随机变量的数字特征ppt课件.ppt
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1、第5章 随机变量的数字特征 5.1 数学期望 5.2 方差与标准差 5.3 协方差与相关系数 *5.4 矩 *5.5 条件数学期望(条件均值),随机变量的数字特征是能够描述随机变量基本面貌和代表随机变量主要特征的数字。5.1 数学期望5.1.1 随机变量的数学期望 随机变量的数学期望是随机变量所有取值的加权平均值,也简称为均值。1. 离散型随机变量的数学期望 定义1 若离散型随机变量X的概率分布律是 P(xi)=PX=xi=pi (i=1,2,3,) 且级数 绝对收敛( ),则称此级数 为X的数学期望(或均值),记为EX。即,说明: 离散型随机变量的数学期望等于随机变量的各个取值与对应概率的乘
2、积之和。 均值与X的取值x1,xn,的排列次序无关,故要求 绝对收敛,若此级数不绝对收敛,则称EX不存在。,例1 甲、乙两射手的稳定成绩分别为试比较甲、乙两射手孰优孰劣。解:甲的平均环数 乙的平均环数 故可认为甲略优于乙。 上述算法明确体现了加权平均的思想:若变量X取值xi的概率p(xi)较大,则这个xi就对平均数的影响较大(或贡献较大)。概率p(xi)具有权衡xi地位轻重的作用,称为权重系数。 加权平均的思想不同于算术平均的思想。 随机变量的数学期望代表了随机变量取值的集中位置。,例2 若X服从二项分布B(n,p),求EX。解 该结果说明:具有概率p的事件A在n重伯努利试验中平均出现np次。
3、,例3 若X服从泊松分布P(),求EX。解 X服从泊松分布时,EX=说明事件A在一个n重伯努利试验试验中平均出现次。,例4 几何分布的期望 若P(X=k)=pqk-1 ( k=1,2,), 则 。证明 例5 若X取值 对应的概率值为 讨论其EX存在与否。解,例6 设想这样一种博彩游戏,博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上,然后掷三颗骰子,若所压的数字出现i次(i=1,2,3)次,则下注者赢i元,否则没收1元本金,试问这样的游戏规则对下注者是否公平?解 设下注者的每1元注金带来的盈利是个随机变量X。 X的一切可能值为:-1, 1, 2, 3 可以用考察EX是否等于零来评价这一游戏规则对下注者
4、是否有利。 设掷3颗骰子,恰好出现所压的数字的次数为Y,则 YB(3,1/6),而Y=0时,X=-1; Y=1时, X=1; Y=2时, X=2; Y=3时, X=3;所以,X的分布律为 由于平均赢利小于0,故这一游戏规则对下注者是不利的(每平均玩216次,下注者将输17元)。,离散型随机变量函数的数学期望 一维离散型随机变量函数的数学期望 设X是离散型随机变量, Y=f(X)是X的函数。 X的分布律是:P(X=xi)=pi i=1,2,3, 若 绝对收敛( ),则函数f(X)的数学期望存在,记为Ef(X),且有 二维离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
5、PX=xi,Y=yj=pij (i,j=1,2,)如果 收敛,则g(X,Y)的数学期望存在,记为Eg(X,Y),且有,例7 设X的分布律为求EX, E(-X+2) , EX2。解 EX=(-1)(1/8)+0(1/4)+1(3/8)+3(1/4)=1 E(-X+2)=-(-1)+2(1/8)+(-0+2)(1/4)+ +(-1+2)(3/8)+(-3+2)(1/4) =1 EX2=(-1)2(1/8)+02(1/4)+12(3/8)+32(1/4)=22/8,2.连续型随机变量的数学期望定义2 若随机变量X有密度函数(x),且积分收敛,则称积分 为X的数学期望,记为EX,即例8 设X服从正态分
6、布N(,2),求EX。解,所以, X服从正态分布N(,2)时,EX=。,积分函数是奇函数,在(-,+)内积分为0,例9 设X服从(a,b)内的均匀分布,求EX。解 X的密度函数为可见,均匀分布的数学期望是区间(a,b)的中点。,例10 设X服从参数a0的指数分布,求EX解 X的密度函数为,连续型随机变量函数的数学期望 一维连续型随机变量函数的数学期望 对连续型随机变量X的函数g(X), X的密度函数为(x) , 若积分 收敛,则积分 称为连续型随机变量X的函数g(X)的数学期望,记为Eg(X), 即证明略。但该结论很重要,给出了计算连续型随机变量的函数的数学期望的方法。,例11 设X服从柯西分
7、布,证明EX不存在。证 X的密度函数为 所以, X服从柯西分布时,EX不存在。,例12 若X服从0, 2上的均匀分布,求E(sin X)解 X的密度函数:绝对收敛,所以E(sinX)存在,且,二维连续型随机变量函数的数学期望 设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y),如果 收敛,则g(X,Y)的数学期望存在,记为Eg(X,Y) ,且有特别有式中fX(x) 和fY(y)分别为为X和Y的密度函数。,例12 设二维连续型随机变量(X,Y)服从半圆域D上的均匀分布,其中D=(x,y):x2+y21,y0,求EX,EY和EX3Y。解 (X,Y)的联合密度函数为,5.1.3 数学期望的性质性
8、质1 一个常数c的数学期望等于这个常数,即 Ec=c证 将常数c看成一个离散变量,它服从单点分布,即X=c, P(X=c)=1, 由定义得 Ec=EX=cP(X=c)=c1=c性质2 设c是常数,若X的数学期望EX存在,则EcX也存在, 且有 EcX=cEX证 以连续型X为例。设X的密度函数为(x), 而积分 由于EX存在且收敛,故EcX存在。故有,性质3 若随机向量(XY)的数学期望(EX,EY)存在,则X+Y的数学期望也存在,且有 E(X+Y) = EX+EY 。证 以连续型(XY)为例。设联合密度函数为f(x,y),类似地,若随机变量的函数f(X),g(Y)的数学期望Ef(X),Eg(Y
9、)存在,则f(X)+g(Y)的数学期望也存在,且有特别的性质4 若随机向量(XY)的数学期望EX,EY存在,且XY相互独立,则E(XY)也存在,且有 E(XY) = EXEY,证 以连续型(XY)为例。设联合密度函数为(x,y), 性质5 如aXb,则EX存在,且aEXb。,利用数学期望的性质,可使一些随机变量的数学期望的 计算简化。 这些性质还可以推广到n个随机变量X1, X2, , Xn E(c1X1+c2X2+cnXn )=c1EX1+c2EX2+cnEXn 若X1, X2, , Xn 相互独立,则 E(X1X2Xn)= EX1EX2 EXn,例14 在n次独立试验中,每次成功的概率为p
10、,设Xi为“第i次试验成功的次数”,则Xi有分布律 其中 i=1,2, ,nn次试验中成功的次数Y=X1+X2+Xn ,求EY解 因为 P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p , EXi=1p+0(1-p)=p (i=1,2,n) EY=E(X1+X2+Xn)=EX1+EX2+EXn=np 由此可知,当随机变量服从参数为n,p的二项分布时,其数学期望为二项分布的期望,即YB(n,p),EY=np 随机变量的数学期望由其概率分布完全决定,具有相同分布的随机变量必定有相同的数学期望。,5.2 方差与标准差 在解决实际问题时,常常除了要了解随机变量的数学期望外,还需了解随机变量的取值在数学期望
11、附近波动的情况。 例15 甲、乙两个化验员分析同种样品各5次,得下表结果:由此求得 虽然其均值相同,但甲分析的结果发散程度(波动程度)较小,乙的发散程度较大,说明甲的分析比乙的分析稳定。,如何表示发散程度随机变量的取值偏离重心EX的程度?想法1: 绝对值在求导数和积分计算中较麻烦,而X-EX有可能因正负抵消而使E(X-EX)=0。想法2: 用平方项可避免在计算中的麻烦,反映随机变量取值的波动程度时可采用此方法。,5.2.1 方差与标准差定义 设X是随机变量, 若E(X-EX)2存在, 则称E(X-EX)2为X的方差,记为DX(或VarX) , 即 DX=E(X-EX)2 对非负数DX,因其量纲
12、是X量纲的平方,不便使用,故在应用中引入与随机变量X量纲相同的量 ,并称 为标准差或均方差,记为(X),即,(1)对离散型随机变量X,若已知其分布律P(X=xi)=pi, (i=1,2,)则(2) 对连续型X,若已知密度函数x,则计算方差的常用公式:证 由于EX是一个常数,故有,方差小,说明随机变量所取的值密集分布在其数学期望左右; 方差大,说明随机变量所取的值与其数学期望差异较大(较分散)。 方差是刻划随机变量X取值波动程度的一个量。例15 甲、乙两射手的稳定成绩分别为试计算甲、乙两射手成绩的方差和标准差。解,由于EX=9.3,EY=9.2,从平均成绩看,甲略优于乙;又由于X=0.90(环)
13、,Y=0.75(环),从成绩的稳定性看,乙比甲稳定。,例16 设随机变量X服从(01)分布,求DX 。解 X服从(01)分布,即 PX=1=p, PX=0=1-p=q EX=1p+0q=p EX2=12p+02q=p所以 DX= EX2-(EX)2=p-p2=p(1-p)=pq,例17 设随机变量X服从(a,b)上的均匀分布,求DX。 解,例18 设随机变量X服从二项分布B(n,p),求DX和 。,例19 设随机变量X服从泊松分布P(),求DX。 解,例20 设随机变量X服从正态分布N(,2),求DX。 解 可见,正态分布N(,2)中的参数就是标准差,2是方差。,例21 几何分布的方差:若PX
14、=k=qk-1p k=1,2, 则 。证,例22 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 。证 设X表示事件在一次试验中发生的次数,即,例23 设随机变量X服从参数为a的指数分布,求DX。解,5.2.2 方差的性质性质1 Dc=0 (c是任意常数)证明 Dc=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0(DX=0的充分必要条件是:X以概率1取常数c;即 P(X=c)=1。)性质2 D(cX)=c2DX (c是任意常数)证明性质3 D(X+c)=DX证明,性质4 当XY相互独立时,D(XY)=DX+DY证,性质4可推广到如下情形: 若X1, X2, , Xn 相互独立,则 一般地(非独立),对n个随机
15、变量X1, X2, , Xn,有,例24 在例18的n次重复独立试验中,设每次成功的概率为p,Xi表示第i次试验成功的次数,X1,X2, ,Xn相互独立,且Xi服从参数为p的(0-1)分布。求X1+X2 + +Xn 的方差。解 相比较例18的方法,这里的方法更简单。,5.3 协方差与相关系数定义 对二维随机向量(XY),称函数(X-EX)(Y-EY)的数学期望为X与Y的协方差,记为cov(XY),即 cov(XY)=E(X-EX)(Y-EY)(cov是covariance协方差的缩写。“协”“协同”)显然有 cov(XY)=cov(Y,X) DX=cov(X,X) DY=cov(Y,Y) co
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