公式法完全平方公式ppt课件.pptx

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1、运用公式法（2）(完全平方公式),1.具备什么特征的多项式是平方差式?,一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异.,2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?,平方前符号为正，平方下的式子（数）为 平方前符号为负，平方下的式子（数）为,3.分解因式时,通常先考虑是否能提公因式,然后再考虑能否进一步分解因式.,4.分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.,温故知新,练 习,-9x2+4y2 64x2-y2z2,(5) 9(m+n)2-(m-n)2,解：,（5）9(m+n)2-(m-n)2,9(m+n)2-(

2、m-n)2,3(m+n)2-(m-n)2,3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n),(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n),(4m+2n) (2m+4n),4 (2m+n) (m+2n),想一想:以前学过两个乘法公式,把两个公式反过来就得到,形如 的式子称为完全平方式.,由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.,具备什么特征的多项式是完全平方式?,答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可

3、正可负，像这样的式子就是完全平方式.,例1:下列各多项式是不是完全平方式?若是,请找出相应的a和b.,多项式 x24y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点?这样的多项式能否进行因式分解?,分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式.,解：x2-4y2+4xy = (x24xy+4y2) =x22x2y+(2y) 2 =(x2y) 2.,注意：,1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.,2.在

4、对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.,例2 把(x+y) 2-6(x+y)+9分解因式.,分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y) 2和32 ，另一项6(x+y)=2(x+y)3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为 (x+y) 2-6(x+y)+9=a2-6a+9， 因而能运用完全平方公式，得到(a-3) 2. 在解题过程中，可以把代换这一步骤省略.,解 ：(x+y) 2-6(x+y)+9 =(x+

5、y) 2-2 (x+y)3+32 =(x+y-3) 2.,例3. 把m2-10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式.,问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式?为什么?,答：可以把m2-10m(a+b)+25（a+b)2写成m2-2 m 5(a+b)+5(a+b)2.这里m相当于完全平方式里的a，5(a+b)相当于完全平方式里的b.原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解.,解：m2-10m(a+b)+25(a+b) 2 = m2-2 m 5(a+b)+5(a+b) 2 = m-5(a+b) 2 = (m-5a-5b) 2.,注意：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两

6、个平方项可以是单项式 (或数)，也可以是多项式.,例4 把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)81m4-72m2n2+16n4.,请同学观察和分析，这两个多项式的结构有什么特点?怎样分解因式?答：这个多项式的各项都有公因式3a，可以先提出，即3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2). 括号内的多项式是一个完全平方式，可以用完全平方公式因式分解.,所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形为平方项，即81m4=(9m2) 2，16n4=(4n2)2，中间项72m2n2=29m24n2，所以这个多项式符合完全平方式形式，因此可以运用完全平方公式因式分解.,

7、解(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y) 2.,注意：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.,(2)81m4-72m2n2+16n4 =(9m2) 2-29m24n2+(4n2) 2 =(9m2-4n2) 2. 问：做到这一步还能不能继续再分解? 答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式. 原式=(9m2-4n2) 2 =(3m) 2-(2n) 2 2 =(3m+2n)(3m-2n) 2 =(3m+2n) 2 (3m-2n) 2.,小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：,1.首先要观

8、察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行分解因式.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它分解因式.,2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号， 如果是正号， 则用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号， 则用公式 a22ab+b2=(ab)2.,3.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.,4.在对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.,5.当给出

9、的多项式的结构比较复杂时，不能直接看出是否为完全平方式的形式，可以通过代换的方法或经过适当的变形(如添括号)，把原多项式化为完全平方式.,6.把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式. 当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式； 当一个多项式的两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号； 当多项式可以看作是二次三项式时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.,三、课堂练习,把下列各式分解因式：(1)(x+y) 210(x+y)+25；(2)2xyx2y2；(3)ax2+2a2x+a3；(4)a2c2c4+2ac3；(

10、5)(a+b) 216(a+b)+64；(6)(x2+2x) 2+2(x2+2x)+1；(7)(m26) 2 6(m26)+9；(8)a48a2b2+16b4.,答案：,(1)(x+y5) 2； (2)(x+y) 2；(3)a(x+a) 2； (4)c2 (ac) 2； (5)(a+b8) 2； (6)(x+1)4；(7)(m+3) 2 (m3) 2；(8)(a+2b) 2 (a2b) 2.,把以下四个多项式分解因式,同学们再见,(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2,a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 = (a-b)2,反过来得到：,整式乘法,分解

11、因式,两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方,（或减去）,（或者差）,情景导入,a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 = (a-b)2用完全平方公式可以把一个三项式分解因式其中两项是两个数的平方和且符号相同另一项是这两个数积的两倍,a2 - 2ab +b2 = (a- b)2,例如：,1判别下列各式是不是完全平方式,不是,是,是,不是,你能总结出完全平方式的特点吗？,是,是,共3项,其中2项是完全平方,且同号,另1项是积的2倍,感受新知,下列各式是不是完全平方式,是,是,否,是,否,感受新知,1判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的 各表示什么？,

12、是,不是,不是,是,不是,是,因式分解,感受新知,2请补上一项，使下列多项式成为完全平方式,(- 9y2),因式分解,例1 把下列各式分解因式:,若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式。,(1)16x2+24x+9,=(4x)2,a2 + 2 a b +b2,= (a +b)2,=(4x+3)2,+24x3,+32,因式分解,感受新知,例1 把下列各式分解因式:,(2)x2-10 xy+25y2,=x2,a2 - 2ab + b2,= (a -b)2,=(x- 5y)2,- 2x5y,+(5y)2,感受新知,例1 把下列各式分解因式:,(3)-x2+4xy-4y2,=-【x2

13、 】,a2 - 2ab + b2,= (a -b)2,=-(x-2y)2,- 2x2y,+(2y)2,= -(x2 -4xy+4y2),平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面,感受新知,分解因式：,感受新知-练一练,(1)4+9a2 -12a (2) -a2-4ab-4b2 (3)-25x2 +30 xy-9y2 (4) 4-12(x-y)+9(x-y)2,（5）m2+10m(a+b)+25(a+b) 2,=(2-3a)2,(1)=4+9a2-12a,(2)= -(a2+4ab+4b2),= -(a+2b)2,(3)= -(25x2-30 xy+9y2),= -(5x-3y)2,(4)=【

14、2-3(x-y) 】2,=(2-3x+3y)2,(5)=(m+5a+5b)2,继续探索-试一试,(1) 625x4 -50 x2+1,分解因式时，要分解到不能再分解为止.,=(25x2)2 -50 x2+1,=(25x2 -1)2,=(5x+1)2(5x -1)2,如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式.,继续探索-试一试,1. -8x2y-2x3-8xy2 = -2x(x2+4xy+4y2) = -2x(x+2y)2,2.9(a+b)2-12(a2-b2)+4(a-b)2,=【3(a+b)】2-2 3(a+b) 2(a-b)+【2(a-b)】2,=【3(a+b) -

15、2(a-b) 】2,=(a+5b) 2,继续探索-试一试,三、利用因式分解计算 139.82239.849.849.82 273227146272,拓展运用-试一试,2.下面因式分解对吗？为什么？,1分解因式：,新知检测-试一试,B,A,A、 B、,1、把 分解因式得( ),2、把 分解因式得( ),A、 B、,新知检测-试一试,3、如果100 x2+kxy+y2可以分解为（10 x-y)2,那么k的值是（ ）A、20 B、-20 C、10 D、-104、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）A、6 B、6 C、3 D、3,B,B,新知检测-试一试,5、把 分解因式得（

16、）A、 B、C、 D、6、计算 的结果是（ ）A、 1 B、-1C、 2 D、-2,C,A,新知检测-试一试,1、多项式(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：x4+4x2+( ),3、分解因式X2-2xy+y2-2x+2y+1,4、已知x2 +y2 +6x+4y-13=0 ,求(x-y)2005的值,深入探索-试一试,观察下表，你还能继续往下写吗？,你发现了什么规律？能用因式分解来说明你发现的规律吗？,探究活动,深入探索-试一试,一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”,你知道其中的奥妙吗?,拓展运用-试一试,1、是一个二次三项式,2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍,3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解,完全平方式具有：,