立体几何中的折叠问题、最值问题和探索.docx

普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学习中形成.纵观近几年全国及各省高考试题,对立体几何中的折胜何虺、最优何即和探索性问遨的考查逐年加重,要求学生要有较强的空间想思力和准确的计算运宛能力,才能顺利解答.从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头痛.分析原因，首先是学生的空间也象力较弱，其次是学生对这类同题没右.形成解时的模式和套路,以至于遇到类似的题目使产生畏惧心理.本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨.1立体几何中的折叠问题折登与展开问遨是立体几何的两个说要问烟，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何何期转化的集中表达。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关雄在于i好折胜前后的平面图形与立体图形,并弄清折登前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的条件都是我们分析何国和解决何遮的依据.而外表展开问题是折科问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体外表的何翘，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。例1【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】如图5,矩形A8CO中，AA=IO.BC=6,将矩形沿对角线8。把A，WD折起，使人移到A点，HA在平面3CZ上的射影。恰好在CD上,U)求证：BC1.AtDi(2)求证：平面ABC1.平面A8。：(3)求：面角A-Ao-C的余弦俏(3)解法1.4Z)1.48C,.4DJ4C,在&48D中，由43=6,CD=10.得4，=8,4。哼，过点。作OEJ>BZ)垂足为点E,连拉4E由4。，平面88.4O1.3D,BD1.平面4EO,BD1.AiE:.N&KO为二面角4-6Q-C的平面角，RCOQ54?0Pf)a又在R山DEo和RtADBC,EO=S=,AE=-.cosZAFO=-=,BD汨'AiE25解法1.以点Z)为坐标原点，以ZM方向为X轴，以Z)C方向为y轴，以平行OA的方向为Z轴，建立空间直角坐标系，可知DO.O。、8610.0，、弓得丽=610.0，瓦=06x+10y=0设平面48Z)的法叵!重为公=，x,y,zr由1824，得的=120,-12,91,1.y>,+z=S11=Dnz-rft>4-r-1.iJ.-*CC,20×0-12×O+9×19而平面BDC的法向空为2=,0>0.1.,>-COS伯,2)=J22?=毛,9结合图象可知二面第A-BD-C的余弦值为点.点评，折算问SS是考在学生空间想象能力的较好段体.如此即，不仅要求学生望解常规立几统合Sfi一样怪得线线，线面和面面垂亘的判定方法及相互转化，二面角平面角的作法，还要正碉识别出亘角三角形AK沿斜边折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关妓战、线面位的变化情况以及有关簟边长与角)的登化情况,否则无法正蹴解题.这正是折段问题的价值之所在.2立体几何中的最值问题结合近年来全国各省市的高考中，考杳与空间图形有关的线段、角、距/、面积、体积等最值问即常常在高考试鹿中出现.在解决此类问题时，通常应注意分析SSII中所有的条件，首先应该在充分理解鹿意的根底上，分析是否能用公理与定义宜按解决鹿中问题:如果不能，再看是否可将问题条件利化为函数,假设能写出确定的表意函数,那么可用建立函数法求耨:再不能.那么要考虑其中是否存在不等关系.看是否能运用解等不式法求解:还不行那么应考虑是否可将共体图展开成平面，这样依次顺序思考，根本可以找到解遨的途径例2正A48C的边长为“，沿8C的平行线/'Q折光，使平面八'"Q1.平面8。，求四梭椎的梭AB取得最小值时，四桢把A'8CQP的体枳.即当X=aat.,B=业1.4,43立体几何中的探索性问题探究性问题常常是条件不完符的侍况下探讨某叫结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力,又可以考查学生的意志力及探咒的旎力.近几年高考中立体几何试题不阍出现了一些具彳!探索性、开放性的试遨.内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角,平行与垂直等方面，对于这类间璃一般可用集合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性域并物磁性，往往需要耐心尝试及等价转化,因此,对于常见的探咒方法的总结和探究能力的福炼是必不可少的.3.1 对命题条件的探索探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.对命题条件的探索常采用以卜三种方法：I、先猜后证,即先观察与娑试给出条件再给出证明；2、先通过命SS成立的必要条件探索出命阳成立的条件，再证明充分性：3、把几何同时转化为代数问起,探索出命题成立的条件.例3【湖北省八校联考】如图,在直三枝柱48C-A4C中底而A8C为等腰直角三角形,ZABC=90.D为板BBI上一点,且平面DAtC1T1.1.1.iAAiC1.C.(I)求证:。为粳BeI的中点:(11) 空为何但时，二面为A-A。-C的平面为为60.所以，DAx=(,0.),DC=(O.a-b)设面DAC的法向量为G=(x.y.z)则7"?U可取3瓦P)O-x+ay-bz=0又可取平面AADB的法向量：_or1.-»wbO-ba-a0b""BC=(OuO)-H=布=一+/=两万据题意有：=1解得：丝=9=北262+22ABa（三）解法2»延长4D与直线越相交于G易知血面AA.B-B.过作血AG于点At连CAt由三垂线定理知：A.G1.CH.由此知NCAF为二面角-AD-C的平面角：设44=2b.AB=BC=a,在亘角三角形4/G中，易知.姐=BG.在舟必5中BH=叱=-7"0.fACM?中，tan/CHB=+,据DGJa2+/BHb题意有I之型=fa110:=石，解得I空.虚所以处=质.baAB点评：这荚题通常是找命题成立的一个充分条件,所以解这类题采用下列二种方法：(1)通过各种探亲给t蛤出条件您找出命题成立的必要条件，也证明充分性.3.2 对命题年论的探索探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么.对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在.求斛时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论.例4【江西省2014届新修程高三第三次适应性那试】(如图1)在平面四边形AaJE中,。为AC中点，AD=DC=PD=2,4K=I.且AE1.AC.PD1.AC.现沿PQ折起使NAoC=90",得到立体图形(如图2),又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F,G,H分别为PB,EB.PC的中点(I)求三梭椎-G“”的体枳：(2)在线段PC上是否存在一点M,使宜城EW与直城?八所成角为60°?假设存在,求出线段的长：假设不存在.请说明理由.思路分析I本题考查空间两条直线的位直关系、异面直旋所成的角、亘统与平面垂亘和平行等基册知识，考查用空间间里解决立体几何卬的问题，考查空间想象能力、运算ga和推理诒证能力.第T可，先用三角形中位族，证FGffFE,所以利用线面平行的判定定理，得出产G/平面尸友），同理IFH“平面FED,把HF与GF的夹角杼化为AD与厚的夹角，利用面面平行，转化尸到平面GHP的距离为H到平面FD42的距离，易得出距离为1，廖后求转化后的右“用，第二）可，由已知建立空司直角坐标系，写出各点坐标,用反证法,先假设存在，假设用7=4圮,求出向量西7和两坐标,用假设成立的角度，列出夹角公式解出4,如果4有解即存在否则不存在,并可以求出所的坐标及I丽I.解析：（D因为EG分别为尸尻8£的中点，的kFGUPE.又FGa畅PED,PEU平面FED,所以产G"平面尸由，同理，FRH平面PED.且郎=JHZ）=1,OF=-PE=-.222，物与G尸的夹角等于血与尸E的天角（设为6）易求sin=.:平面平面FD4&,.F到平面G月尸的距电即H到平面尸灯E的距离过H作阳的垂线.垂足为M则月朋'=I为产至（平面GHF的距谢.yf-t.f=-×-××-×-×=-.'wm322512（2）因为£4_1.平面38,EAHPD,所以PZ）J_平面8,所以尸。_1_加,a）_1.8.又因为四边形抽是正方形，m.AD1.CD.如图,建立空阿克角坐标系,因为AD=H）=2£4=2.的D(0,0,O),P(O,0.2),4(2,0,0)C(O2O),5(2,2,0),£(2,0,1).假设在我段PC存在一点M使直线FM与直线PA所成角为6小.依题意可设丽=兄记，其中OS兄01.由无=(0.2,-2),则用7=(0.24-24).由因为或=而+而，FP=(7.所以两=(-1,24-1.1-24),因为直送FM与直线24所成角为60°,PA=(2,0-2),限c05<两国>=1.即1.,T1.+.22221.+2(2-1.)2解器;1=2,所以而=(0.2.-2),I前I=也.8444所以在线段死存在一点M便直线尸M与直线月4所成角为6心，此时户=逑.4点评I这是一道存在性的探索题，常假定结论成立，再判断与已知条件是否矛JS.在探索间题过程中，第把要求的几何量当成自殳重,然后列出目标函数，再通过代数知识来判断是否有解进而确定是否存在，若存在笄求出对应的解确定出位置.综合以上三类间鹿，折在与展开何司、最大值和最小值向SS和探究性问题都是高考中的热点问时,在高考试题的新颖性越来越明显,能力要求也越来越高.并且也越来越广泛.折登与展开问超是立体几何的一对问SS,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何向咫转化的集中表达，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；求最值的途径很多，其中运用公理.与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法：对于立体几何的探索性问即一般都是条件开放性的探究问阳，采用的方法-般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法物化为代数的问题解决.如果找到了符合题目结果要求的条件，那么存在：如果找不到符合遨目结果要求的条件，或出现了矛盾,那么不存在.另外对于立体几何中的上述-：种问时有时运用空间问电的方法也是一种行之有效的方法,能使问也简单、有效地解决.解答这些问题,需要主现的意志力，不要见至1此匏司题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过一些必要的练习，加强解扳信心的塔养，确定解题的一殷规律,积极的深入分析问题的特征,进而实现喷利解答.