解析几何中的定值和定点问题.docx

解析几何中的定值定点问题一、定点问题例1.椭圆C：£+=1(。0)的离心率为"，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直ab2线-y+2=O相切.求椭圆C的方程；设尸(4,0),M、N是椭圆C上关于X轴对称的任意两个不同的点，连结尸N交椭圆C于另一点石，求直线PN的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线班与X轴相交于定点.解：由题意知e=£=走，所以=二£=即片=4"，又因为z,=L=,所以a2aa41+1/=4,/=1,故椭圆。的方程为C：+/=1.4由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=(x-4)y=k(x-4)联立QX2消去y得：(4左2Df32左2+4(162-l)=0,+y2=14'由A=(32左2y_4(4。+1)(64左24)>O得12k2-l<0,又左=O不合题意，所以直线尸N的斜率的取值范围是-左左0或0左且.66设点N(X1，%),E(x2,y2),那么M(X-y1),直线血石的方程为y-%+"(-)，x2-x1令y=0,得X=VjaE,将X=左(玉_4),%=左(94)代入整理，得X=2XM24(%+%)."+¾%+-8由得XI+%=3：',x1x2=3代入整理，得X=1,1 242+l1242+l所以直线班与不轴相交于定点(1,0).【针对性练习1】在直角坐标系XOy中，点"到点£卜百，0),乙(/,0)的距离之和是4,点"的轨迹是。与X轴的负半轴交于点A,不过点A的直线/:y=辰+与轨迹C交于不同的两点尸和Q.求轨迹C的方程；当APAQ=O时，求左与匕的关系，并证明直线/过定点.解：Y点M到卜I,),(I,)的距离之和是4,.W的轨迹C是长轴为4,焦点在X轴上焦中为2石的椭圆，其方程为r-1.将y=fcc+"代入曲线C的方程，整理得(1+4左2)d+8回+4=0,因为直线/与曲线C交于不同的两点尸和Q,所以A=64k2b2-4(1+4左2)(4/4)=16(42-2+l)>0设P(XI，%)，。(，%)，那么U+=-，XM2=+：左2且X%=(g+b)(kx2+)=(k2xlx2)+kb(xl+x2)+2,显然，曲线。与X轴的负半轴交于点A(-2,0),所以AP=(1+2,%),AQ=(x2+2,y2).由APAQ=O,得(%+2)(9+2)+%=。.将、代入上式，整理得12左216姑+5=O.所以(2左0)(6左5勿=0,即=2左或=|左.经检验，都符合条件，当b=2左时，直线/的方程为y=辰+2左.显然，此时直线/经过定点(-2,0)点.即直线/经过点A,与题意不符.当=|左时，直线/的方程为y=fcc+gz=%1x+g)显然，此时直线/经过定点0)点，且不过点A.综上，上与人的关系是：bk,且直线/经过定点1-g,0)点.右顶点为A、B,右焦点为【针对性练习2】在平面直角坐标系My中，如图，椭圆q-=l的左、F。设过点Ta相)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(Xl,必)、N(X2,为)，其中m>0,y1>O,y2<0o1设动点P满足P/222=4,求点P的轨迹；2设Xl=2,%2=g,求点T的坐标；3)设/=9,求证：直线MN必过X轴上的一定点其坐标与m无关)。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等根底知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：1)设点Px,y),那么：F2,0)、B3,0)、A(-3,0。g由月尸2262=4,得(x2)2+y2(3)2+y2=4,化简得x=5。9故所求点P的轨迹为直线X=-O22将玉=2,=；分别代入椭圆方程，以及%。,。得：M2,XN（1,方直线MTA方程为：l2=1lf即）=J+,5n2+333V-O-3S5直线NTB方程为：工U二产,即y=？x士。20n1623点T的坐标为（9,根）直线MTA方程为:直线NTB方程为:y-0x+3Ctrlmzc、-=，即y=-(x+3),m-09+312J-Ox3Rnm.勺、-=，BPy=(x-3)Om-09-36分别与椭圆A+5-=1联立方程组，同时考虑到x1-3,x23,解得:K'H7'-釜方法一当%2时，直线MN方程为:20m3(m2-20)yH7X5-20+m220+m240m20m3(803(m220)80+m220+m280+m220+m2令y=0,解得：X=I0此时必过点D1,0）；当芯二%2时，直线MN方程为：x=l,与X轴交点为D1,0）。所以直线MN必过X轴上的一定点D（1,OL240-3m23m2-60/方法二假设为二%2,那么由厂=厂及m0,得m=2M,80+m220+m2此时直线MN的方程为=1,过点D1,0）o40m假设%,那么加2j而，直线MD的斜率左MD=80+叫=1叫240-3m40-m80+m2IOHI-,得左Mo=左加，所以直线MN过D点。40-m0)o-20m直线ND的斜率kND=22+/：3m2-60120+m2因此，直线MN必过X轴上的点1,【针对性练习31椭圆C中心在原点，焦点在X轴上，焦距为2,短轴长为2百.I求椭圆C的标准方程；II假设直线/：y=丘+加（左WO）与椭圆交于不同的两点、NV、N不是椭圆的左、右顶点，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证：直线/过定点，并求出定点的坐标.解：I）设椭圆的长半轴为短半轴长为b,半焦距为c,那么Z=2,-4=2,<2/7=2后，解得L厂O2=/+02,椭圆C的标准方程为C22消去y,得Xy_II）由方程组1+丁=y=kx+m（3+4左2）2+8TOV+4m2-12=0.由题意=（8Am）24（3+4左2）（4m2-12）>0,整理得：3+42-m2>0设V（XI，X）、N（X2,%），那么Skm4m2-12x+x3T4V,xxMkr,由，AM±AN,且椭圆的右顶点为A（2,0）,（XI2）（w2）+为二。.即（l+k2x1x2+（hn-2）（x1+¾）+m2+4=0,tctr(114m2-12/7八-Skm2，C也即(1+2)-+(km-2+m2+4=0,'73+4左2v73+Ak2整理得7m2+16mk+42=0.2k解得m=一2左或m=，均满足7当m=2左时，直线/的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),不符合题意舍去;当机=如时，直线/的方程为y=k(x-,过定点(2,0),7I7)72故直线/过定点，且定点的坐标为(一,0).7二、定值问题例2.椭圆的中心在原点，焦点厂在y轴的非负半轴上，点尸到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点尸距离的最大值是6.(I)求椭圆的标准方程和离心率e;(11)假设尸为焦点厂关于直线y=j的对称点，动点M满足卫”=e,问是否存在一个定点A,使2IMFf“到点A的距离为定值？假设存在，求出点A的坐标及此定值；假设不存在，请说明理由.解：(I)设椭圆长半轴长及半焦距分别为。，。，由得I解得。=4,。=2.a+c=6,所以椭圆的标准方程为+f=l.离心率e=1.161242(II)F(0,2),-(0,1),设May),由卫"二e得IMFIyx2+(j-2)2_1yx2+(y-l)22化简得3x2+3j2-14j+15=0,BPx2+(j-1)2=(|)2故存在一个定点4。)，使M到A点的距离为定值，其定值为例3.抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在X轴上，P(2,0)为定点.(I)假设点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；(11)假设动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C,使IABl为定值？假设存在，求这个定值；假设不存在，说明理由.解：(I)设抛物线方程为V=2内(夕W0),那么抛物线的焦点坐标为(5,0).由，=2,即P=4,故抛物线C的方程是V=8.(11)设圆心M(4)(l0),点A(0,),B(O,为)因为圆M过点PQ,0),那么可设圆M的方程为(-疗+-»2=(_2)2+".令X=0,得V2勿+4。-4=O.那么+%=2，X%=44.所以IA5=J(为)=J(%+为)-4%="帖16。+16.,设抛物线C的方程为V=m(冽0),因为圆心M在抛物线C上，那么/=松.所以IABI=4m-16a+16=4a(m-4)+16.由此可得，当m=4时，AB|=4为定值.故存在一条抛物线y2=4%,使IABl为定值4.