函数的零点与方程的解ppt课件.pptx

《函数的零点与方程的解ppt课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的零点与方程的解ppt课件.pptx（34页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、4.5.1 函数的零点与方程的解,.-.,指数函数与对数函数,一,二,三,一、函数的零点1.已知函数f(x)=2x+6.(1)求方程f(x)=0的解;提示:由2x+6=0,解得x=-3.(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.提示:交点坐标A(-3,0).(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系?提示:相等.,一,二,三,2.填空:函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?提示:不是.函数

2、的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.4.你能说出函数y=lg x;y=lg(x+1);y=2x;y=2x-2的零点吗?提示:y=lg x的零点是x=1;y=lg (x+1)的零点是x=0;y=2x没有零点;y=2x-2的零点是x=1.,一,二,三,5.做一做:函数f(x)=x2-1的零点是()A.(1,0)B.(1,0)C.0D.1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=1,因此函数f(x)=x2-1的零点是1.答案:D,一,二,三,二、方程、函数、图象之间的关系1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:方程x

3、2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?,一,二,三,提示:,一,二,三,(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论? 提示:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.,一,二,三,三、函数零点存在性定理1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间-2,1上有零点x=-1,而f(-2)0,f(1)0,即f(2)f(4)0.由以上两步探索,你可以得出什么样的结论

4、?提示:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.2.填空:函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,一,二,三,3.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是间断的,上述定理成立吗?提示:不一定成立,由下图可知.4.反过来,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)

5、上存在零点,f(a)f(b)0是否一定成立?提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.,一,二,三,5.判断正误:函数y=f(x)的图象是在闭区间a,b上连续的曲线,若f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点. ()答案:6.做一做:函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上()A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,2解析:因为f(-2)=-110,f(1)=40,f(2)=130,所以f(-1)f(0)0.所以f(x)的零点在区间-1,0上.答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零

6、点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16;,分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.,反思感悟 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.,探究一,探究二,探

7、究三,思想方法,随堂演练,变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实根.,所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,利用函数零点存在定理判断函数零点的个数例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,解:(

8、方法一)f(0)=1+0-2=-10,f(x)在区间(0,2)内必定存在实数根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,反思感悟 判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f

9、(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,变式训练 2(1)若abc0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.(1)解析:b2=ac,方程ax2+bx+

10、c=0的判别式=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.abc0,b0.因此0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.答案:A,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,(2)解:(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.(方法二)因为f(3)=ln 30,f(2)=-1+ln 2=ln 0,所以f(3)f(2)0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(

11、x)=x-3+ln x在区间(0,+)上是增函数,所以原函数只有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,判断函数的零点所在的大致区间例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 ()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为.分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,

12、解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-20,f(4)=log34+4-3=log3120,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解.由题表可知f(-1)=0.37-10,f(3)=20.09-50.由零点存在定理可得f(1)f(2)0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.答案:(1)C(2)1,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,反思感悟 1.依据函数零点存在定理判断函数y=f(x)在区间(a,b

13、)内是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b)是否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点).2.判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代.将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少有一个零点.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,答案:(1)B(2)A,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,函数与方程思想在一元二次方

14、程解的分布问题中的应用典例 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:(1)方程有一个正解和一个负解;(2)方程的两个解都大于1.【审题视角】 题意画草图转换为数量关系求解,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图,所示.,解得0a1.所以当0a1时,方程有一个正解和一个负解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,(2)当方程的两个解都大于1时,f(x)对应的草图可能如图,所示.,解得a.所以不存在实数a,使方程的两个解都大于1.,探究一,探究二,探究三

15、,思想方法,随堂演练,方法点睛 解决有关解的分布问题应注意以下几点:(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.(2)结合草图考虑四个方面:开口方向;与0的大小关系;对称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与零的关系.(3)写出由题意得到的不等式(组).(4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意.这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的解就是函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,变式训练本例已知条件不变,求a为何值时:(1)方程有唯一实数解;(2)方程的一个解大于1,一个解小于1.,解:(1)令f(x)=ax2-2(

16、a+1)x+a-1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,(2)因为方程的一个解大于1,一个解小于1.f(x)的草图可能如图,所示.,所以当a0时,方程的一个解大于1,一个解小于1.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是()A.0B.1C.2D.3解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.答案:C2.若x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是 ()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30,f(4)=

17、ln 40,则x0(2,3).答案:C,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.当a0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.函数y=ax2-x-1只有一个零点,方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为.解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.答案:2,探究一,探究二,探究三,思想方法,随堂演练,5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点:(1)f(x)=x2-3x-18,x-4,7;(2)f(x)=x2+2x+1- ,x(0,+).解:(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.又-3-4,7,6-4,7,f(x)=x2-3x-18在-4,7上有两个零点.所以函数f(x)在(0,+)上存在零点,且仅有一个零点.,