函数的极值与导数（完美版）ppt课件.ppt

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1、函数的极值与导数,f (x)0,f (x)0,1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内f/（x） 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.,知识回顾:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数 f/（x） ;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递减区间.,关注用导数本质及其几何意义解决问题,3.思考： 观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函数

2、h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？,观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？,新课讲解函数的极值:,观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。,y,0,极值的定义,点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值，点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(

3、x)的极大值 。极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。,函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,观察函数y=f(x)的图像,探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？ 2、极大值一定比极小值大么？,结论:极值点处导数值为0,探究函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?,探究极值点两侧导数符号有何规律?,f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,x2,结论

4、若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即 ;

5、x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即,同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即 ;在x0的右侧附近只能是增函数,即 .,练习：,下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,2、函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件分别是什么？,探究1、导数值为0的点一定是函数的极值点吗？,可导函数的极值点一定是它导数为零的点, 反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左

6、右两侧的导数都大于零.,导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.,如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配依据是什么？ 各区间对应导数的符号如何判定,例1、求函数 的极值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.,(1)确定函数的定义域，求导数(2)求方程 的根(3)用方程 的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.(4)检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果

7、左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。,f (x),f (x)=0,f (x)=0,f (x),求解函数极值的一般步骤,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2、求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,练习:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx

8、+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时, ,此时x=1是极值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,练习:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,解:,由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:,(1)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)设

9、a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,例4、已知: (1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点; (2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.,解:(1),令 ,得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,故 有不相等的两实根、,设.,又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在的右正左负,在的左正右负.,注意到 与g(x)的符号相同,可知为极小值点,为极大值点.,(2)由f()=-1和f()=1可得:,两式相加,并注意到+=-2b/a,于是有:,从而方程 可化为x2=1,它

10、的两根为+1和-1,即=-1,=1.,由,故所求的值为a=2,b=0.,例5、已知函数 f(x)满足条件:当x2时, ;当x2时, ; .求证:函数y=f(x2)在 处有极小值.,证:设g(x)=f(x2),则,故当 时,x22,由条件可知 ,即:,当 时,x22,由条件可知 ,即:,又当 时,所以当 时,函数y=f(x2)取得极小值.,为什么要加上这一步?,例6、直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可求得f(x)的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图所示，2a2时，恰有三个不同公共点,答案：(2,2 ),归纳小结,1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 、求极值的步骤。 思想方法总结： 观察、转化、数形结合。,