏导数存在与连续的关系,?,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续,,多元函数中在某点偏导数存在 连续,,4、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,纯偏导,混合偏导,定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,解,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系:,解,问题:,混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件
6、才相等?,解,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,(偏增量比的极限),纯偏导,混合偏导,(相等的条件),三、小结,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,练习题答案,第三节 全微分及其应用,一、全微分的定义,二、可微的条件,三、小结 思考题,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,全增量的概念,全微分的定义,事实上,二、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,?,例如,,则,当 时,,说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在,,证,(依偏导数的连续性),同理,习惯上,记全微分
7、为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,解,所求全微分,证,令,则,同理,不存在.,多元函数连续、可导、可微的关系,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,由公式得,、多元函数全微分的概念;,、多元函数全微分的求法;,、多元函数连续、可导、可微的关系,(注意:与一元函数有很大区别),三、小结,思考题,练 习 题,练习题答案,第四节 多元复合函数的求导法则,一、链式法则,二、全微分形式不变性,三、小结 思考题,证,一、链式法则,上定理的结论可推广到中间
8、变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数,而是多元函数的情况:,链式法则如图示,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,解,解,解,令,记,同理有,于是,二、全微分形式不变性,解,1、链式法则(分三种情况),2、全微分形式不变性,(特别要注意课中所讲的特殊情况),(理解其实质),三、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结 思考题,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,解,令,则,解,令,则,解,令,则,思路:,解,令,则,整理得,整理得,整理得,二、方程
9、组的情形,解1,直接代入公式;,解2,运用公式推导的方法,,将所给方程的两边对 求导并移项,将所给方程的两边对 求导,用同样方法得,(分以下几种情况),隐函数的求导法则,三、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,第六节 微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、小结 思考题,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面:过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间
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