《高等数学总复习》PPT课件.ppt
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1、高等数学总复习,2009年6月7日,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高等数学复习简介,向量的运算及方向余弦,平面与直线(包括坐标轴)的位置关系;平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程;二元函数的极限;二元函数的连续,偏导数存在,可微及偏导数连续之间的关系;多元隐函数求导,曲面的切平面方程;复合函数求导(特别是抽象函数的求导问题);方向导数,多元函数的条件极值问题;二重积分的计算,对称性的应用,及积分次序的交换;利用三重积分计算空间立体的体积,三重积分的“先二后一”计算方法;曲线积分与曲面积分,格林公式和高斯公式的应用;常数项级数的收敛与绝对收敛,傅立叶级数的收敛性定理,幂级数的收敛域与和
2、函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量的方向余弦,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向角的余弦称为其方向余弦.,向量的运算,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 向量关系:,平面与直线(包括坐标轴)的位置关系,主要通过向量间的关系来衡量线线关系,线面关系,面面关系;问题根源仍然是对向量关系的正确理解;,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,1、线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2、线与线的关系,直线,垂直
3、:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,垂直:,平行:,夹角公式:,3.面与线间的关系,直线:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,实例分析,例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线,提示: 所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示:过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直:,从而得投影直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设一平面平行于已
4、知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程,主要利用书中结论: 即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母;,例1,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解:,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.直线,绕 z 轴旋转一周, 求此旋转,转曲面的方程.,提示
5、:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的极限,方法: 主要根据定义求极限、讨论极限; 利用定义求导数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设,求证:,证:,故,总有,要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化,,故极限不存在,确定极限不存在的方法:,二元函数的连续,偏导数存在,可微及偏导数连续之间的关系,多元函数连续、可导、可微的关系,根据定义,必要条件,充分条件,反例,思考题,提示: 利用,故f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但
6、不可微 .,1. 证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,所以 f 在点(0,0)不可微 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元隐函数的求导(二阶混合偏导)、多元函数的微分,隐函数的一阶求导方法: 公式法; 推导法; 注意两者的区别;隐函数求二阶导数时,只能利用推导法;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合函数求导(特别是抽象函数的求导问题),1. 复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2. 全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,思考题解答,例1. 设,其中 f 与F分别具,解法
7、1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,( 2001考研 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习3. 设,例3. 设,解法1 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为简便起见 , 引入记号,例4.
8、设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面的切平面方程,求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 有光滑曲面,在其上一定点,的切平面的法向量是?,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,复习 目录 上页 下页 返回 结束,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法向量,用,将,法向量的方向余弦:,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束,例1.
9、 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度问题, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿
10、点A,1. 函数,提示:,则,(考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,令,故,方向余弦为,故,多元函数的条件极值问题,例1.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.,解: 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点 .,机动 目录
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