弧度向量三角函数.doc
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1、-_弧度、三角函数、平面向量_学案【概念】1、 弧度:表示角的大小。定义为圆心角所对的弧长与半径的比值。2、 三角函数:单位圆上圆心角所对的点的坐标。3、 向量:包含大小和方向的量。【应用】1、 以后除特别指明,所有角都用弧度表示。2、 以后除平面几何证明选修4-2,否则解题根本不用相似,全用三角函数。【知识点及习题剖析】弧度1、 角的概念的推广。由射线OA绕O旋转构成的角称为旋转角或转角。其中OA称为角的始边,OB称为角的终边。 我们规定,逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角。旋转角的大小可以超过一周角360特殊地,当旋转角度为零时OA与OB重合,我们称该角为零角。 由此可以把角的大小推广到实
2、数域R任意的值。 坐标系中,将*轴正方向作为始边,*一射线OB作为终边,则我们称终边OB所在的象限为这个角所在象限,或这个角是第几象限的角。2、 旋转角的性质。 设、为两个旋转角可以为负角,则有:先旋转,再旋转,则总旋转角=+。即各角和的旋转量等于各角旋转量的和。所有终边一样的角构成一个集合 即*角旋转k周角的终边与该角终边一样例:在0360围,找出与-95015终边一样的角,并判定该角的象限。解:因为,所以该角为12915,在第二象限。3、 弧度制。 把圆周360等分,1份对应1的制度称为角度制。 在*一圆,*一圆心角所对的弧长L和半径R的比值是一定的,我们定义的值为的弧度,记作 rad。
3、以弧度表示角的制度称为弧度制。 弧度制中, rad的“rad习惯上可省略不写。例如我们可记= (rad)4、 角度、弧度的换算。 设 rad=n,根据弧长公式有: 可得 下面列出一下常用角的角度和弧度:度()030456090120135150180270360弧度(rad)0/6/4/3/22/33/45/63/22例:把11230化成弧度。把化成角度。解:11230=112.5=1.96875解析:角度不要忘记加单位(),否则一概认为是弧度。 公式右算左是角度转弧度,左算右是弧度转角度,不要混淆。5、 弧度制中的圆计算公式。 弧长公式,面积公式三角函数1、 三角函数概念的推广。我们称半径为
4、1,圆心在原点的圆为单位圆。对于实数域的任一旋转角,其终边与单位圆上唯一交于点P(*,y)。我们定义: 以上六个函数称为任意角的三角函数。由定义可知,sin ,cos 的定义域为R,值域为-1,1 tan 的定义域为,值域为R。练习:根据任意角三角函数的定义推导sec ,csc ,cot 的定义域和值域。三角函数在各象限的符号现列如下:例1:角的终边经过P(2,-3),求的六个三角函数值。解:解析:当圆半径不为1的时候,将1改为r即可。例2:求tan -67220的符号。解:tan -67220=tan-2360+4740,而4740在第一象限,解析:找出角所在象限即得三角函数的符号。2、 三
5、角函数线如图,在单位圆中,的终边为OP,易知PM=,OM=, AT=我们称向量ON为正弦线,向量OM为余弦线,向量AT为正切线。点M、N分别称为点P在*轴、y轴上的正射影或射影。OM、ON分别为OP为在*轴、y轴上的正射影。练习:在草稿纸上作出角的三角函数线。3、 正弦函数。如图,在y轴左侧作单位圆,将其12等分,作出每个角的正弦线。再将*轴在0,212等分,即得12等分圆周的角的弧度。将圆每个角的正弦线投射到对应弧度上,用光滑曲线连接起来,即得正弦曲线或正弦波y=sin *由于*角转过假设干周角后终边与该角一样,我们得到,sin(*+k2=sin *,kZ ,即正弦函数中*与*+k2,kZ的
6、y值一样,如以下图:由图,可得正弦函数的性质:定义域为R,值域为-1,1周期性:sin(*+k2=sin *,kZ 一般地,对于函数f(*),如果存在非零常数T,对于定义域每一个*都满足 我们称该函数为周期函数,T称为该函数的一个周期。 对于周期函数f(*),其所有周期中最小的一个正数称为它的最小正周期。我们一般讲到周期,都指最小正周期。 正弦函数y=sin *的最小正周期为2。奇偶性:易知-sin *=sin(-*)为什么?,可知正弦函数为奇函数,关于原点对称。单调性:正弦函数在每一个闭区间上单调递增。 在每一个闭区间上单调递减,其中kZ。例:求函数的周期。解:将2*看作自变量,则其有最小正
7、周期2,即sin 2*=sin(2*+2)=sin 2(*+ 因此函数y=sin 2*的周期为。将看作自变量,则其有周期2,即sin=sin又sin=sin,因此原函数周期为4。解析:周期是定义在自变量上的。想方法将函数的周期转化成未知周期函数自变量上的 变化,这个变化即为新函数的周期。练习:证明正弦型函数的周期为。在正弦波中,称为振幅,T称为周期,T-1称为频率,称为初相。振幅反映正弦波的峰谷值最大值和最小值,频率反映其密集程度,初相反映其初始状态。正弦型函数在物理、经济等领域有广泛的应用。例应用:如图是*按照正弦规律变化的交流电AC的图象,求出它的周期、频率、峰值、解析式。解:由图得周期T
8、=0.02s,因此频率f=50Hz,电流最大值为5A。因此易知解析式为解析:从图象推解析式,先看周期和峰值,再看与y轴交点,由此推出解析式。4、 余弦函数和正切函数。与正弦函数类似,我们可以作出余弦函数y=cos * 和正切函数 y=tan *的曲线。y=cos *)y=tan *)余弦函数是偶函数,周期2;正切函数是奇函数,周期。5、 反三角函数。 定义其中负一次方为逆函数例:求方程的解,其中*-,解:解析:三个反三角函数现阶段只要学会用它们来表示角,其它知识不作探讨。平面向量1、 向量的定义: 我们把同时具有大小和方向的量称为向量。 B没有作用点的向量称为自由向量。数学中我们主要研究自由向
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