谈谈分式与根式方程.docx

谈谈分式与根式方程解决此类问题主要分为技巧方法和思路自然的方法。技巧方法是加1或减1通分子或者是换元与配对或别离整数局部，或取倒数法。在解题的时候要注意增根和遗根。0.例1解方程X2+1Ix-8X2+2x-8X2-13x-8解令y=2+2x-8,那么原方程为0.111+y÷9yyy-15x去分母得y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0,y2-4xy-45x2=0,(y+5x)(y-9x)=0,所以y=9x或y=-5x由y=9x得2+2x-8=9x,BPx2-7x-8=0,所以XI=-1,×2=8;由y=-5x,得x?+2x-8=-5x,BPx2+7x-8=0,所以X3=-8,×4=1.经检验，它们都是原方程的根.例2解方程I-IX2+4x72x-72a1La/、匚解方程x-1X+4xI1V+4又司解设y=洋，则原方程可化为I-|72叵y+7-18=0,y2-18y+72=0,所以y=6或y2=12.2-2x+6=0.此方程无实数根.11.x2+4x0,=12时，KR,x2÷4x=12x-12,故x2-8x+12=0,所以X=2或X2=6.经检验，x=2,X2=6是原方程的实数根.例3解方程x+63x2+10x+42x+l+=QX+1x*+3x+2x+2分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为X-23÷-5X2+3x+23+2-=0,x+2整理得22+3x+2=0,去分母、整理得x+9=0,x=-9.经检验知，x=-9是原方程的根.例4解方程X+1X+6x+2X+5+=+x+2x+7x+3x+6分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简.原方程化为所以+1,X+611_11X+6X+7x+2x+3I-I臼(x+6)(x+7)-(x+2)(x+3)(x+6)(x+7)=(x+2)(x+3).回I解微=微.可经检/X=-是原方程的根.1112例5解方程I区IX(X-1)X(X+1)(x+9)(x+10)分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简.原方程变形为整理得1x+101112,去分母得x2+9x-22=0,解得X=2,×2=-11.经检验知，X=2,×2=-11是原方程的根.例6解方程II2x3+3x+22x2-5x+3II2x2-3x-22x2+5x-3分析与解分式方程形如比例式=4,且本题分子与分母中的一bd次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简.原方程变形为所以x=0或22-3x-2=22+5x-3.解得区经检验,x=0,X=:都是原方程的根.O例7解方程I_I3x2+4x-1回X2+4x+lX2-4x+1巨)分析与解形式与上例相似.此题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简.原方程变形为(3x2+4x-1)+(3x2-4x-1)_(x2÷4x+1)+(x2-4x+1)(3x2+4x-1)-(3x2-4x-1)(x2+4x+1)-(x2-4x+1)当x0时，解得x=±1.经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根.说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.司说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.X2+x+l2x2+x+219+=例8解方程X2+1x?+x+l6X2÷X+1X2+123+=+解将原方程变形为xlx-xl32,可设则原方程变为y+=+,W>y1=I,y2=I.经检验X=1及X=三虫均是原方程的根.a÷xb+xCl÷=2.例9解关于X的方程b+Xa+X2解设y=F，则原方程变为y+°=2+:.所以为=2或丫2=.所以Yi=2或丫2=.由I=2,得X11=a-2b；由：+',得x2=b-2a.b+xb+x将x=a-2b或X2=b-2a代入分母b+x,得a-b或2(b-a),所以，当ab时，x=a-2b及X2=b-2a都是原方程的根.当a=b时,原方程无解.例10如果方程X-22x+a+=0XX(X-2)只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0.原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即=4-42(a+4)=0.(2)方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为0或2.(i)当x=0时，代入式得a+4=0,即a=-4.这时方程的另一个根是X=I(因为22-2x=0,x(x-1)=0,Xi=O或X2=1.而Xl=O是增根).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.(ii)当x=2时，代入式，得2×4-2×2+(a+4)=0,即a=-8.这时方程的另一个根是x=-1(因为22-2x-4=0.(x-2)(x+1)=0,所以X=2(增根),x2=-1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.因此，假设原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是团-(，-4,-8,其对应的原方程的根依次为1,-1.很多题可以不必为了技巧而技巧比方例7最自然的思路就是交叉相乘(3x2+4x-1)(4x+1)=(3x2-4x-1)(+4x+1)3-8x3-14x2+8x-1=3+8x3-14-8x-l16x3-16x=016x(x-l)(x+l)=0x=0或1或-1检验均为原方程的解z,13-x2(13%)ZIC例11x+=42x+1Ix+1)13x+13分析；先通分二42x+1x+1、儿13x-x2=ax+1Y2+13=ba+b=13ab=42再次应用配对思路x+1解得a=7,b=6或a=6,b=7再回代分别得到x2-7x+6=0x2-6x+7=O解得x=l或6或3±此方法很巧但a+b=13确实不易想到我们其实只要有最小公倍数法的胆识和不怕出现4次方程的魄力其实也是比拟简单的。(13x2)Q2+i3)=42(+iy133+55尤,85x+42=O(x-l)(x-6)(x2-6x+7)=O解得x=l或6或3±其实这里主要是整式乘除和因式分解的功底要厚实4Y21)例12求出方程组的所有实数解-=yl+4x24y2_.1+4/-4z2T=Xl+4z分析：我们采用取倒数法，但要注意x=0的时候明显有y=z=O所以,口、0但+口l+4x211+4/11+4z21X=O,y=O,z=O为一组解这TElS根o-J=,-2=，:2=一4x"y4y"Z4zx在x,y,z均不为0的时候得到的三个式子相加再移项有-+v+-y-+3=0(-I)2+(-I)2+(-I)2=04x24y4z2xyz2x2yIzX第二节根式方程例1解方程J3x3+V5x-19-V2x+8=0.解移项得J3x-3-2x+8=-75x-19,两边平方后整理得回(3x-3)(2x+8)=12,再两边平方后整理得x2+3x-28=0,所以x=4,x2=-7.经检验知，X2=-7为增根，所以原方程的根为x=4.说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根,应注意验根.例2解方程|4x2+2xj3x*+x+X-9=0.司分析与解需要注意的是：2X、%7菽可看成是2EE,这就启发我们是否可用“两项和的平方“，即完全平回方公式将方程的左端配方.将原方程变形为(3x*+x)+2x赤47+2=9,|一|即(J32+X+x)2=9,g2+X+X=3或J32+X+X=-3.由y32+X+X=3得叵3x2+X=3-X,两边平方得3x2+x=9-6x+x2,13|解得Xi=4，X2=1由J3x'+x+x=-3得J3x'+x=-(x÷3),-(x+3)<0,解得X=专竺.而当X=哼Z时,故X=写史是增根.经检验,原方程的根为由=4,2=l.例3解方程表"+Jx+2+2&+2x=4-2x.回I解考虑到彼而工=及f,于是将方程化为+2x+x+2)+(Vx+Jx+2)-6=0.囚I即(或+JX+2)2+(或+x+2)-6=0,所以+Jx+2-2)(x+Jx+2+3)=0.因为Jx+Jx+2+300,所以Tx÷Vx+2-2=0.因-2=-JX+2,中2-际,经检验,X=:是原方程的根.例4解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，那么方程的结构必然是极其特殊的.将原方程变形为0,)+(z-2-2Jz2+1)=0.利用非负数的性质得x÷y÷z-2A-2Jy-1-2JZ2=回(X-2-Vx÷1)+(y-1-2Jy-1÷1配方得(或_1)2+(Jy-I-I)2+(Jz-2-I)2=0.我=1,Jy-=1,Jz-2=1.所以=1,y=2,z=3.经检验，=1,y=2,z=3是原方程的根.XH/=22.例5解方程JX-1解令y=S,则原.化为+y=2"2x42,22,_22X+y=X+-J7=7=xy.所以X2-IX2-I将两边平方、并利用得x2y2+2xy-8=0,(xy+4)(xy-2)=0回xy=2.目由，便可得X=y=.回经检验，X=是原方程的根.例6解方程|囚|3x2-2x+9+3x2-2x-4=13.解观察到题中两个根号的平方差是13,即J3x3-2x+9-y3x-2x-4=1.便得.3x'_2x+9-3x2-2x-4=1.由，得V3x2-2x+9=7,3x2-2x-40=0,I3j所以x=y-»X=4.I3I经检验，x1=,X?=4都是原方程的根.可例7解方程I臼IV2x2-1+J-3x-2=72x2+2x+3+Vx2-+2.分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2).2x2-1=u,x2-3x-2=v,I区IJ2x'+2x+3=w,Jx，-x+2=t,那么u2-v2=w2-t2,U+V=W+t.因为u+v=w+t=O无解，所以÷得u-v=w-t.+得U=W,即国解得x=-2.经检验，x=-2是原方程的根.例8解方程=1-JjKL解设=y,则x=y3.2.因此，原方程变为y=一97.整理得y3-1=(1-y)2,即(y-1)(y2+2)=0.解得y=1,即x=-1.经检验知，x=-1是原方程的根.整理得y3-2y2+3y=0.解得y=。，从而x=-i.例9解方程Vx+2a-JX-2aX_=JX_2a+Vx+2a2aJX+2aX+2a包边的分式的分子与分母只有T项的符号不同，那么可用合分比定理化简方程.根据合分比定理得JX+2ax+2a两边平方得X÷2a÷4ax+4a2X-2a-4ax+4a再用合分比定理得2a4a化简得2=4a2.解得x=±2a.经检验，x=±2a是原方程的根.接下来谈谈不要怕平方的魄力