抛物线及其性质知识点大全.docx

抛物线与其性质1.抛物线定义：平面内到肯定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质：图形市参数P几何意义参数P表示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程y2=2px(p>Q)y2=-2PX(P>0)X22py(p>0)X2-2py(p>()焦点位置X正X负丫正丫负焦点坐标(fo)（-£。）2（。段2(o.-9准线方程X=-P2r=£2I2T范围xO,yeRx0.yeRy0.xeRy0,.ve?对称轴X轴X轴丫轴丫轴顶点坐标(0.0)离心率e=1.通径2p焦半径A(,y,)"=再+与AF-V1+yf=>+AF=-V1+,1.2焦点弦长网(X1.+X2)+P-(X1.+,)+>(y1+y,)+p-G;+/)+p椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的全部点的集合.其离心率e=1.这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中由于这个美妙的1.既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.例1P为抛物线/=2内上任一点，F为焦点，则以PF为宜径的圆与y轴()A相交8相切C相离。.位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为准线/：X=_§作PH4于4交y轴于Q,那么Ia1.=IW,且Q"=OF=g作MN1.y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线,Mv|=:(|OFj+|PQ|)=；|PI=扣用故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相像的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.(2)焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，很多都与它的焦点弦有关理解并驾驭这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2过抛物线=2H/Ao)的焦点F作直线交抛物线于A(.y).8(0»)两点，求证：【证明】对方程N=2px两边取导数：2)W=2p,.=2切线的斜率a=>,'f=，.由点斜式方程：y-yn=-(-,)=>>,<1.y=p×-p>+>,11.Vo=2pv代入(1)即得：y0y=p(×+x0)(4)定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在很多不不易发觉，却简洁为人疏忽的定点和定值.驾驭它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线/=8X上,且动圆恒与直线x+2=0相切，则此动圆必过定点()1.(4,0)A(2,0)C(0,2)D.(0,-2)明显.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点.选B.2 .抛物线f=2px的通径长为2p；3 .设抛物线炉=2"过焦点的弦两端分别为A(N.工).3(占，2),那么：y1.yj=-r以下再举一例【例4】设抛物线=2PX的焦点弦AB在其准线上的射影是AH,证明：以AB为直径的圆必过肯定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么AB=AB=2p,而AB与AB的距离为P,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为Aa,)，,),巩孙乃)，那么：y%=-n6c周=IyIIyJ=P1.设抛物线的准线交X轴于C那么ICH=.1.对中IC斤=6C3j.½“皿=90。.这就说明：以AA为直径的圆必过该抛物线的焦点.通法特法妙法(1)解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去探讨几何.所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等).【例5】(10.四川文科卷.10题)已知抛物线y=-x2÷3上存在关于直线x÷y=0对称的相异两点A、B,则IAB1.等于(C.32D.4i【分析】直线AB必与直线x+y=O垂直，且线段I&AB的中点必在直线x+y=O上，因得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=O对称，.设直线AB的方程为：y=x+"由!)a：加nY+j-3=0(1)Iy=-X-+3设方程(1)之两根为X1.Xz,则x+0=T设AB的中点为M(Xo,y°),则小="土=-；代入x+y=Qy。=；.故有M从而m=y-x=1.直线AB的方程为：y=x+.方程(1)成为：/+k-2=().解得：X=-2,1,从而y=T2,故得：A(-2,-1),B(1.2).AB=32,选C(2)几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避开的繁杂计算,这又使得很多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们探讨出多种使计算量大幅度削减的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线X的焦点为准线为/,经过且斜率为3的直线与抛物线在工轴上方的部分相交于点41.AKII1为K,则ZXAKF的面积（）A.4B.33C.43D.8【解析】如图直线AF的斜率为"时乙AFX=60。AFK为正三角形,设准线/交X轴于M1则IBWI=P=2,且乙KFM=60。，A|KF|=4,SAm=4-=4J.选C.【评注】（1）平面几何学问：边长为a的正三角形的面积用公式&=计算4（2）本题假如用解析法，需先列方程组求点A的坐标.，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简洁.（3）定义法追本求真的简洁一着很多解析几何习题咋看起来很难但假如返朴归真，用最原始的定义去做，反而特殊简洁.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线c,c-=>o.）的左准线为八左焦点和右焦点分别为6和死;抛物线G的线为/,焦点为心G与G的一个交点为的，则煦-黑等于（）IM£IIMFJA.-1B.IC.-D.-22【分析】这道题假如用解析法去做.计算会特殊繁杂，而平面几何学问又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去找寻出路吧.如图.我们先做必要的打算工作：设双曲线的半焦距C,离心率为e,作MHItTH,令MF1.=ri,M=4Y点M在抛物线上，MH-Mftg这就是说：寓的实质是离心率e.IM以I其次隔与离心率e有什么关系？留意到：忻用=2c=.2=e(i+4)=JIIME1.4Ie)这样，最终的答案就自然浮出水面了：由于黑-黑=（e-1.）+e=-1.选A.IAfr1.1.IMr21（4）三角法本身也是一种解析三角学隐藏者丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较简洁地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后依据各种三角关系实施“九九归一达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱逆境，简化计算.【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a直线经过抛物线V=8、的焦点F,且与抛物线交于4两点。(I)求抛物线的焦点F的坐标与准线/的方程；(II)若a为锐角，作线段28的垂直平分线用交MX轴于点只证明IFPI-IFPcos2a为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点F(2,0),准线/;x=-2.(II)直线AB：y=tana(x-2)(1).X=二代入(1),整理得：yitaa-8y-16tana=0(2)8_8设方程之二根为nV"则Xf=tana.,y1yj=-16v一用+及-4设AB中点为M(M,汽),则°2tana.V0=COta儿+2=4cot'a+2AB的垂直平分线方程是：y-4ta=-coia(.v-4cora-2).令y=0,则X=4ca%+6,有P(4cca+6.0)故Im=IOPIToF1.=4cot°a+6-2=4(co1.'a+1)=4cos，a于是IFPITFP1.COS28=4csa("8s2a)=4csc'a2sia=8,故为定值.(5)消去法合理减负的常用方法.避开解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得举荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的不战而屈人之兵”.【例9】是否存在同时满意下列两条件的直线/：(1)/与抛物线N=8有两个不同的交点A和B；(2)线段AB被直线乙：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线/的方程.【解析】假定在抛物线V=8X上存在这样的两点Ag.yj,B(xi,)，J则有：H)Gf)=8(f)*=e=r线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且勺=-!，,»,.=5,即厂J=55(X+H)8=>y1+y2=-设线段AB的中点为M(.%1).则郎=与a=:代入x+5y-5=O得X=1.于是：AB中点为Ad1.ti故存在符合题设条件的直线，其方程为：.Y=5(X-1),ip125x-5.y-21=0(6)探究法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题,初看起来好像“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探究规律，不断地猜想证明再猜想再证明最终发觉“无限【例10】(10.安徽卷.14题)如图，抛物线y=+1.与*轴的正半轴交于点4将线段的等分点从左至右依次记为月,月,凡过这些分点分别作X轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q.从而得到"-1个直角三角形AQO月，Q月月,，XQ八P八P八、当一>8时，这些三角形的面积之和的极限【解析】:OA=1,图中杼个直角三角形的底边长均为工设。A上第k个分点为外我代34.第k个三角形的面积为F=小M-I)-1'+2:+(j-I)_(/1-1)(4/1+1)故这些三角形的面积之和的极限s=!叫笔算h1.M小+H