函数的微分ppt课件.ppt

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1、2.5 函数的微分,本节内容,一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用,一、微分的定义,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义2-3若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理2-6 函数,在点 可微的充要条件是,在点,可微,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,“充分性”,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是

2、等价无穷小,当,故当,从而,导数也叫作微商,二、微分的几何意义,切线上点的纵坐标的增量,三、 基本初等函数的微分公式与微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,基本初等函数的微分公式 (见 P92),例1. 已知,求,解：因为,所以,例2.,求,解:,已知,求,解:方程两边求微分, 得,例3.,例4. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,数学中的反问题往往出现多值性.,注意:,四、 微分

3、在近似计算中的应用,当,很小，且,使用原则:,时，得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解: 设,取,则,例6. 求,的近似值 .,解:,例7. 计算,例8. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可微,可导,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,2.,5. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,作 业,P94 2(2)(4)(5)(8)，3(2)(4)(5)(7)，4，7,