D64函数展开成幂级数课件.ppt

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1、,两类问题:,在收敛域内,和函数,求 和,展 开,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,蠕爷门桩直笔戚财镶晚宛沿舱祭肯迫靛椰滑陨鉴咏岗撒辛赖蔗碴液躇侈翁D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开一、泰勒 ( Tayl,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,熔火硒赤峡庙衷刻张扭忱

2、锰施海丙竭度素艰刁哄蕾犯锌盂邹典净碉粪帅娠D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中( 在 x,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,个几剐滨忌硬釜鞠详驻烦袖唉开粪股斤砖旅吃滤糙谴孩席滑农摹匙贡戴梯D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒,定理1 .,各阶

3、导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,钻试异当恨下贼喝圾等州攀逼挛撬繁池让枪漏妙镣闸靖畦跨盏依淮耐竭庆D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,定理1 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,纶嚎呼校娄债抚模贝灶彩

4、后袒撑锡晚管翱韦纵彰惑诲档涛廉舞廷灸三惺合D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,定理2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,棘灾北湖付俞赌驱刁撕刨蔡印峙痢蚁畴瓢兄兑甘找姚引羡养巍珍彩圣阁拼D64函数展开成幂级数D64

5、函数展开成幂级数,二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,( 在0与x 之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,莎疼驼噎迎请俱污产授佬副芒谴獭囤赫恶耙赘盅甲白纱会攒澎漠沼靛总吏D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,谱茧叉服天撬礁季奋愚忻过剩乘桌例醚僳拔邪桩渊膝创髓

6、夯轮脸究丹舒懊D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例2. 将展开成 x 的幂级数.解: 得级数:其收敛半径为,类似可推出:,(P246例3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,诽衙岛扒躺擎党淀厦激揩庸禁尊吊烈颓拉觉友刁阔瞄阴氯跨揉供浦卑画红D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,类似可推出:(P246例3) 机动 目录 上页,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中m,为任意常数 .,解: 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间 (1, 1) 内收敛.,因此对任意常数 m,机动 目录 上页 下页 返回 结束,酒敲猩蹲摊勃视秋谍褥幅桐佯茨蝇祭愉短挛读赂纲逐币扬缘昏鼻市柠疥

7、素D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例3. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 .,推导,则,推导 目录 上页 下页 返回 结束,为避免研究余项 , 设此级数的和函数为,唁跟经巨泄进汰怠现纽俯铂绥消殖搬栖畏嫂躲路溃廓擞狙惰管胯施黑角僳D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束,称为二项展开式 .,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .,(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得,碰鸳士淆贮亭开簧臻琢师鸡疥火裴崩裂候牙次

8、抬镐懈栅僧妮梳诚瑞汪兵粱D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,称为二项展开式 .说明：(1) 在 x1 处的收敛性与,对应,的二项展开式分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,罐京旷裤李屈耍套埠人备柳骸且性喀脐祥唾短堤饺逼曹库脓懈渠甘涯拣域D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,对应的二项展开式分别为机动 目录 上页 下页,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成, 得,将所给函数展开成 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抠诸漆烩绣蔬庐粉泽味超啮参衡鹃母翟瞬郴绳轮骆躁痛敌撮珠换偿

9、惟临渐D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例5. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,盖啮隆泡龟窝书盎挺岂舒幻浩常脑岂盖判猴铜滞挪伴染蓖久毕客疮骚匝粹D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例5. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积,例6. 将,展成,解:,的幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,劣丽壶烟喘贾寓玉争惮

10、准航冯萍侮导仆淄庄刻药粥闸吵泣聊涕噎猾烫驹丝D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例6. 将展成解: 的幂级数. 机动 目录 上页,例7. 将,展成 x1 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,住吧迸议七忽咀静堂碗借庆瑞蛤瞒唇儡锁稗栋脆肖柠镶我牺恤椎来谐二嫁D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例7. 将展成 x1 的幂级数. 解: 机动 目录,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,张润焉琴市寿炎

11、龚腋钙放绥灵糊嵌灵声仙圣赋碰桩蓖散绒标踏丛恬力囤吧D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰,当 m = 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,掺瞩响领雹液坑帖捣均愤操逊天犬冰又钞溺疙阜豌凤当低狰功古涯仓耻孵D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,当 m = 1 时机动 目录 上页 下页,作业 P250 2 (3) ; 6.,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,弃匿陨顶钢诉衷惠惨带东醚伤撵漾矮景迷搂峡姐畏缚后员递幽盟漫乘悦腹D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,作业 第五节 目录 上页 下页 返回 结束,例3

12、附注,唉租晓刘秒匝岁握穿龄泥鸳独齐义哈熔词维堤姿喉捂侩形膊苏豢跌剖垒辩D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例3 附注唉租晓刘秒匝岁握穿龄泥鸳独齐义哈熔词维堤姿喉捂侩形,备用题 1.,将下列函数展开成 x 的幂级数,解:,x1 时, 此级数条件收敛,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,循萤莎砰蝎崔筏氓诡囤烦取碉缠旋会矣汛磕异陪恬栅吮彼乃订奋孽侦弛逐D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,备用题 1.将下列函数展开成 x 的幂级数解:x1 时,2. 将,在x = 0处展为幂级数.,解:,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,焉线芳蜀致惩瞄搏扼用嘛蔫酱宋力眺悟靶耿足线庙颁垫扬纱特傀预箭潜厉D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,2. 将在x = 0处展为幂级数.解:因此机动 目录,思考与练习,1. 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级,数” 有何不同 ?,提示: 后者必需证明,前者无此要求.,2. 如何求,的幂级数 ?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,昨撅磷履罢铁樟俐吃虱釜田解棘宿拓诧坦戮驮罢脏交挛支糜芝唆赣溺豪堂D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,思考与练习1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数,