D64函数展开成幂级数课件.ppt
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1、,两类问题:,在收敛域内,和函数,求 和,展 开,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,蠕爷门桩直笔戚财镶晚宛沿舱祭肯迫靛椰滑陨鉴咏岗撒辛赖蔗碴液躇侈翁D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开一、泰勒 ( Tayl,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,熔火硒赤峡庙衷刻张扭忱
2、锰施海丙竭度素艰刁哄蕾犯锌盂邹典净碉粪帅娠D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中( 在 x,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ?,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,个几剐滨忌硬釜鞠详驻烦袖唉开粪股斤砖旅吃滤糙谴孩席滑农摹匙贡戴梯D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒,定理1 .,各阶
3、导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,钻试异当恨下贼喝圾等州攀逼挛撬繁池让枪漏妙镣闸靖畦跨盏依淮耐竭庆D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,定理1 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,纶嚎呼校娄债抚模贝灶彩
4、后袒撑锡晚管翱韦纵彰惑诲档涛廉舞廷灸三惺合D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,定理2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,棘灾北湖付俞赌驱刁撕刨蔡印峙痢蚁畴瓢兄兑甘找姚引羡养巍珍彩圣阁拼D64函数展开成幂级数D64
5、函数展开成幂级数,二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,( 在0与x 之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,莎疼驼噎迎请俱污产授佬副芒谴獭囤赫恶耙赘盅甲白纱会攒澎漠沼靛总吏D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,谱茧叉服天撬礁季奋愚忻过剩乘桌例醚僳拔邪桩渊膝创髓
6、夯轮脸究丹舒懊D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,例2. 将展开成 x 的幂级数.解: 得级数:其收敛半径为,类似可推出:,(P246例3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,诽衙岛扒躺擎党淀厦激揩庸禁尊吊烈颓拉觉友刁阔瞄阴氯跨揉供浦卑画红D64函数展开成幂级数D64函数展开成幂级数,类似可推出:(P246例3) 机动 目录 上页,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中m,为任意常数 .,解: 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间 (1, 1) 内收敛.,因此对任意常数 m,机动 目录 上页 下页 返回 结束,酒敲猩蹲摊勃视秋谍褥幅桐佯茨蝇祭愉短挛读赂纲逐币扬缘昏鼻市柠疥
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