医科数学第五章ppt课件.ppt

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1、第一节 微分方程的基本概念,第五章 微分方程,解,一、微分方程的定义,1 问题的提出,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,(1)微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,2 微分方程的定义与分类,微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,分类1 常微分方程, 偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2,(2) 微分方程的分类,分类3 线性与非线性微分方程.,分类4 单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数

2、称之为该方程的解.,微分方程的解的分类,二、微分方程的解,(1)通解 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象 微分方程的积分曲线.,通解的图象 积分曲线族.,初始条件 用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶,二阶,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特解为,微分方程的初等解法 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),一、可分离变量的微分方程的求解,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,

3、1 分离变量法,例 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,2 典型例题,通解为,解,例,解,由题设条件,衰变规律,的微分方程.,(2)解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,(1),两种特殊可分离变量方程,例 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 求解微分方程,解,微分方程的解为,解法：,(2)形如 的方程,可分离变量的微分方程.,解,代入原方程,原方程的通解为,例：求方程 的通解。,解,求下列方程的通解,解,第六节 微分方程在医学上的应用,一、自然生长方程,二、肿瘤化疗模型,我们考虑“理想环境”中的生物物种增殖模型.所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件:,一、自然生长方程,(3)温

4、度、湿度等各项环境因素均对系统适宜.因此“理想环境”至多只是实验室内人为制造的环境.自然环境中的空间和资源总是有限度的.,(1)没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外迁出等情况;,(2)系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制;,实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的环境的影响：当资源丰富、生存条件较好时，出生率增加，死亡率减少；当该生物总数过多资源供不应求时，出生率减少而死亡率增加.,现假定出生率p和死亡率q都是生物总数x的函数,即,所以有,称为相对增殖速率.,即,假设其中 、 均为正数. 这是一个可分离变量方程.,两边积分，得,整理，得,设初次取样时 ,测得 将此初始值代入上式,则

5、可解得,所以,上式称为自然生长方程，也称 logistic方程，它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图形为S形曲线，称为logistic曲线。,解得,是该种群在一定环境条件下的平衡态.,二、肿瘤化疗模型,如果未给任何治疗，肿瘤的生长基本符合“自然生长方程”.现给予某种化学药物治疗，药物剂量m与肿瘤的体积x 之比m/x称为相对药物浓度.,若相对药物浓度对肿瘤的相对增率的影响成正比，比例常数是S ，那么肿瘤在“自然生长”和“药物治疗”叠加状态下可由以下方程表示：,其中r，k和s均为正常数.,该方程右端是关于x的一个二次函数，可用分离变量方法求解，但需注意该二次函数有没有实根,1）

6、药物剂量,这时，右端有两不相等的实根,其中,分离变量后得,所以，当 时，方程通解为,如果药物化疗开始是为 t=0, ，则可以确定,这时，根据初值与a, b之间的关系，可得以下分析：,当 时，方程右端一直小于0，即 ，表明如果在肿瘤初期就开始化疗，肿瘤在化疗中会不断缩小。而当时间,即肿瘤初期，按药量m进行治疗，病灶可消除.,当 时，整个化疗过程中有 ，表明如果在肿瘤中期才开始小剂量化疗，肿瘤仍会增长. 但有解得形式知道，当时间,即使在肿瘤最旺盛的时期，m剂量的化疗仍然可以将肿瘤控制在b水平以下.,当 时，整个化疗过程中有 ，表明即使在肿瘤晚期才开始化疗，肿瘤细胞也会缩小，而且 .,如果肿瘤未经化

7、疗，按“自然生长方程”，肿瘤最终趋于平衡态 ，而经小剂量m化疗后，平衡态是 .,思考：如果 或 会怎么样？,2）药物剂量 ：此时,其中 ，通解为,按剂量 进行化疗，右端总是非正.,如果 ，当 时， . 即肿瘤在初期化疗可消除病灶.,如果 ， ，肿瘤在中晚期化疗会趋于平衡态.,3）药物剂量 ：此时,其中,通解为,按剂量 进行化疗，右端总是负的. 即不论在肿瘤的哪一期，开始进行大剂量化疗，病灶总能消除. 但在实际治疗过程中，由于抗癌药物的副作用，患者能够容忍的药物剂量应该取到什么水平是问题的关键.,第三节 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,(1) 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(2) 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例,例,解,解,解,