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解题技巧：直线与圆的题型与方法一、考试要求：直线和圆的方程1 .理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2 .掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.3 .了解二元一次不等式表示平面区域.4 .了解线性规划的意义，并会简单的应用.5 .了解解析几何的根本思想，了解坐标法.6 .掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.二、教学过程：（I）根底知识详析（一）直线的方程1.点斜式：y=左（X七）；2.截距式：y=kx+b；3.两点式：-；4.截星巨式：I1；y2-y1x2-x1ab5. 一般式：Ax+By+C=O,其中A、B不同时为0.（二）两条直线的位置关系两条直线/1，4有三种位置关系：平行没有公共点；相交有且只有一个公共点；重合有无数个公共点.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线4：y=kix+bi,直线4：y=2x+b2,那么4的充要条件是%=%2，且&=%；1L4的充要条件是%2=T（三）线性规划问题1 .线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果由小y的一次不等式或方程）组成的不等式组来表示,称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数称为目标函数到达最大值或最小值.特殊地，假设此函数是小y的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解5,W叫做可行解.（5）所有可行解组成的集合，叫做可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.2 .线性规划问题有以下根本定理：一个线性规划问题，假设有可行解，那么可行域一定是一个凸多边形.凸多边形的顶点个数是有限的.对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.3 .线性规划问题一般用图解法.（四）圆的有关问题4 .圆的标准方程（x-）2+（y-Z?）2=r2（r>0b称为圆的标准方程，其圆心坐标为山,分，半径为八特别地，当圆心在原点0,0，半径为时，圆的方程为/+J?=产.5 .圆的一般方程X2+y1+Dx+Ey+F（D2+E2-4F>0称为圆的一般方程，DE1/;；其圆心坐标为一，）,半径为=JD2+石2一4方.222OODE当。2+石2-4/二0时，方程表示一个点一，）；当。2+石2-4/<0时，方程不表示任何图形.6 .圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:。为参数）。为参数）X=FCOSy=rsin(X-)2+(j-)2=UX=Q+rcos°y=b+rsin（II高考数学直线与圆题选一、选择题(共17题)X-y+10,L(安徽卷)如果实数不y满足条件y+l0,那么2x-y的最大值为x+y+10A.2B.1C.-2D.-3解：当直线2xy=/过点(0,-1)时，(最大，应选B.2 .(安徽卷)直线x+y=l与圆/+产2Oy=Om>0)没有公共点，那么Q的取值范围是A.(0,2-l)B.(2-l,2+l)C.(-2-l,2+l)D.(0,2+l)解：由圆Y+/-2y=om>)的圆心(0,Q)到直线+y=大于。，且。>0,选a.3 .福建卷两条直线y=2和y=(+2)x+l互相垂直，那么等于A.2B.1C.OD.-1解析：两条直线y=依一2和y=(+2)X+1互相垂直，那么。(。+2)=1,=1,选D.目标函数A(0,2),5(4-s2s-4),C(0,S)C(0,4),1)当3s<4时可行域是四边形OABC,此时，7282)当4s5时可行域是aOAC'此时，2m=8,应选D5.(湖北卷)平面区域D由以A(1,3),5(5,2),C(3,l)为顶点的三角形内部&边界组成.假设在区域D上有无穷多个点(羽y)可使目标函数z=x+my取得最小值，那么m=A.-2B.-1C.1D.4解析：依题意，令z=0,可得直线%+加y=0的斜率为一工，结合可行域可知当直线工+机y=0与m直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为一L所以机=1,选C6.1湖南卷)假设圆Y+y24%-4y-10=0上至少有三个不同点到直线/:依+勿=0的距离为2企,那么直线I的倾斜角的取值范围是a111111A.124解析：圆/+y24%一4y10=O整理为(2)2+(y2)2=(32)2,圆心坐标为(2,2),半径为32,要求圆上至少有三个不同的点到直线/:分+力=0的距离为22，那么圆心到直线的距离应小于等于J5，：中+2”!w,.(一)2+4(一)+l0,2y3(*2+y3,k=(),2-3Z2+3,直线/的倾斜角的取值范围是选B.7.(湖南卷)圆4x4y10=。上的点到直线x+y14=0的最大距离与最小距离的差是A.36B.18C.62D.52解析：圆+y2_4x4y-10=0的圆心为(2,2),半径为3血，圆心到直线x+y-14=0的距离为l2+14l三25>32,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6L选C.28.(江苏卷)圆(X-1)2+6)2=1的切线方程中有一个是A.%y=0B.x+y=OC.x=0D.y=0【正确解答】直线ax+by=O与(x-l)2+(y+JJ)2=l相切，那么叵9=1,由排除法，2选C,此题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事.【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.9.1 全国卷I)从圆22%+丁22+1=0外一点尸(3,2)向这个圆作两条切线，那么两切线夹角的余弦值为1 3CCA.-B.-C.D.02 52解析：圆Y2x+V2y+l=0的圆心为M（l,1）,半径为1,从外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，那么点P到圆心M的距离等于君，每条切线与PW的夹角的正切值等于1,所以两切线夹角的2正切值为tan。=3,该角的余弦值等于1-134选B.10 .山东卷某公司招收男职员X名，女职员y5x-lly-22,X和y须满足约束条件2x+3y9,那么2xll.Z=IOX+IOy的最大值是A.80B.85C.90D.95解：画出可行域：易得A5.5,4.5）且当直线Z=IOX+IOy过A点时，Z取得最大值,止匕时z=90,选C11 .山东卷X和y是正整数，且满足约束条件A.24B.14C.13D.11.5解：画出可域：如下图易得B点坐标为16,4且当直线z=2x+3y过点B时Z取最大值，此时z=24,点C的坐标为3.5,1.5）,过点C时取得最小值，但1,y都是整数，最接近的整数解为4,2，故所求的最小值为14,选B12 .（陕西卷）设直线过点（0,其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,那么Q的值为（）A.±2B.±2C.x÷y10,X-y<2,那么x2x÷3y的最小值2x7.±22D.±4解析：设直线过点（0,。），其斜率为1,且与圆2+V=2相切，设直线方程为y=x+,圆心（0,0）道直线的距离等于半径后，*亚，.a的值±2,选B13.（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为由、4千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为的、8千克.甲、乙产品每千克可获利润分别为4、4元.月初一次性购进本月用原料A、B各9、Q千克.要方案本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额到达最大.在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为X千克、y千克，月禾U润总额为Z元，那么，用于求使总利润Z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为aix+a2yC1bix+b2yC2x0y0a1x-b1y<c1a2x+b2y<C2%0yoaix+a2y<C1b1x+b2y<C2x0y0aix+a2y=C1b1x+b2y=C2x0y0解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为X千克，y千克,月利润总额为Z元，那么，用于求使总利润z=d+4y最大的数学模型中，约束条件为<a1x-a2yC1b1x+b2y<c2,选c.%0o)%14 .(天津卷)设变量X、y满足约束条件x+y2,那么目标函数2=2x+y的最小值为y3x-6A.2B.3C.4D.9y%解析：设变量X、y满足约束条件x+y2,在坐标系中y3x-6出可行域4ABC,A(2,0),B(l,1),C(3,3),那么目标函数z=2x+y的最小值为3,选B.15 .(浙江卷)在平面直角坐标系中，不等式X+y-20,<x-y+20,表示的平面区域的面积是x2A.42B.4C.22D.2【考点分析】此题考查简单的线性规划的可行域、三角形的凤2,0)面积.4-0×2解析：由题知可行域为A5C,应选择B16.(重庆卷)过坐标原点且与/+/+4+2y+-=0相切的直线的方程为2A.y=3x或y=gxB.y=-3x或y=gxC.y=-3x或y=-gxD.y=3x或y=gx解析：过坐标原点的直线为y=履，与圆丁+/4%+2y+g=0相切，那么圆心(2,一1)到直线方程的距离等于半径巫，那么耳竺U=巫，217F211解得左=§或左=3,切线方程为y=3或y=选A.17.(重庆卷)以点2,一1为圆心且与直线3x4y+5=0相切的圆的方程为A.(x-2)2+(y+l)2=3B.(x+2)2+(y-l)2=3C.(x-2)2+(y+l)2=9D.(x+2)2+(y-l)2=33×2-4×(-l)+5|解：r=/=3,应选C二、填空题(共18题)易得A2,2),0A=22B1,3),OBIPol的=M，c1,1),OC=2,故IoPl的最大值为师，最小值为J5.19.（福建卷）实数X、y满足<最大值是行域,三个大值是4.y1,ll那么x+2y的y%,yl,解析：实数1、y满足l在坐标系中画出可y,顶点分别是A(0,1),B(l,0),C(2,1),Jx+2y的最20.（湖北卷）直线5x12y+4=0与圆Y2%+/=0相切，那么的值为解：圆的方程可化为（-1）?+/=1,所以圆心坐标为1,0）,半径为1,由可得q=ln5+1=13,所以。的值为一18或8.21 .（湖北卷）假设直线y=kx+2与圆。2）2+。3）2=1有两个不同的交点，那么k的取值范围是.解：由直线y=x+2与圆。2）2+。3）2=1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，k(0,<1,故圆心到直线的距离小于圆的半径，即邛3+21+三xl,22 .（湖南卷）L-J+1O,那么/+y2的最小2x-y-20是.xl解析：x-y+lO,画出可行域，得交2xy20B（3,4）,那么/+y2的最小值是5.Ix-y<23.（江苏卷）设变量x、y满足约束条件x-y-%+yz=2x+3y的最大值为【正确解答】画出可行域,得在直线2x-y=2与后的交点A（3,4）处，目标函数Z最大值为1824 .（江西卷）圆M：（x+cos）2+（ysin）2=1,直线/：y=kx,下面四个命题:A.对任意实数k与直线/和圆M相切；B.对任意实数k与直线/和圆M有公共点；C.对任意实数0,必存在实数k,使得直线/与和圆M相切D.对任意实数k,必存在实数0,使得直线/与和圆M相切其中真命题的代号是写出所有真命题的代号）I-kcossin_Vl+k2|sin(+)解：选BD圆心坐标为LcosO,Sin0，d=yl-k2l-k2=Isin(+)125 .（全国卷I）设z=2y-x,式中变量不y满足以下2x-y-l<3x+2y23,那么Z的最大值为.yl解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是1）,B（7,1）,C（3,7）,在aABC中满足z=2y%的最是点C,代入得最大值等于11.26 .（全国II）过点1,2）的直线/将圆（%2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k=.解析:（数形结合）由图形可知点A（l,2）在圆（-2）2+V=4的内部，圆心为0（2,0）要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线I±OA,所以勺=-=-曙=kA-2227 .（上海卷）圆414+俨=0的圆心是点p,那么点P到直线xy1=0的距离是解：由得圆心为：P（2,0）,由点到直线距离公式得：-J苫II=坐;1+1228 .（上海卷）两条直线/：x+3y3=012：4%+6y1=0.假设44,那么。=.解：两条直线/：ox+3y3=04：4x+6y1=0.假设/J/4，-=-j,那么“二2.最大值是一解析：实数羽y满足，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3,0)、B(5,0)、x+y-30x-2y-5<0X0y0C(l,2),那么y2x的最大值是0.x130.(四川卷)设羽y满足约束条件：ygx,那么z=2xy的最小值为.2x+y10xl解析：设羽y满足约束条件：y,在直角坐标系中画出可行2x+y10域AABC,其中A(l,；),B(l,8),C(4,2),所以z=2xy的最小值为一6.3L(天津卷)设直线“xy+3=0与圆(%If+(y2=4相交于A、5两点,且弦A6的长为2g,那么a=.解析：设直线女y+3=0与圆(xl+(y2=4相交于4、B两点，且弦AB的长为26,那么圆心(1,2)到直线的距离等于1,"/+BI=,=o.7TT32 .(天津卷)假设半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(xN0)相切，那么这个圆的方程为.解析：假设半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=q%(xO)相切，那么圆心在直线y=。X上，且圆心的横坐标为1,所以纵坐标为百，这个圆的方程为(x-1-+(y-g)2=1.33 .(重庆卷)变量x,y满足约束条件lt+yW4,-2M-yW2.假设目标函数2=x+y(其中。0)仅在点(3,1)处取得最大值，那么。的取值范围为.解析：变量羽y满足约束条件l<x+y4,-2x-y2.在坐标系中画出可行域。中的zW)所以如图为四边形ABCD,其中A(3,1),kAD=1,kAB=-1,目标函数z=r+y(其中>。)表示斜率为一的直线系中的截距的大小，假设仅在点处取得最大值，那么斜率应小于七§二-1,即1,Q的取值范围为(1,+8).34 .(重庆卷)变量X,y满足约束条件其中的取值CU,故有x-2y-3<O<x+3y-30.彳取设目标函数Z=Or+yy1Oa>0)仅在点(3,0)处取得最大值，那么范围为.解：画出可行域如下图，其中B3,0),1，D0,1),彳段设目标函数Z=Or+y取得最大值，必在B,C,D三点处取得，3o>+l且3q1,解得235.上海春圆U(x+5)2+F=户&>o)和直线/：3x+y+5=0.假设圆。与直线/没有公共点,那么r的取值范围是解：由题意知，圆心(-5,0)到直线L3x+y+5R的距离d必须小于圆的半径r.因为3(-5)÷0÷5f-_”=3+l2-=1°,所以。<尸<而.从而应填(°>M).直线和圆的方程练习一、选择题1、在直角坐标系中，直线工+若丁-3=0的倾斜角是()2、假设圆C与圆(x+2)2+(y-1)?=1关于原点对称，那么圆C的方程是A. (x-2)2+(y+l)2=lC.(X-I)2+(j+2)2=1B. (x-2)2+(y-l)2=1D.(x+l)2+(y-2)2=l3、直线双+c=O同时要经过第一、第二、第四象限，那么。、Z?、C应满足A. ab>0,bc<0B. ab>0,bc<0C.ab>0,bc>0D.ab<0,bc<04、直线jy=gx+2,直线A过点?(2,1),且4到A的夹角为45°,1I3CrA.y=XIB.C,'=-3%+75、不等式2xy6>0表示的平面区域在直线2xy6=0的那么直线4的方程是D.y=3x+7A.左上方B.右上方C.左下方D.左下方6、直线3x4y9=0与圆/+y=4的位置关系是)A.相交且过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心7、直线依+勿+。=0(加汁0)与圆X2+)；2=1相切，那么三条边长分别为同、Md的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在8、过两点(Tl)和(3,9)的直线在X轴上的截距是(32：)2A.B.C.一D.22359、点(0,5)到直线y=2%的距离为()A.一B.53C.一D.22210、以下命题中，正确的选项是()A.点(0,0)在区域x+yO内B.点(0,0)在区域x+y+l<O内C.点(LO)在区域y>2x内D.点(0,1)在区域xy+l<0内11、由点P(L3)引圆V+/=9的切线的长是()A.2B.19C.1D.412、三直线1x+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点，那么a的值是()A.-2B.-1C.OD.113、直线:瓜+y=O：质y+l=O,假设/1到，2的夹角为60°，那么k的值是()A.-30B.C.yf3D.314、如果直线依+2y+1=0与直线x+y2=0互相垂直，那么a的值等于()1 2CA.1B.C.D.23315、假设直线1x+2y+2=0与直线3xy2=0平行，那么系数a等于()32A.-3B.6C.D.2316、由y=W和圆炉+J=4所围成的较小图形的面积是()11311311A.B.TCC.D.44217、动点在圆12+y2=上移动时，它与定点6(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A. (x+3)2+y2=4B. (x-3)2+y2=1C. (2x-3)2+4y2=118、参数方程需表示的图形是(A.圆心为(3,3),半径为9的圆/3”21D. (x+-)2+y2=-)B.圆心为(-3,3),半径为3的圆C.圆心为(3,3),半径为9的圆D.圆心为(3,3),半径为3的圆二、填空题19、以点(1,3)和(5,-1)为端点的线段的中垂线的方程是20、过点(3,4)且与直线3x-y+2=0平行的直线的方程是21、直线3x2y+6=0在x、y轴上的截距分别为22、三点(2,-3),(4,3)及(5,K)在同一条直线上，那么k的值等于223、假设方程/+2+4y+l+=0表示的曲线是一个圆，那么a的取值范围是三、解答题24、求点A(3-2)关于直线l:2x-y-l=0的对称点A'的坐标.25、圆C与圆/+/2%=O相外切，并且与直线工+6>=0相切于点。(3,6),求圆C的方程.答案题号123456789101112131415161718答案CAADDDBABACBADBBCD23、a<4二、19、x-y-2=020、3x-y-5=021、2和322、1224、设A(Q/),那么有b+2C12=-a31+3b2213a=二45-I=Ob=525、设圆C的圆心为心/),（6z-1）2+Z?2=1+所以圆C的方程为（X4）2+/=4或/+（y+4回）2=36