空间向量与立体几何典型例题.docx

空间向量与立体几何典型例题一、选择题：I.(2008全国【卷理)三极柱AAC-A4G的侧梭与底面边长都相等，A在底面A8C内的射影为A8C的中心，那么八包与底面A3C所成角的正弦值等于(C)A.1B.C.4D-33331 .解：C.由题意知三极锥A-4AC为正四面体，设校长为“，那么ABi=下a，梭柱的高Ai=ya2-A'=Ja2-(×a)2=«(即点&到底面ABC的距肉).故八4与底面ABC所V323成用的正弦值为四=*.AB13另解：设A8.ACAA为空间向业的,祖基底，A&ACAA的两两间的夹角为60"长度均为a,平面ABC的法向M为OA=AA-AG-八6,八=A8+A4,33那么AB1与底面八?C所成角的正弦值为原=y.二、填空题:1.(2008全国I卷理等边三角形A3C与正方形A或应有一公共边AB,:面角C-A3。的余弦位为也，M,N分别是AGBC的中点，那么E,AN所成角的余花值等于.1题图(1)2 .答案：1.设AB=2.作CoJ.面人/?/»；6OH1AB,那么CH1./V?./CHO为二面角C-八一。的平面向CH=3,OH=CHcosZCHO=1.结合等边三角形八8C与正方形八8£)£可知此四极锥为正四技锥，那么AN=EM=CH=&AN=1.AC+八8),EM=1.e-A£3 2ANEM=-(8+C)(-AC-AE)=222故EW,AN所成角的余弦值AN-EMIAM1.EM另解：以。为坐标原点，建立如下图的口角坐标系，那么点A(T,-1,0),B(1.,-1.,0),E(-1,1,0),C().().2).½EM,AN所成角的余弦值ANEMAMEM三、好答遨:：.设平面OCD的法向量为“=(X.V,幻.那么hOP=Oj,OD=0I.(2008安徵文)如图,在四技椎O-ABCfM1.底面ABCO四边匕为I的芟形，/ABC=X,4OA1.ABCD.QA=2.M为。4的中点.(I)求异面直线AB与MD所成角的大小；(I1.)求点B到平面OCD的距离.1 .方法一(综合法)(1) .cmhB,INMDC为界面之战AB与MD所成的角(或其补角)作A/>_1.CN>。,连接：MD=-Jma2+AD-=2.所以Afi与MD所成用的大小为-3(2) VAf1.平面狈.,点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP.过点A作AQ1.OP于点Q.又VAQ1OP,：.AQ1平面OCO.规段AQ的长就是点A到平面OCD的距离.OP=>JD2-DP2=JA'+AD2-DP1=4+1.-=.AP=DP=§2立,.AQ=("A.=尊=2,所以点B到平面OCD的距离为三OP至332方法：(向最法)作AP_1.Q干点R如图,分别以AB.AP.AO所在“代为二轴建立坐标系-y-2z=02 -x+-y-2=()22,取Z=TI.解得=(0,4.0)设点B到平面OCD的距离为d,那么d为OB在向量"=(0,4,2)上的投影的绝对值.0BIiV0=(1.0.-2).A</=1-ImI所以点B到平面OeD的距离为I2.12008安做理：如图,在四技椎O-AZKYAM底面ABCO四边匕为1的菱形，/ABC=,OA1.ftfetoCD.QA=2.M为。!的中点，N为BC的中点.(I)证明：直线MN”平面OCQ；(II)求异面直线AB与MD所成角的大小：(H1.)求点B到平面OCD的距寓.2.方法一(1)：2)(综合法)取OB中点E,连接ME,NE5t,NEHOC,:.平面MNKHjFffiOCDCDHAIi,.,.NMDC为异面直线AB与A4D所成的角(或其补角)作连接MPMD=yM'+D'=2.ADBN所以43与AfD所成用的大小为?(3)V八8”平面生出.点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OR过点A作Q±O1.i于点Q.,：AP1.CD.OA±CD.：.CD±平面。AP.，AQ±CD又,/AQ1.OP,：.AQ1.平面OC。,战段AQ的长就是点A到平面OCD的距离：OP=OD2-DP2=>OA2+AD2-DPz,AP=DP=-2巫,:AQ=生竺=工，所以点B到平面OCD的距离为工OP3233方法二(向量法)作AP1.CDF点P.如图,分别以AB./P.AO所在宜规为x.y.z轴建立坐标系4(0,0,0),m.O,O),P(O,*,O),"-*,g),0(0,0,2),W(0,0,1),Na-f,g),22244()MN=(-,-1.),OP=(0.-.-2).OD=2y-2z=0冬一2z=0ODCP9*所N设1.OCD的法向量为w=(x,>,Z).那么n.OP=0.nOD=O取Z=应.解得“=(0,4.0)(2)设A8与儿步所成的用为,'A1.i=(W),MD=-i)A.VDI11：CoSe=J.I；1.=。.AB1.jMD网.|叫23成用的大小为2设点B到平面OCD的交流为4.那么d为。力在向量=().4.)上的投影的绝对值,22由Ofi=(1,0.-2).得d=1.r=:所以点B到平面OCD的跑离为上|333.12008北京文)如图，在三梭椎P-ABC'中，AOBC=2.ZACB=90o,AP=BP=AB,PC1.AC.(I)求证：PC1.A8；(I1.)求二面由B-AP-C的大小.3.解法一：(1)取八8中点。，连结PD,CD.'：AP=BP.：.PDAR."；AC=BC.：.CD1.AB.'：PDQCD=D.AB上平面PCD.：PCc1.ftPCD.：.PC1.AR.(I1.)-C=BCAPBP.：.&APe4BPC.又PCA.AC.PC1.BC.又AC8=90°,aPAC1.BC,且ACnPC=C,AB=BP,：.BE1.AP./EC是½在平面小。内的射影.：.CE1AP.；.NBEC是:面角SePC的平面角.在Z8Cfi1中，NKE=90；BC=2.BE=gAB=庭,2也RE3.二面角J-APC的大小为arcsin里.解法二：(1)-AC=BCAP=IiP.APCRPC.又PC1.AC.：.PC1BC.,.CBC=C.APC1.平面A8CAB<平面48C.'.PC1.ABB（三）如图,以C为原点建立空间宜角坐标系Gjqx那么C(O.O.O),(0.2.O),B(2.0,0).设P(0.0.r).,/IPfiI=IBI=22,：.r=2.P(0.0.2).取AP中点£连结CE./AC=PC,B=BPt：.CE1AP.BE1.AP.：.ZBEC是二面角/MP-C的平面角.,.E<O.1.I).EC=(O-I-IhfB=(Z-I-I),.cosz三=2=.阿网I263：.二面用BAP-C的大小为arccos.4.12008北京理)如图，在三极锥P-ABC中，AC=BC=2,ZACfi=90,AP=BP=AB.PC1.AC.(I)求证：PC1.ABi(U)求二面角3AP-C的大小：(III)求点C到平面AP8的距离.4.解法一：(I)取A8中点O,连结。DCD.AP=BP.-.PD1.AB.,AC=BC.CD1.AB.PDCCD=D.平面PeD.pcu平面PaX.PC1AB.（三）-.AC=HC,AP=BP.AAPC,BPC.X.PC_1.AC,:.PC±BC.又ZAC3=90,即ACJ.8C,且ACnPC=C,/.8CJ平面/3C.取AP中点E.连结BE,CE.,AB=BP-：.BE1.AP.EC是BE在平面84C内的射影.：.CE±AP.N3EC是二面角3AP-C的平面用.在ABCE中,8C7=90,BC=2,BESinZfiEC=-=.BE3二面角A-AO-C'的大小为arcsin-.(III)III(1)知A1.平面PCN>.平面APBJ_平面PCD.过C作CH1.PD.垂足为Y1.ft1.iAPBT1.ff1.PCD=PD.J"平面AP8.CH的长叩为点C到平面APB的距离.由(I)PC±AB.又PCJ.AC,f1.4C=A,.PCJ平面ABC.CDU平面ABC,:.PC1.CD.在RtZPC)中,CD=；AB=近.PD,B=6.：,PC=4P»-CD'=2.PCCD二26PD.点C到平面AIiH的距离为W解法二：(1).AC=HC.AP=BIi.APCBPC.又PC_1.AC,.PC±BC.v4CfiC=C.PC1.平面AeC.A5u平面ABC,.-.PC1.AH.(II)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-RZ.那么C(OQ,0),A(0,2,0),3(2Ia0).设P(Okok/).PH=AB=22.r=2,P(0,02).取AP中点E,连结8ECE.AC=PC,AB=BF.CE±AP.BE1.AP."BEC凫:面角B-AP-C的平面角.£(0,1,1),fC=(O-1.,-1.),£8=(2,-ztt,.z.-Cf-B23cosZBhC=J11?=1.=.eceb263.二面角A-AP-C的大小为arccos今.(111)-.AC=BC=PC.C在平面APB内的射影为正AAPB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如(I1.)建立空间出角坐标系。一).BH=IHE.二点H的坐标为.cw=平.点C到平面APB的距离为苧.5. (2008福建丈)如图，在四楂锥中，侧面MD，底面ABCD则梭M=PD=0欣面ABCD为口角梯形,其中BCAD.AB_1.CD.AD=2AB=2BC=2Q为AD中点。(1)求证：PO_1.平面ABCD:(2；求异面直线PBCD所成角的氽弦值：(3)求点A到平面KD的距离5.解:如图，A(0.-1.0).B11.-1.0>,C(1.0.0),D(0.1.0).R0.0.1)所以CD=(-IJO),PB=O-1.-D所以异面更浅所成的角的余弦伯为：WH-CP=OH-CD=O-+Z=0-.v+V=O'(2)设平面PCD的法向眼为h=(x,y,z),CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0)那么，点A到平面PcD的距离为：d令x=1.那么y=z=1.所以“=(1.JJ)又AC=(1.1,0)6. (2008福建理)如图，在四枝堆/M8C7)中，那么向PAD£底面BCD.kPA=PD=2,底面ASCC为H角梯形,其中BC/ADAIi1ADAD=2AB=2BC=2.O为AD中点.(I)求证：POUFiIijABC/):(II)求弁面直筏PD与CD所成用的大小：(I1.I)戏段Az)上是否存在点Q,使得它到平面Pe的印恩为,？假设存在，求出器的值;假设不存在,请说明理由.6 .本小应主要考资直线与平面的位置关系、界面宜线所成角、点到平面的距离等根本知识，考查空间想象能力、逻班思维能力和运算能力,总分值12分.解法一：(1)证明:在中¾=PD。为AD中点,所以PouD.乂蒯面用。_1.底面A8CC.平面PA。C平面A8C)=A),POU平面PAD,所以PO1.平面AHC/).(I1.)连结BO,在口角悌形ABCO中、BCAD,AD2AB=2BC.有ODnBC且OD=Bc所以四边形OBCD是平行四边形.所以OB/DC.It1.(I)知.PO1.CB.NPB。为锐角.所以/P8。是异面直线PH,-iCD所成的角.因为AAX8=28C=2,在RtA0中,AB=MO=I.所以。B=在RtAPOA中.因为AP=J.AO=I,所以"P=I.在RtP1.P.IanZPifO-=-!«=-,NPBo=arctanWBC022所以封面11践PBCD所成的角是arcian.2(III)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为孚.设QD=X,那么SAoOc=：*，由（三）如CD=OB=0,在Rt尸OC中，Pc=HocroF=£所以PC=CD=DP.Sua)=争后考由1.me=VO得2,所以存在点。满足题意，此时兴=(.解法二：(I)同解法一.(ID以。为坐标晚点，OUOnoP的方向分别为X轴、y他、Z轴的正方向.建立空间直角坐标系O-Xyz,依题意,易得4(0,-1.,Q),6U,T,Q),C,0,Q),P(0,1.,0),MO,O,1),所以CD=(-I,1O),PB=(1.-1.,-1.).所以异面之战加与所成的角是arccosy.(W)假设存在点使得它到平面也>的距离为中.2(I1.)=(-10.i)ftD=(-1.1.0).设平面灯。的法向R为11=(X11Jt,.%).nCP=O,-a+¾=0.那么1所以勺个即/=%=n.CD=O,ITi)+)'O=0,设Q(0,y,OM-1.y1.),C=(-1,y,0),由得胃考解T或尸部取=1,得平面PCD蝴一个法向量为店(I,1,1).去)，此时H0=.Qq=所以存在点满足题意，此时卷=g.7、(2(X)8海南、宁夏理)如图点P在正方体ABCD-ABCD的对角纹BD,NPDA=60°.(11求DP与CC所成角的大小：(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小.7 .斛；如图，以。为原点，QA为单位长建立空间直角坐标系。-X*.那么OA=(1,0,0),CC=(0.0.1).ri1BD.BD.在平面BBDD中,廷长DP交BfD'FH.设。二(nnu)(m>0)，1.h<D,D4>=6(),由MO"=DADHcos<JADy>可得2，"=J1.w?+1.好得m=*,所以。=2(1)因为COS</),CC'>=22×0+-×0+1.×1.E,22_也K2，所以<O",C(>=45.即OP与CC所成的角为45.(II)平面A'/力)的一个法向量是DC=(0,1,0).因为COS<DH,DC>=冬°+冬*°1x0所以<O",OC>=60.空设A8=c(c<a=.那么例0.0.0),A(O.c.O).C(Ja2-c.).A(O.<.w).于J½BC=(Ja2-C?,0,0).BA1=(O.<,).AC=(ai-C2-c.0),AAi-(Oea)设平面AiBC的一个法向盘为n=(x.yiz).那么由”,竺小nBC=0.Cy+az=0.C-c2x=O.可取n=(O.a.<-).于是”C=c>O.AC-n的夹角为锐角.届么供的互为余角.nAC(0.-,c).(rt2-c2,-c,O)sin。=COSB=7-nAC后”府a可得DP与平面/VTO7)所成的角为30.8 .(2008湖北文)如图,在直三棱柱八8C-A4C中，平面ABCJ1.0«面AAB%(I)求证：AB1.BC-,(II)假谀U1=AC=.直线AC与平面A1BC所成的角为。，二面角a-BC-幽大小为在求证：0+(Pq8 .本小题本要考费线面关系、宜战与平面所成角、二面角等有关知识，考查间想家能力和推理论证能力.(总分值12分)(I)证明：如右图，过点A在平面AA89内作八。,A必于D那么由平面A/C1.俯面且平面AIBCC侧面AiABBi=A1.B.得Aoj.平面A出C.又成匚平面48C所以AO1.BC因为三核柱ABC-AfB1.C1.是直三梭柱.那么底面A8C.所以/UBC.乂AAInAD=A.从而8CJ.侧面AiAHB1.又Af1.C侧面A1.ABM,AB1.BC所成（三）证法1：连接Ca加么由(I)知NaC。就是直线AC与平面A4C的m，NAZMi就是二面地八-8C-A的顺角，即NAC£>=",ZBi=.ADADA)A于是在RtAAOC中，sin=,在RtADA中，si11zAD=sinO=SinAA由于。与AA。都是脱角.所以O=ZAAtD.又由RtAAIAB知,ZAAD+=ZA4+=,故0+=一.证法2：由(1)知.以点B为坐标原点,以BCBA,。协所在的直线分别为*轴、V轴、Z轴,建立如下图的空间出角坐标系.BA.BA(O.-.c)(O.O.)CCOSCp-'=(-=-1-«BA,.BA-+r.«w2+c2所以SinO=COS=sin(-e),又0<0,©<.所以0+=".2229 .(2008湖北理)如图,在直三棱柱ABCABC中，平面ABC1.恻面AIABB.(I)求证：AB±BC:(I1.)假设直线AC与平面AIBC所成的角为O“二面角A1-BC-A的大小为嫉的大小关系,并予以证明.9.本小麴上要考查比极柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.(总分值12分)(I)证明；如右图，过点A在平面A*8加内作AD_1./I归于以加么由平面MiC侧面A1.ABBif且平面4C侧面AiABR,=A1BMAD1.平面AiBC,又BCU平面AiBC.所以月A1.成因为三棱柱ASC-A1B1G是直三棱柱.那么从底面ABC.所以Ai_1.BC又/W.AD=A.从而8CJ.侧面小月圈.又ABC侧面AiAHB1.微AB工BC(II)解法1：连接CD,那么由(I)如NACf)是H找AC与平面AIBC所成的角,ZABA,是：面角At-BC-的平面角,即/ACQ=O,ZABA,=,A。AD于是在R1.ZSADC中，sin=,在R1.z1.AC8中，sin<p=ACAB由A8VIC,fi)sin<sin.X0<,vg,所以V,法分为:由(I)知，以点8为坐标原点，以8C、BA、8所所在的出X轴、,v轴、Z轴，建立如下图的空间直角坐标系,A8=c.那么B(0.0.0).(O,t-.O),C(yb2-C2.0.0).1(0.c.«),于是设平面A18C的一个法向量为=(.v.y.-),部么,nBA.=0.cy+z=0.Ih到1._-nBC-0.b-c'X=0.设A4=rt,C=,为=¾=i,所以于是由CV尻得可取M=(0.w,<),于是"AC=«<>0.4C与的夹角B锐珀,那么P与0互为余角.即sin<sin,又0V0,V,所以9V.10.(2(X)8湖南理)如下图，四梭铢P-ABa)的底面ABCT)是边长为1的菱形,ZBCD=W0.E是(7)的中点，掰1.底面八8CQ,PA=2.(.I)证明：平面P8E_1.平面用8;(II)求平面例。和平面P8E所成二面角(锐角)的大小.10 .解：解法一(I)如下图.连结8”.IA8C)是婺形且N8d)=60c知.8C。是等边：角形.因为K是CO的中点，所以BK1.CTX乂AHCD.所以8E<1.A8,又因为MJJFifiiABCC,BEu平面48CO,所以1.8K.而人CA8=A.因此BEA.平面PAB.又BEU平面PBE.所以平面PBE1.平面Pfi.(I1.)延长八。、8£相交于点F,连结PF.过点A作A/1.P8于从中(I)知平面PBEi平面小也所以AHI.平面PBE.在RtAA8尸中，因为/3AF=60°,所以，八F=2A8=2=tP在等腰RI例F中，取户人的中点G,连接4G.那么AG1.PF连结HG.I1.1.亚线定理的逆定理得.PF1."G所以/AG”是平面PAD和平面PBE所成角(锐角).:面角的平面历r-在Rt2X¾8中.AHAP-AHAPABPBJAP'+AB'有_25在等媵Rt用F中，AG=甘PA=立.nPB=0.“BE=O述J-所以在Rt,AHG中sinNAGH="=-AG25故平面印。和平面PbE所成：面角(辙角)的大小是arcsin萼.解法二：如下图,以A为原点建立空间直向坐标系.那么相关各点的坐标分别是A(0.0,0),B(b0.0).D(-,-.0).P0.0,2),2222S(1)因为BE=(O.±.0),2平面PB的一个法向量是=(0.1.0).所以通和£共戏.从而BE1.平面PB.又因为MU平面力?反故平面P8E_1.平面PAB.(ID易知PB=(.0-2).BE=(0.-,0),PA=(0.0.-2),AD=(-,-.0)设”,=,yz1)是平面A随的一个法向量,那么由X1+0×,y-2：|=0,0°_()所以y=0=2故可取4=(20.1).设%=(X.见.Zj是平面阳的一个法向量，那么由/,A=O.*,得nAD-00×x2+0V,-2,=0.IJJ所以z?=0,&=-Jy2故可取件=(>/3.-1.0).-X,+-y>,+0×z,=0.于是-腼=黑=孚故平面H和平面内郎所成二面用(锐角)的大小是arccos孚.I1.(2008湖南文)如下图.四棱椎P-ABCD的底面A8CQ是边长为I的菱形，ZBCD=60°.E是CD的中点.PAJ.底面ABCD,PA=S(I)证明:平面PBEJ.平面PAB：(II)求二面角ABEP和的大小。11 .解：解法一(I)如卜图.连结由人8。力是菱形且/8CD=60'知，ABCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以8£_1.CD.又ABrCD.所以8£_1.AB.又因为PA_1.平面ABCD,BEu平面ABCD,所以PA±BE,而PA'A8=A,因此BE平面PAB.又BEU平面PBE,所以平面PBEJ.平面PAB.(II)由知，8£：_1_平面/也.尸Bu平面PAB.所以Hij.BE.又AB_1.BE,所以NPBA是二面向A-BE-P的平面地.在R1.AEAjM1.p_IanZPBA=-=y3,ZPBA=6().AB故二面角A-BE尸的大小为6().解法：如下图,以A为原点，建立空间总角坐标系.那么相关各点的坐标分别是(I)因为BZt=(0,WQ),平面PAB的一个法向域是nn=(04,0),所以BE和时共设从而BEJ_平面隙8.又因为BEu平面PBE,所以平面PBE_1.平面MB.（三）易知PQ=(1,0,-我,BE=(OwQh设“；=(x,.vfZ1.)是平面PBE的一个法向量,那么由x1.+0y1.-J31.=0,0×x1.X+0×z1.=0所以);=0,故可取；=(6J).而平面ABE的B一个法向量是%=(0Q,1.)于是,COS<叫.，>="，=.UO1.M2I2故.面角A-BE-P的大小为60.np12. (2008江苏)记动点P是梭长为1的正方体A"CO-A%C")的对角戏/JR上一点，记=久.当D、BAAPC为钝角时，求2的取值范1乩12.解：由题i殳可知，以加、DC.Z)A为单位正交基底，建立如下图的空间直角坐标系。-qz.那么有A(1.o.0).8(1.1.0).C(0.1.0),D(0,0,1)由Q用=(U1.I)，得/)/=/8=(4九一2)，所以PA=PDt+DtA=(-,-)+(hO,-1.)=(1.-1.)显然NAPC不是平角，所以NAPC为钝角等价于ps9PrcosZAPC=cos<PA.PC>=<0,那么等价于a*pe<o即(1-X-)+(-X1-)+(-1)2=(A-1M3-1)<O,得-<A<I3因此，义的取值范用是(：.1)13. (2008江西文、理)如图，正三桢锥O-A8(?的三条侧极(M、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E.“分别是A3、AC的中点，是E"的中点，过E”的平面与他技。4、长线分别相交于A、BrC1.OA=j(I)求证：B1C11.OAH：(2)求二面角O-A4-G的大小.13.解：(I)证明：依趣设，E尸是AA8C的中位战，所以所3C.那么EF平面OBC.所以KFB1.Ct.又HiiEF的中点，所以AH±EF，那么AH工Bg0因为C¼,OB.OA±OC.所以C¼_1面08。，那么OA±BiCi.因此用GJJHiQA”,(2)作。N1.A8,于N,连CN.因为。G_1.平面OA4.根据三垂线定理知，CN1.ABi/ONa就是：面角O-A4-G的平面角。作EMJOq于M,那么EM/OA,那么M是OB的中点,那么区W=OW=1.OB.OC或其延设OA=X,由空=空得，=-.解得x=3,'MB1EM-1.2在RtQ4中，=>OAyz+OB-=-5.那么，()N="5=:2AiB1.5所以tanNoNG=空=有，放二面地O-AG-G为arctan5ON解法二：(I)以H战。4、OC.08分别为泉八Z轴,建立空间直.向坐标系，O-»2那么所以A方=(一I)。"=。).8。=(0.2,-2)2222所以八"BC=0,0BC=O所以3CJ.平面QAH由EF/8C得B©BC,故：&CJ.平面。人(2)由A(°*°)设g(0.0.z)那么A,E=(-,O,),EB1.=(-1.,O,z-1.)由AE与EB1.共践得:存在2R行A七=aEB得问理:G(0.3.0)设ni=(A1.,y1.,z,)是平面A耳G的一个法向S1.那么令x=2得y=X=1Am1=(2.1.1).又n2=(0,1.0)是平面OAq的一个法量所以二面角的大小为arccos14.(2008辽宁文)如图，在校长为1的正方体ABS-AfC。中，AP1.fQ=b(Xb<),祓面PQEFArD1嵌面PQGH/AD'.H4;：-方力。(I)证明：平面PQF了和平面PQGH互相垂直：4''''J(II)证明：嵌面PQEF和故面PQGH面积之和是定值，P.'if并求出这个值：rjxI(111)线设b=；,求OE与平面PQEF所成角的正弦值,咨二二二卷C14.本小SS主要考查空间中的税面关系和面面关系，好三胸形等根底知识，考查空白想象能力与逻辑.世维能力.总分值12分.解法一：(I)证明：在正方体中，ACf1.AD,AfY1.AB.又由可用/A：D.PH/Ay.PQ/B.所以P_1.PF,PH1.PQ.所以P1.平面PQEF.所以平而PQEF和平面P0G”互相垂直.4分(II)证明：由(I)知PF=>2AP,PH=>2PA'.乂截面心处产和截面P0G”都是矩形,且PQ=1,所以极面P0以和截而PGHIM积之和是(>P+2Pr)×P=2,½ffi.8分(111)解：设AO交PF于点N,连结EN,因为AQrjJFSiPQKb.所以NDEN为CfE与平面PQEF所成I的角.因为。=；,所以P，。，E.尸分别为A/V.BB,BC.AO的中点.3j，3可知OW=±,D'E=.4232所以sin/DEV=，=史.12分322解法二：以。为原点，射线DA,DC.D1.y分别为X,y,二轴的正半轴建立如图的空间口角坐标系。一D。由DF-b.故4(1.0.0),A*(1A1),D(O,O1O),D,(04).P(1.ab,a1,1,b),E(I-A1.O),F(I-WW)fGS,1.1),“S,O1).(1)证明：在所建立的坐标系中，可得PQ=(O,1,O),P尸=(-b,O,-b).PH=S-1,0,1-Z>).AD'=(-1,0,1),AT)=(-I,-1.).因为AD,.PQ=0,AD,.PF=0,所以4。'是平面PQEF的法向吊.因为八7)>Q=O/'£>/>"=0,所以A'。是平面PQGH的法向赋.因为Aiy-SD=0,所以'D±AD',所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.4分(I1.)证明：因为EF=(O1,0),所以"-"QK-P0.又P_1.PQ.所以久阳,为旋形.问理PQCH为矩形.在所建立的坐标系中可求汨I/'H=2(1.-),尸H=2>,所以回+M=,又IPQI=I，所以截而20以,和截面P(K汨面积之和为是定值8分(111)解:由(1)知M=(-1.(M)是平面PQE尸的法向量.由尸为AV中点可知，Q,E,分别为88'.BC,AD的中点.所以4：,1.0；,D'E=,-i因此DE与平面PQE产所成角的正弦值等于cos<ADD,EM=22.12分15.(2(X)8辽宁理)如图.在校长为1的正方体A88-A'87?Tr中.AP=HQ=b(K1.).½f1.PQEF/AD,截面PQG，/W.(1)证明：平面PQEF和平面PQG互相垂自；(I1.)证明：豉面PQEf'和虹面PQG面枳之和是定值，并求出这个假：(111)假设。E与平面PQEF所成的角为45，求ZTE与平面PQG”所成地的正弦值.15.本小题主要考查空间中的线面关系.面面关系,解三角形等根底如识,考查空间想象能力与逻辑思维能力.总分值12分.解法一：(1)证明：在正方体中.A1./±A'D.AD,±7B.又由可得PF/A!D.PH/AH,PQ/AB.所以P"1.PF，PH1.PQ.所以1.平面PQEF.所以¥而PQEF和平面PQG”互相垂出.4分(II)证明：由(I)知PF=J1P,PH=QPN,又豉面PQR:'和裁面PQG都是矩形，且PQ=I,所以极面PQE和故IfiiPQG面积之和是(>2AP+42PA')×PQ=42.是定值.8分(111)解：连结8C'交EQ干点M.因为PHHhU、PQ/AB.所以平面ABCD'和平面PQGH互相平行,因此D1E与平面PQGH所成角与。泥与平面ABCD所成角相等.与(1)同埋可证EQ1.平面PQG从可知EMj平面ABC-。.因此£M与OE的比值就是所求的正弦值.设八交4.于点N,连结£M由FD=I-知D,E=y(-b)i+2,NU=专十号("b).因为A。_1.iPQEF.又IyE与T1IfiiPQ呼成45角.所以O'E=NO',即2+(1.-)=J(I-Z+2解得b=1.,可知K为8C中点.2所以EW=乎,又以'£=J(I-W2+2故OE与平面PQCH所成角的正弦值为3,2EM2万TK12分解法二：以。为原点,射线/，XO/)'分别为X,y,2轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系/)一冷2由得DF=-b.Ai4(1,0,0),A'(I,O,I),O(DOQ),O(OQ,1),P(1,O.b),QI1.h),E(I-ZMQ),F(1.-bJ0J0),G(MA),H(h,OA).(1)证明：在所建立的坐标系中,可得PQ=(0.1.0),PF=(-b,O,-b),PH=(b-M-b).D,=(-1.().1).,D=(-1.(),-1).因为AD'.PQ=Q,AD'PF=O,所以AD'是平面PQEF的法向用.因为A'D.PQ=O,A'DPH=Q,所以A'。是TftPQGH的法向歌.因为八OA7)=0,所以4仍1八。，所以平面PQEF和平面PQGN互相垂直.4分(I1.)证明：因为£”=(0.-1.0),所以E尸P0EF=PQ,又即IPQ.所以PQG='为矩形,同理PQGH为矩形.在所建立的坐标系中可求得|/>*=y2(-h),Ia1.=-J1.h.所以P+PF=1.又P0=1.,所以嵌面PQEF和截面PQGH面枳之和为8.是定值.8分(111)好：也得/)%与A。'成45角,又。'£=(1->1.-1)./W?=(TQJ)可行D'EAffb-2可ifHf1.2-bI即=1,d-2+2所以ZyE=(1,1.-,解得/，=;.又A7J=(-1,0,-1),所以。E与平面PQG”所成角的正弦位为cos<D,EM,D>=立6,12分16.(2(X)8全国H卷文、理)如图，正四梭柱4?Co-AqGR中，AA=2AB=4,点E在CG上且C1E=3EC.%一刁G(I)ifBf1.：A1C1.平面BED：4,pH(II)求二面角A-OE-8的大小.¥弋：16.解法一：三XJe依SS设，AB=2,CE=.z1.yc(I)连结AC交8。干点尸，那么BD1AC.1.-J由三重城定理知.BD1.AiC.3分在平面ACA内，连结Ef交ACf点G，1.hM=2=22,FCCE故RtAA1ACsRtZAAC=ZCFf.NCFE与/"CA互余.于是AC_1.EF.AC与平面8£。内两条相交直线8。EF都垂口，所以AC，平面8ED6分(II)