第十六章 多元函数的极限于连续.docx
第十六维多元函数的极限于连续R20§I平面点集与多元函数I.判断下列平面点集，哪些是开集，闭集，有界集或区域？井分别指出它们的聚点与界点:<1>.)×c.<);(x,)')IXV0(3)(x,.v)x>'=0:(4)xy)y>(5) x.y)x<Zy<Zx+y>2;(x,y)y)(7)<j(,y)y=sinx>j>:(8>-.y)+y=1.i1.!0=0.0x1(9)Iky)Ifix,y)=，2,求/(U)s'y'xfix,y)='+y2-X>'fg.求R1.Xjy).7.设F(x,y)=1.nXIny,证明:u>O,v>O,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v);8.求卜列各界函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集：22r+V1:<2>f(,y>=；X-J2f+3y+y=0.12(IO)卜冬.丫)1入，.丫均为整数上2 .试问集合(x.y)0qx-<立0<卜一同<界与集合标.刈,一<5枚一目<孙是否相同？3 .证明：当且仅当存在各点互不相同的点列PUEHHPnJimR=F,时,Pn是E的It-W聚点.4,证明：闭城必为用集。举例说明反之不直.5 .证明：戊列(,yt)收敛于凡(元,)的充要条件是IimX,=%和11->HmyjyOIIT1.C6,求下列个函数的函数值：arctg(x+y)'1+31-34<>/Uy)=1.-J.求arctgx-y)-(3)fbi.y)、其；/(x,y)=1.nx+1.ny,/Cr.)')=1.n(y-x)f(x,y)=V-A+Jy'Tf(x,y)=JSin(f卜y);f-”;（9）f（x,y.z）=,一，+y+|（IO）fx,ytZ）=JR-y-z：+I,1.7=;，（R>“1.x+y+z-r9 .证明，开集与闭集具有对偶性一一若E为开集,则匕为闭集：若E为由集,则EC为开集.10 .证明；（I）若RF2为闭集,则尸U方与Fd2都为闭集:（2）若匕.Ez为开集.则E1.与£；CE2都为开型:<3）若F为闭集E为开集，则FE为闭集，RF为开集.11 .试把闭域套定理推广为闭套定理，并证明之。12 .证明定理16.4（有限覆限定理§2二元函数的极限1.试求下列极限（包括非正常极限：(1)Iim=7".y1.JfIim()<0.01+父+/-2X+y(3)Iim,J_(jr.y>IO.O)I2211+x+y-I(3)Iim<.j-X0.0>(5)Iim(x.y>.2)2x-y(6)Iini(.r+y)sin：(.y>H(1.,)2X+y.3s11(V+V)(7)Iim-1.(*.y>(0.0)y2.讨论下列函数在点（0.0）的Ig极限与累次极限.y(D(.r.y)=-ry+y(2)f(x.y)=(.t+y)sin-sin-;XyxV3)(.y)=-JVy+U-y)<5)(.y)=),sin-r+V(4>/(x,y)=1-2-V+)'rv/(x.y)=-x+y(7)/Uy)=3.证明：若JjI1.1.J(X")存在且等于a.2o>在b的某领域内，存在有Iimfx,>)=由)，),则hmIimf(x,y)=A.ry6.t4 .试应用一6定义证明Iim上工=0.".vAu&s.+y5 .叙述并证明：二元函数极限存在的唯性定理.局部有界性定理与局部保号性定理.6.试写出下列类型极限的精确定义：(1) in/(x,y)=7.试求下列极限：Iimf(x,v)=4;JJ1.TD加)(I)IimJXy(3)Iim(1+)y1.,2-v-(*y)1Iim(1+)-<nJ8.试作一函数心,力使当卜一>+H>，+00.时，(1)两个累次极限存在而重极限不存在：(2)两个累次极不限存在而用极限存在：(3)重极限和畏次极限都不存在：(4>重极限与一个素次极限存在，另一个界次极限不存在”9.证明定理16.5及其推论3.§3二元函数的连续性1.讨论下列函数的连续性：(1>/(,y)=fg(+y)<2sinXy.-,yy/(.")="Oy=0sin.n22f0rA-'÷y(4) f(x,y)=J100X为无理数(5) /(XV)=.、yX为有理数y1.n(x'+yX/(->>')=VI°Xf(x.y)=.1.Sinxsiny2.叙述并证明二元连续函数的同部保号性.3.设rG2÷Z,/(y)=</(x,y)=+y,+y'o2+y'=0/(*,),)=eJVVOOF+y'=O讨论它在(0,0)点处的连续性。4 .设/(KF)定义于闭矩形域S=QbIXkM若f*jy在仁川上处处连续,对X在Qb)上(f1.关于y>为一致连续，证明f在S上处处连续.5 .证明：若。U是行界闭城.f为D上连续函数,则F(D)不仅行界(定理16.8),而且是闭区间，6,设f(.r.y)在集合GuR'上对X连续，时y满足利普希茨条件：f(x.y)-fx.)“1.y-y.其中(x.y').(x,y*)G.1.为常数，试证明f在G上处处连续.7 .若一元函数dt)在a.b上连续，令/(x,y)=0(x),(,y)。=”,Z>x(-x>,8).试讨论f在D上是否连续，是否一致连续？8 .设fx,y)=-.(x.y)eD(0,1.)×|0.1).1-.xy证明f在D上连续但不一致连续.9,设f在R?上连续,且照Kx,y)=A,r=J?+y1证明f在R?上有界：f在R2上一致连续。10.设f在R2上分别对每一个自变量X和y是连续的，并且每当固定X时对y是单调的.证明f是R2上的二元连续函数.
