反比例函数的性质ppt课件.ppt

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1、北师版九年级数学上册课 件,6.2 反比例函数的图象与性质,第六章 反比例函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时反比例函数的性质,学习目标,1. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质. (重点)2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点)3. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点),导入新课,反比例函数的图象是什么？,反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？,反比例函数的图象是双曲线,复习引入,问题1,问题2

2、,讲授新课,例1 画反比例函数 与 的图象.,合作探究,提示：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.,解：列表如下：,1,1.2,1.5,2,3,6,6,3,2,1.5,1.2,1,2,2.4,3,4,6,6,4,3,2.4,2,O,2,描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点,5,6,x,y,4,3,2,1,1,2,3,4,5,6,3,4,1,5,6,1,2,3,4,5,6,连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象,观察这两个函数图象，回答问题：,思考：,(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？(2) 在每一个

3、象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？(3) 对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？,由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.,反比例函数 (k0) 的图象和性质：,观察与思考,当 k =2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k0)的图象和性质吗？,反比例函数 (k0) 的图象和性质：,由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y

4、轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而增大.,归纳：,(1) 当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；,(2) 当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.,一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：,点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2 (填“”“”或“=”).,练一练,例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.,解：由题意得a2+a7=1，且a10 解得 a=3.,练一练,已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值,解

5、：由题意得 m210=1，且 3m80 解得 m=3.,例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？,解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.,(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？,解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.,因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.

6、,所以反比例函数的解析式为 .,(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？,例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：,解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.,由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.,(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？,解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时， y1y2.,练一练,已知反比例函数 的图象经过点 A

7、 (2，3) (1) 求这个函数的表达式；,解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，,解得 k = 6. 这个函数的表达式为 .,(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由；,解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上,(3) 当 3 x 1 时，求 y 的取值范围,解： 当 x = 3时，y =2； 当 x = 1时，y =6，且 k 0， 当 x 0 时，y 随 x 的增大而减

8、小， 当 3 x 1 时，6 y 2.,1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格：,合作探究,5,P,S1,S2,4,4,S1=S2,S1=S2=k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：,4,4,S1=S2,S1=S2=k,S1,S2,由前面的探究过程，可以猜想：,若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.,S,我们就 k 0 的情

9、况给出证明：,设点 P 的坐标为 (a，b),A,B,点 P (a，b) 在函数 的图象上，, ，即 ab=k., S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；,若点 P 在第二象限，则 a0，,若点 P 在第四象限，则 a0，b0，, S矩形 AOBP=PBPA=a (b)=ab=k.,综上，S矩形 AOBP=|k|.,自己尝试证明 k 0的情况.,点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：QAO与QBO的 面积和 k 的关系是 SQAO=SQBO= .,Q,对于反比例函数 ，,A,B,

10、|k|,归纳：,反比例函数的面积不变性,A. SA SBSC B. SASBSCC. SA =SB=SC D. SASCSB,1. 如图，在函数 (x0)的图像上有三点A，B ， C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点 所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分 别为SA ，SB，SC，则 ( ),C,练一练,2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PAx 轴于A. 若POA 的面积为 6，则 k = .,12,提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k0.,3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若

11、四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .,或,例5 如图，P，C是函数 (x0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的垂线 CD，垂足为 D，连接 OC交 PA 于点 E. 设 POA 的面积为 S1，则 S1= ；梯形CEAD的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.,典例精析,2,S1,S2,S3,如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为

12、.,S1 = S2 S3,练一练,解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 S3,F,S1,S2,S3,y,D,B,A,C,x,例6 如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数 (x0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =_.,3,2,5,如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x

13、0) 和 (x0)的图象交于点P，Q，若POQ 的面积为 8，则k =_.,Q,P,O,x,M,y,10,练一练,例7 如图所示，点A (x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线 上，且 x2x1 = 4，y1y2 =2. 分别过点 A，B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲线的解析式为 .,解得 k = 6.双曲线的解析式为 .,解析： x2x1 = 4，y1y2 =2，BG = 4，AG =5，SABG =452=10.,由反比例函数面积的不变性可知，S长方形AC

14、OE = S长方形BDOF = k ., S五边形 AEODB = S四边形ACOE +S四边形BDOF S四边形FOCG+ SABG = k + k 2+4=14.,如图，已知点 A，B 在双曲线 上，ACx 轴于点C，BDy 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若ABP 的面积为6，则 k = .,24,练一练,E,F,解析：作AEy 轴于点 E，BFx 轴于点 F.P 是 AC 的中点，S四边形OCPD= S四边形ACOE= S四边形BDOF = k，,SABP= S四边形BFCP，= (S四边形BDOFS四边形OCPD)= (k k)= k = 6.k =24

15、.,1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是_.,2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (1，12) 和点 (10，1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是 (填序号).,(1)(3),m 2,当堂练习,A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定,3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ),O,B,A,P,x,y,A,4. 已知反比例函数 y = mxm5，它的两个分支

16、分别在 第一、第三象限，求 m 的值.,解：因为反比例函数 y = mxm5 的两个分支分别在第 一、第三象限，,所以有,解得 m=2.,5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，4). (1) 求 k 的值；,解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，4)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，,解得 k = 8.,(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?,解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.,(3) 画出该函数的图象；,解：如图所示：,(4) 点 B (1，8) ，C (3，5)是否在该函数的图象上？,因为点 B 的坐

17、标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.,解：该反比例函数的解析式为 .,6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标；,解：,解得,所以A(2，4)，B(4，2).,或,作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2.,(2) 求AOB的面积.,解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， OM=2.,M,C,D,SOMB=OMBD2=222=2，,SOMA=OMAC2=242=4，,SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.,课堂小结,反比例函数的性质,性质,反比例函数图象中比例系数k的几何意义,当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而减小.,当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而增大.,见学练优本课时练习,课后作业,