复变函数第1讲ppt课件.ppt

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1、复变函数与积分变换,（复变函数积分变换）,主讲 张高民,序言,复变函数研究的对象： 自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）。,复数的引入及其发展过程： 在16世纪中叶，意大利人Cardan在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想 。例如，解简单的方程 x2+1=0 时就会1开平方的问题。 为了使负数开平方有意义，也就是要使上述方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。,然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，对复数的概念及性质了解的不清楚，用它们进行计算时就有一些矛盾的结果产生。例如：在

2、莱布尼慈和贝努里的工作中就有因为轻易引进复对数而产生的悖论：,这样取X =1，得,矛盾！,因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数。直到十七、十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：,关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家Euler （欧拉）作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用符号 “ ”,作为虚数单位，也是他首创的。,1 微积分的发展； 2 复数与平面向量联系起来解决实际问题。,复变函数理论的重要意义 十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家Cauchy、德国数学家 Rieman

3、 和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支，例如，著名的代数学基本定理：,（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。,用复变函数理论来证明是非常简洁的。,一元n次方程,现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。,1. 复数的概念,1 复数及其代数运算,第一章 复数与复变函数,其中 为虚数单位，满足,注：）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ）两个复数之间无法比较大小，除非都是实

4、数。,记号：,称复数,记为,为复数,的共轭复数,2. 复数的代数运算,记：,则定义运算如下:,加、减：,乘 法：,注:,除 法：,运算：,容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。此外，共轭复数具有下列性质：,1）,2）,3）,例1,2 复数的几种常见表示法,1.复平面,直角坐标平面中的点,将平面直角坐标系引入到复数中来, 此时x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也为复变函数的实际应用奠定了基础。,1） 复数的点表示 (见图1),复数,点 z,以后复数和点将不加区分,图1,图2,2) 复数的向量表示 (见图2),p,

5、显然有,注:,1. 任意非零复数有无穷多个辐角,2. 当z0时, |z|=0, 辐角规定为任意值.,把满足 的幅角称为幅角主值. 记为arg z，这样，我们有：,辐角的主值：,复数的向量表示的重要意义： 能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。比如：复数的加、减运算化为向量的运算，而由平行四边形、三角形法则，立即得到下面不等式：,还容易看出,3) 复数的三角表示,根据,可以得到,上式称为复数的三角表示。,4) 复数的指数表示,利用欧拉公式：,可以得到复数的指数表示式,注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用,2. 复球面,z,x,y,S . o,N,用如图所示的方法

6、可建立复平面上的点与球面上的点（除外）之间的一种一一对应的关系，即,这样我们就可以用球面上的点来表示复数。,问题：球面上的北极如何与复平面内的点对应？,我们规定：）复平面上有唯一的“无穷远点”与球面上北极对应；）复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并把它记为。,这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面,我们把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面,对于复数来说,实部、虚部与辐角的概念均无意义，其模规定为 ，对于其它复数 z ,则有 z + ,注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面,关于的运算，规定如下：,仍然不确定。,例3：下列方程各表示什么曲线？,4） 写出直线的复数形式方程,1）,2）,解：1)，2)的关键是知道,的几何意义是表示,所以，1）表示圆周，2）表示直线。,点 到 的距离。,3）,注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用.,3）化为实方程，为此代入,，得,化简，得,，表示一直线,4）关键：由,得,，代入直线方程,，得,因而可记为,，其中 为实数。,