《计算电磁学》第二讲ppt课件.ppt

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1、11/7/2022 4:54:44 AM,1,第二讲 有限差分法,Dr. Ping DU (杜平),School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT),E-mail: ,11/7/2022 4:54:44 AM,2,它是函数 的一阶差分。由于它是有限量的差，被称为有限差分。其与增量的商为一阶差商,(1),(2),微积分中一阶导数,(3),可以看出，h越小，(2)和(3)的值越接近。, 2.1 差分运算基本概念,设函数 ，其自变量 有一很小的增量 ,则该函数的增量为,11/

2、7/2022 4:54:44 AM,3,(前向差分),一阶导数也可近似表达为,(后向差分),或者，,(中心差分),(4),(5),(6),一阶导数可近似表示为,它们对一阶导数的逼近度可通过Taylor级数展开式得到。,11/7/2022 4:54:44 AM,4,式(4)和(5)都略去了 及更高幂次项。,式(6)相当于将相应的Taylor公式,的 项及更高幂次项略去了。,(7),(8),(9),由Taylor级数展开，,式(6)的截断误差小于式(4)和(5)。因此，一般采用中心差分公式。,11/7/2022 4:54:44 AM,5,对二阶导数也可近似表达为差商的差商（二阶差商），如下,推导过

3、程：,由式(7)和(8)，有,当略去 及更高幂次项，可得到式(10).,(10),(11),11/7/2022 4:54:44 AM,6,在上面的差分公式中，自变量x的微分为 . 在广义差分中，可取,如,有限差分法原理及步骤,原理：有限差分法是利用差分原理，将电磁场连续域的问题变 为离散系统的问题来求解。,有限差分法分析电磁场边值问题，其步骤为：,(12),.,11/7/2022 4:54:44 AM,7,采用一定的网格划分离散场域。常见的规则网格有正方形、矩形、平行四边形、等角六边形和极坐标网格等。基于差分原理，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件，也包括不同媒质分界面上的边界条件，进

4、行差分离散化处理，给出相应的差分计算格式。 结合选定的代数方程组的解法，编写计算程序，求解由上所得 对应于待求边值问题的差分方程组。所得解答即为边值问题的数值解。,11/7/2022 4:54:44 AM,8, 2.2 二维电磁场Poisson方程的差分格式,设 在一个由边界C限定的二维场域D内满足Poisson方程,图1 场域D及矩形网格离散,(2.2-1),11/7/2022 4:54:44 AM,9,第一步: 采用矩形网格离散场域D.,点0对x的一阶偏导数可通过前向/后向差商得到，其为,或,可以看出，单侧差商误差较大。,(2.2-2),(2.2-3),11/7/2022 4:54:44

5、AM,10,为得到较精确的差分格式，引入待定常数 、 ，对 和 进行Taylor级数展开，有,令 项系数为0，得 和 满足,将(2.2-5)代入式（2.2-4），并舍去高次项，可得 的另一差分表达式,(2.2-4),(2.2-5),(2.2-6),11/7/2022 4:54:44 AM,11,若 ，有,推导二阶偏导数的差分表达式。令(2.2-4)中的 项的系数为0，则,和 满足,将(2.2-8)代入式(2.2-4)，忽略三阶以上的高次项，可得,(2.2-7),(2.2-8),(2.2-9),11/7/2022 4:54:44 AM,12,若 ，有,与上面的类似，我们可以很容易地推导出,若 ，

6、有,(2.2-10),(2.2-11),(2.2-12),11/7/2022 4:54:44 AM,13,将(2.2-9)、（2.2-11）代入式（2.2-1)，可得二维Poisson方程的差分表达式,当 , ，上式变为,可用节点的下标将上式写为,这就是“五点差分格式”。,(2.2-13),(2.2-14),(2.2-15),11/7/2022 4:54:44 AM,14,当 ，有,当 时 (Laplace方程)，上式变为,柱坐标系下的差分公式,柱坐标系下Laplace算子的公式,(2.2-16),(2.2-17),(2.2-18),11/7/2022 4:54:44 AM,15,如果 是旋转

7、对称的，则上式右边第二项为0. 经过简单推导，可得,图2 旋转对称场的不等距网格,(2.2-19),11/7/2022 4:54:44 AM,16,其差分表达式对不等距网格为,在等间距情形下， 。令轴线处 ，点0位于第j (j1)行,则。 。根据式（2.2-20），有,(2.2-20),(2.2-21),11/7/2022 4:54:44 AM,17,若点0位于 轴上，需特别处理。 ， 。由罗必塔法则，,这种情况下，Laplace方程变为,(2.2-22),(2.2-23),11/7/2022 4:54:44 AM,18,等间距情形时，差分格式推导,由于旋转对称性， 。则式（2.2-25）变为,(2.2-25),(2.2-24),(2.2-26),11/7/2022 4:54:44 AM,19,将式（2.2-24）、（2.2-26）代入式（2.2-23），有,经过化简，可得,(2.2-27),(2.2-28),11/7/2022 4:54:44 AM,20,Homework:,1. Derive (2.2-20) or (2.2-21).,11/7/2022 4:54:44 AM,21,Thank you very much!,