华师大版八年级数学上册第11章数的开方课件.ppt

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1、,HS八(上)教学课件,第11章 数的开方,11.1 平方根与立方根,第1课时 平方根,HS八(上)第11章 数的开方11.1 平方根与立方根第,1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根.（重点）2. 会求某些数的平方根、算术平方根.（难点）3.会用计算器求一个非负数的算术平方根.,学习目标,1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算,【问题1】 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 cm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？,问题导入,【问题1】 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25,1

2、,3,4,5,6,【问题2】 若正方形的面积如下，请填表：,你能指出“面积边长”这些数据变化的共同点吗？,问题导入,13456【问题2】 若正方形的面积如下，请填表：你能指出,如果一个数的平方等于a，即x2= a，那么这个数叫做a 的平方根.,5的平方等于25，所以5叫做25的平方根.,25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？,【概念】,1,平方根,【举例】,新课讲解,如果一个数的平方等于a，即x2= a，那么这个数叫做a 的平,因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3.,根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.,新

3、课讲解,【探究】,【求法】,因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.根,1. 144的平方根是什么？,2. 0的平方根是什么？,3.,的平方根是什么？,4. -4有没有平方根？为什么？,0,没有，因为一个数的平方不可能是负数,【试一试】,新课讲解,1. 144的平方根是什么？2. 0的平方根是什么？3.的平,【想一想】 通过这些题目的解答，你能发现什么?,【问题】（1）正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？,有没有一个数的平方是负数？,因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.,新课讲解,【想一想】【问题】有没有一个数的平方是负数？因

4、为任何实,平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.,知识归纳,知识归纳,特殊：0的算术平方根是0. 记作 .,【记法】 a（a0）的算术平方根记为 ，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即 ，因此正数a的平方根可以记作 ，其中a叫做被开方数.,【概念】,一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，也就是a的正的平方根.,新课讲解,特殊：0的算术平方根是0. 记作 .【记法】【概念,根号,被开方数,新课讲解,根号被开方数（a是非负数，a 0） 新课讲解,+1-1+2-2+3-3,149,

5、x x2,149,+1-1+2-2+3-3,这是什么运算？,平方运算,x2 x,【问题1 】 算一算，下面两种运算有什么关系？,新课讲解,+11x x21这是什么运算？,【概念】 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.,平方与开平方有什么关系？,平方与开平方互为逆运算,【思考】,新课讲解,【概念】平方与开平方有什么关系？平方与开平方互为逆运算【思,解：（1）因为72 =49，所以 ，因此49的平方根为 .,【例1】 将下列各数开平方：（1）49；（2） ；（3）0.01.,（3）因为0.12 =0.01，所以 ，因此0.01的平方根为 .,（2）因为 = ，所以 ，因此 的平方根为 .,新课

6、讲解,解：（1）因为72 =49，所以 ，因此49,【问题2】将2016开平方运算的结果是多少？如何计算呢？,计算器计算算术平方根的方法：在计算器上依次键入： .,对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.,被开方数,=,新课讲解,【问题2】将2016开平方运算的结果是多少？如何计算呢？计算,【例2】 用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）,分析 用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.,（2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718 ，要求精确

7、到0.01，可得 6.69.,新课讲解,【例2】 用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529,1.填一填.,（1）9的平方根是 ;,（2） 的算术平方根是 ;,（3）0.01的算术平方根是 ;,（4）10-6 的平方根是 ;,（5）(-4)2的算术平方根是 ;,（6）10的平方根是 .,随堂练习,1.填一填.（1）9的平方根是 ;（2） 的算术,2.你知道下列各式中字母x的取值范围吗？,3.求下列各数的平方根：,(1)36; (2)0.09; (3) ; (4) .,解:(1)因为 ，所以36的平方根为 .(2)因为 ，所以0.09的平方根为 .(3)因为 ，所以 的平方根为 .(4)因为

8、,7的平方根为 所以 的平方根为 .,随堂练习,2.你知道下列各式中字母x的取值范围吗？3.求下列各数的平方,平方根,平方根的概念和性质,用计算器求一个数的算术平方根,算术平方根的概念和性质,课堂总结,平方根平方根的概念和性质用计算器求一个数的算术平方根算术平方,华师大版八年级数学上册第11章数的开方PPT,HS八(上)教学课件,第11章 数的开方,11.1 平方根与立方根,第2课时 立方根,HS八(上)第11章 数的开方11.1 平方根与立方根第,1.了解立方根和开立方的概念.（重点）2. 会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算.（难点）3.会用计算器求一个数的立方根.,学习目标,1.了

9、解立方根和开立方的概念.（重点）学习目标,【问题】 要做一个体积为216cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？,解：设正方体的棱长为x,则,这就是要求一个数,使它的立方等于216.,因为 63=216，所以 x=6.,正方体的棱长为6.,问题导入,如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？,【问题】解：设正方体的棱长为x,则这就是要求一个数,使,【思考】如何表示一个数的立方根?,一个数a的立方根可以表示为:,根指数,被开方数,其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.,读作:三次根号 a，,新课讲解,【思考】如何表示一个数的立方根?一个数a的立方根可以表

10、示为:,【想一想】如果正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？,设正方体的边长为x,则,所以正方体的边长是,.,求一个数的立方根的运算,叫做开立方.,立方,开立方,互逆,到现在我们学了几种运算?,+，-，乘方，开方（开平方，开立方）,新课讲解,【想一想】设正方体的边长为x,则 所以正方体的边长是.求,根据立方根的意义填空.,因为23=8，所以8的立方根是(),因为( )3=0.125,所以0.125的立方是(),因为( )38，所以8的立方根是( ),因为( )3 ，所以 的立方( ),2,-2,因为( )3 0，所以0的立方根是(),0,0,-2,【思考】通过这些题目的解答，你能看出

11、正数、0、负数的立方根各有什么特点?,新课讲解,根据立方根的意义填空.因为23=8，所以8的立方根是()因,正数有立方根吗？如果有，有几个?负数呢？零呢？,一个正数有一个正的立方根；,一个负数有一个负的立方根；,零的立方根是零.,立方根的特征：,归纳总结,正数有立方根吗？如果有，有几个?负数呢？零呢？一个正数有一个,有两个互为相反数,有一个,是正数,无平方根,零,有一个,是负数,零,正数,负数,零,【讨论】你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?,立方根是它本身的数有那些?,有1, -1, 0,平方根是它本身的数呢?,只有0,【想一想】,新课讲解,有两个互为相反数有一个,是正数无平方根零有一个,是

12、负数零正数,所以,所以,【猜一猜】,你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗？,=,-2,-2,=,-3,-3,【探究】,新课讲解,因为 = ,=所以,【规律】对于任何数a都有,2,-2,-3,4,0,【例1】 计算：,8,-8,27,-27,0,新课讲解,【规律】对于任何数a都有2-2-34 0【例1】 计算： 8,分析：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.,【例2】 用计算器求下列各数的立方根：（1）1331 ； （2）9.263（精确到0.01）,新课讲解,分析：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即,1.判断下列说法是否正确

13、.,（2） 4的平方根是2.,（3） -64既没有平方根，也没有立方根.,（4） -25的平方根是5.,（5） 0的平方根和立方根都是0.,（1）,的立方根是 .,随堂练习,1.判断下列说法是否正确.（2） 4的平方根是2.（3）,2.求下列各数的立方根:,解:,（1）,=4，所以64的立方根是4.,（2）,=,= -5，所以-125的立方根是-5.,（3）,=,= ，所以 的立方根是 .,【归纳】求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.,（1）64； （2）-125； （3）,随堂练习,2.求下列各数的立方根:解:（1）=4，所以64的立方根是4,立方根,概

14、念,用计算器求一个数的立方根,课堂总结,性质,表示方法,开立方,立方根概念用计算器求一个数的立方根课堂总结性质表示方法开立方,华师大版八年级数学上册第11章数的开方PPT,HS八(上)教学课件,第11章 数的开方,11.2 实 数,HS八(上)第11章 数的开方11.2 实 数,1.了解实数的意义，能对实数按要求分类（重点）2.了解实数范围内相关概念的意义（重点）3.了解实数与数轴上点的一一对应关系；能用数轴上的点表示无理数.（难点）,学习目标,1.了解实数的意义，能对实数按要求分类（重点）学习目标,（1）用计算器求 ;（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.,=1.414213562373

15、0950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745,用计算机计算，你可能会大吃一惊：,新课导入,【观察与思考】,（1）用计算器求 ;=1.414213562373095,那么， 是怎样的数呢？,我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一

16、个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如：,请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论.,在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是一个有理数.,问题导入,那么， 是怎样的数呢？我们知道，有理数包括整数和分数,不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数. 类似地， 、圆周率 等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.,【定义】无限不循环的小数叫做无理数.,新课讲解,不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数,【例题】 判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？,解：有理数有：无理数有： 1.232232223.(两个3之间一次多一个2).,新课讲

17、解,【例题】 判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？解：有理,圆周率 及一些含有 的数；,开方开不尽的数，如：,有一定的规律，但不循环 的无限小数，如：,无理数的特征:,注意:带根号的数不一定是无理数,新课讲解,圆周率 及一些含有 的数；开方开不尽的数，如,判定一个数是不是无理数: (1)是看它是不是无限小数；(2)看它是不是不循环小数；(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能. 具体从以下几方面来判断:(1)开方开不尽的数是无理数；(2) 是无理数；(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.,归纳总结,归纳总结,【定义】有理数和无

18、理数统称为实数.,无理数：无限不循环小数,有理数：有限小数或无限循环小数,实数,分数,整数,开方开不尽的数,有规律但不循环的数,按概念分类：,新课讲解,【定义】有理数和无理数统称为实数.无理数：有理数：实数分数整,负实数,正实数,实数,正有理数,负有理数,按正负性分类：,0,正无理数,负无理数,0,正实数,负实数,新课讲解,负实数正实数实数正有理数负有理数按正负性分类： 0正无理数负,在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.例如：,与 互为相反数,与 互为倒数,新课讲解,在实数范围内，相反数、倒数、绝对值

19、的意义和有与 互为,=？,【探究】,1,1,将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形.,你能在数轴上找到表示 的点吗？,新课讲解,=？【探究】11将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形.你,在数轴上找表示 的点:,数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示.即：实数与数轴上的点一一对应.,新课讲解,01-1在数轴上找表示 的点: 数轴上的任一,【例1】 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.（用“”号连接）,分析：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.,解：,新课讲解,【例1】 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.（

20、用“,【例2】 试比较 与的大小关系.,解：用计算器求得 而 这样，容易判断,技巧小结：实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行.,新课讲解,【例2】 试比较 与的大小关系.解：用计,【例3】 计算: . (结果精确到0.01),解: 用计算器求得,于是,所以,新课讲解,【例3】 计算: . (结果精确,(2) 的相反数是 ，绝对值是 .,(3)绝对值等于 的数是 ， 的平方是 .,(4)比较大小：,(1)正实数的绝对值是 ，的绝对值是 ， 负实数的绝对值是 .,它本身,0,它的相反数,(5)一个数的绝对值是 ，则这个数是 .,随堂练习,1.填空.,(2) 的相反数是 ，绝对值是 .(

21、3,2.已知 在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根. （1）求a、b的值； （2）比较a+b的算术平方根与 的大小.,解：（1）因为489,所以 又 在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根，所以a=2,b=1.(2)由（1）知，a=2,b=1，所以a+b=3,所以a+b的算术平方根是 .因为35，所以,随堂练习,2.已知 在两个连续的自然数a和a+1之,实数,有理数和无理数统称实数,在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样,实数与数轴上点的一一对应,课堂总结,实数有理数和无理数统称实数在实数范围内，相反数、倒数、绝

22、对值,华师大版八年级数学上册第11章数的开方PPT,HS八(上)教学课件,第11章 数的开方,复习课,HS八(上)第11章 数的开方复习课,一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质,若 ，则x叫做a的平方根,正数有两个平方根，互为相反数0的平方根是0.负数没有平方根,若 则x的非负数值 叫做a的算术平方根,非负性：当a 0时， 0,若 ，则x叫做的立方根,正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0,知识梳理,一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质若,非负数,0,逆,知识梳理,非负数0逆知识梳理,二、开平方与开立方 1. 求一个非负数a的 的运算，叫做开平方其中a叫做

23、. 2.求一个数a的 的运算，叫做开立方其中a叫做 . 3. 开平方与 、开立方与 都分别互为逆运算注意： (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根),平方根,被开方数,立方根,被开方数,平方,立方,知识梳理,二、开平方与开立方平方根被开方数立方根被开方数平方立方知识梳,【强调】数的开方的几个重要性质,性质4：,注意：算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“ ”不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面也是一个性质符号，即表

24、示非负数a的正的平方根,要点梳理,【强调】数的开方的几个重要性质性质1：a 0 (a0),1. 用计算器求一个正数的算术平方根,三、用计算器求算术平方根、立方根,2. 用计算器求立方根,用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 （ ）,用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入,知识梳理,1. 用计算器求一个正数的算术平方根三、用计算器求算术平方根,四、实数,1.实数的分类,(1)按定义分：,(2)按符号分：,知识梳理,四、实数1.实数的分类(1)按定义分：(2)按符号分：实数有,2.实数与数轴,(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；,(2)在

25、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.,3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运算法则以及运算律同样适用.,知识梳理,2.实数与数轴(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；(2),【例1】 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-18，求这个正数.,分析 根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于a的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数.,解：根据平方根的性质，有a+3+2a-18=0，解得a=5，a+3=8，82=64，所以这个正数是64.,方法小结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也

26、只有一个，且与它本身的符号相同.,考点讲练,【例1】 已知一个正数的两个平方根分别是a+3,1.下列说法正确的有（ ） -64的立方根是-4； 49的算术平方根是7； 的立方根是 ； 的平方根是 . A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个,B,C,2. 的平方根是 （ ） A.4 B.2 C.2 D.4,【练习】,考点讲练,1.下列说法正确的有（ ）BC2. 的,【例2】 若a，b为实数且 +|b-1|=0，则(ab)2016 = .,解析 先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据乘方的定义求出(ab)2016的值. +|b-1|=0，a+1=0，且b-1 =0，a =-1 ，b =1.(a

27、b)2016 = (-11)2016= (-1)2016=1 ， 故填1.,1,考点讲练,【例2】 若a，b为实数且 +|b-1|,3.若 与(b-27)2 互为相反数，则 .,方法小结：初中阶段主要涉及三种非负数： 0，|a|0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.,【练习】,-11,考点讲练,3.若 与(b-27)2 互为相反数，则,B,【例3】在实数 ， ， 中，无理数有 （ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个,解析 是分数； 虽然含有分母2，但它的分子是无理数 ，所以 是无理数；同理 也是无理数. 故选B.,考点讲练,B【例3】在实数 ， ， 中，无理

28、数有 （,4 .在实数 ， ，0，-1 中，无理数是（ ） A. B. C.0 D.-1,【练习】,A,考点讲练,4 .在实数 ， ，0，-1 中，无理数是（,C,解析 数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|0，根据|a|b|，知-ab，C正确.故选C.,考点讲练,【例4】 如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列,5. 若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧,B,【练习】,考点讲练,5. 若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（,【例5】估计 的值在（

29、 ）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间,B,解析 469，因此 的值在3到4之间.故选B.,方法小结：像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.,考点讲练,【例5】估计 的值在（ ）B解析,6. 满足 的整数x是 .,8. 规定用符号x表示一个实数x的整数部分，例如： 3.14=3， =0.按此规定 的值为 .,7. 比较大小: .,【练习】,考点讲练,6. 满足 的整数x,【例6】 计算 .,9.计算 .,【练习】,考点讲

30、练,【例6】 计算 .解析,1.分类讨论思想,【例7】 a的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b= ,解析 a的算术平方根是3，可知a=9；16的平方根有两个，为4，由此可以确定a，b的值，然后代入计算即可.当a=9，b=4时，a+b=13；当a=9，b=-4时，a+b=5.故答案为13或5.,13或5,方法小结：对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.,考点讲练,1.分类讨论思想 【例7】 a的算术平方根是3，b是1,10.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2，求a-b+c的值.,解：由题意可知a=4或-4，b=-3，c=

31、2或-2.有以下四种情况：（1）当a=4，b=-3，c=2时，a-b+c=4-（-3）+2=9；（2）当a=-4，b=-3，c=2时，a-b+c=-4-（-3）+2=1；（3）当a=4，b=-3，c=-2时，a-b+c=4-（-3）+（-2）=5；（4）当a=-4，b=-3，c=-2时，a-b+c=-4-（-3）+（-2）=-3.综上所述，a-b+c的值为9或1或5或-3.,【练习】,考点讲练,10.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2,2.数形结合思想,【例8 】 如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和 ，若点A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为 ,解析：设点

32、C所对应的实数是x根据对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可设点C所对应的实数是x，则有x - = -1，解得x =2 -1故答案为2 -1,考点讲练,2.数形结合思想【例8 】 如图，数轴上A、B两点对应的实数,11.数轴上A，B两点对应的实数分别是 和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为 .,方法小结：数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对称的性质解答.,【练习】,考点讲练,11.数轴上A，B两点对应的实数分别是 和2，若点A关,平方根,实 数,数的开方,性质,有理数,整数,无理数,立方根,性质,分数,课堂总结,平方根实 数数的开方性质有理数整数无理数立方根性质分数课,华师大版八年级数学上册第11章数的开方PPT,