抛物线与其性质知识点大全.docx

抛物线及其性质1 .抛物线定义，平面内到行定点I：和强定直线/的即禹相等的点的轨迹称为抛物线.2 .抛物线四种标准方程的几何性质：田彩照4k-市冬4tP几何意义冬敦P表示低点到渔货的距离，P岫大，开口越翔.开口方向右左上T标准方程y=2px(>>0)yi=-2px(p>0)X2=2pyP>0)X2=-2/，刈>0)供点位£X正X负Y正Y¾焦点坐标(f.0)(-f.)(。苧(-f)发线方«x=-P2X=R212),/2危IexO,yGRo.)Gey0,XGf>'o,.v6e对你轴X.铀X轴YrtY轴If1.点坐标(0.0)需心率e=通径2pA÷1(x,.>1)1.'=x.+-'2AF=-X+12AF=v1.+,2AF=-y.+-M2焦点就长IABj(x1.+Xj)+P-<x1+x,)+p(y,+y2)+p-(.y+y2)+p件点弦长IA用的补充A(X,y)3(巧')2)以AB为直径的网必与准线/相切若A8的倾轩角为,人时一工sin:a若4?的简好角为,闱A3=-,cosea2rt2=yyiy2=-p2J1AF+BFAB2AFBFAFIiFAFRFp3.抛物线y2=2zt(p>()的几何性质IU)范阚：因为po,由方程可知XN0,所以恤物线在)，轴的右I从当X的值增大时,)，也增大,说明她物观向右上方和右下方无限延K.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号确定开口方向.(3)顶点<0,0),离心率；e=,焦点/(§,0),准规工=一§,焦准距p焦点弦：微物戏)'=2px(>>0)的焦点弦A3，A(XI,yj,B(xi.y1),W1.AB1.=1+x,+p.弦长IAB=X+Xz+p,当x=x:时，通径最短为2p.4 .焦点弦的相关性质，焦点弦八8,A(x1.,yi),Bix2,y2),供点F(§.0)2(1)若AB是拊物找=2px(p>Q)的焦点弦(过焦点的弦，且八,y),则：Vj=".4)y2=-p若AB是抛物线炉=2pWp>0)的侬点弦且出线AB的恸斜角为则I人冏(QHo).sin*aIIAF4.RFAR2(3)己知直找AB是过她物钱)，2=2PMP>0)焦点F,弁+gu=11T=£(4)焦点弦中通径最短长为2p.通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：以她物我焦点弦为直径的国与掂线和切.过他物税焦点弦的两端点向准跳作垂规.以两垂足为内径端点的圈与焦点弦相切。5 .弦长公式：4(x1.y,),8(占.打)是她物戏上两点，则|阴=5(,r1.-x,)2+(.v1-y,)2=1+IyI-V,-21=i+TTI.V1-J26 .直线与抛物线的位置关系直线1.y=H+5,抛物线Uy=2",y=kx+by=2px,消y得：k2xi+2(kb-p)x+b30(1)当k=0时，直线,与抛物线的对称轴平行，有一个交点：(2)当k>0时,>0,直线/与抛物线相交，两个不同交点：=0,直线/与抛物线相切，一个切点：VO,直线，与抛物线相窗，无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不肯定)7 .关于直线与抛物线的位又关系问题常用处理方法直线/：y=*-+抛物线Cy*=2px,(PAO)联立方程法Iy=kx+b,、=>k'x'+2(kb-p)x+b'=Oy2=2px设交点坐标为A(X1.力)，B(x2,y2),则有AAO,以及M+工小毛，还可进-步求出y1.+y2=kxt+b+kx2+b=R(X1.+x,)+2b,y1.y2=(kx1+OXkx2+b)=2aix2+Aax1.+七>+b，在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时,常用此法，比如a.相交弦AB的弦长IAq=J1.+R'x-x,=1.+'J(x1.+X,)2-4xix,=T+F总同或41.=击IMf1.=3+*J(X+mJXH=Ji+'号b.中点”(.,)%),%=2产，汽=1点差法：设交点坐标为4与H),yj).代入抛物线方程，得X2=2n,=2px1将两式相减，可得(y1-J2X>,1+>2)=2p(.v1-X2)y.->,22PX1.-X2X+XU.在涉及斜率问题时，心.=-一I).在涉及中点轨迹问题时，设线段,18的中点为M(XO,小)，互=3_=?=3，一0y1+y22y11%即1.=上，为IriJJ1.对于抛物线=2py(pH),若直线/与抛物线相交于A、8两点，点M(Xo,y0)是弦A8的中点，则有KH=W1.=孕=区-P2pP(留意能用这个公式的条件：I)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在,且不等于零)【经典例题】(OM*tt二次曲线的和诵谶黝网与双曲线都有两种定义方法.可恤物纹只有一种：到一个定点和一条定直线的即禹相等的全部点的集合.其离心率e=】，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又由立在留椎曲线之中.由于这个美妙的1,既使它字尽和谐之美，又生出多少华丽的镭章.【例1】P为抛物线/=2/»上任一点，F为焦点，则以PF为直径的网与y轴)C.相离【解析】如图.抛物线的供点为产.j.准线是。.位JR由P确定A相交/：x=-g作PH1./于H,交y轴于Q.那么IPHT"4I1.IQM=IoFI=g作MN±y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线.WM=；(|。尸|+1PQ1.)=：|P|=；IPFI.故以PF为口径的圆与y轴相切，选B.【评注】相像的何题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或相交的.(2)焦点弦常考常新的亮点弦有关地物线的试卷,很多都与它的焦点弦有关.理解并鳄我这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过拊物域V=2PMPAO)的焦点F作出城交抛物城于A(XUy),H(2,yJ两点，求证:(I)=x1+x,+p【证明】(1)如图设拊物线的准线为/.作AAi11,BB±/于与则IAFI=IAAI=8+与，忸日=忸闻=毛+g两式相加即得；A=i+.q+p(2)当AB_1.X轴时，有IAH=18F=p,向+向="成立；当AB与X轴不垂直时.设焦点弦AB的方程为：V=中苫代入抛物线方程:x-R2=23.化简得：k2x2-pk'+2jx+-k1三0(I):方程(1)之二根为x“2.vx,=.,4_.V1+x,+p西+丽=网.网=海+W0+如i)+4=一+"=-+=24÷fu÷j÷4知+3)"故不论弦AB与X轴是否垂直，恒有J7+=2成立.IAF1.BFp(3)切战一期物线与函数有雄有关系物战的很多试翘，乂与它的切有关.理解并驾驭拗物战的切线方程，是解题者不行或缺的基本功.【例3】证明：过撇物线)；=2px上一点耨<t,yo)的切成方程是：y°y=1.>(x+x.)【证明1对方程V2=2px两边取导数：Iyv'=2p,V=切线的斜率'yA=Mf='.由点斜式方程：y-y0=(-0)=>y0y=p-pu+y(1)儿Vy=2PXq,代入即得：y0y-p<xx.)枪物线中存在很多不不易发觉，却简洁为人疏忽的定点和定值.驾驭它们，在斛题中常会有意想不到的收获.例如：I1.动圆的圆心在抛物线./=8x上，且动圆忸与直线x+2=0相切，则此动圆必过定点A(4.0)R(ZO)C(0.2)D.(0,-2)明显.本即是例1的制版，该网必过搬物跳的焦点，选B.2 .她物税)2=2f>x的通径长为2p：3 .设抛物线)尸=2内过焦点的弦两端分别为Aa,x),8(m,%),那么：y1.y2=-p2以下再举一例(例II设拊物线y2=2PX的焦点弦AB在其准战上的射影是AA,证明：以AB为I1.径的国必过肯定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物税的通径，那么AB=AB=2p,而A周与AB的距离为p,可知谈圆必过抛物战的焦点.由此我们猜想：切这样的圆都过拗物战的焦点.以下我们对AB的，般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为A(.V,.y1),(,.y2),那么：y1.y2=-P2=IaC4=I川|为1=Pt-i殳她物税的准税交X轴于C.那么ICH=.,FB1CF=6HC4故幺抽=90°.这就说明：以AB为直径的圆必过该她物线的焦点违法特法妙法(1)解析法一为对彝向J1.1.1.用排膜解析几何是用代数的方法去探讨几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问起(如对称何曲【例5】(10.四川文科卷.10璃)已知搬物般y=-+3上存在关于真戏x+y=0对称的相异两点A.B.则IAB1.等于<)A.3B4C.3&D.4五【分析】直线AB必与直线x+y=O垂S1.,且线段AB的中点必在出线x+y=O上.因得解法如下.【解析】；点A,I1.关于直线x+y=O对称，.设直规AB的方程为:Y=X+1,.y=+rn.!1.<",=>x'+x+n-3=0(1)>>=-x+3川；.故有M设方程(1)之两根为X.x；,则M+x,=-1.设:AB的中点为M(X”y。)，则/="=-；.代入x+、'=0：从而加=y*=1.宜线AB的方程为：y=x+1.方程I)成为：F+x-2=0.解得:X=-2,1.从而y=T,2.故得：A(2.1).B<1.2).B=32.选C.(2)几何法一为解析法添彩扬威F(1.0)虽然解析法使几何学得到长足的发展.但伴之而来的却是难以避开的繁杂计算.这又使得很多考生时解析几何习胞里而生丧.针对这种现状，人们探Hf1.iiJ种使计算从大幅度削减的优秀方法，其中最仃成效的就是几何法.【例6】II.全国I卷.11)施物线y：=4.1的焦点为“，准税为/.经过“乩斜为6的口战与搬物线在X轴上方的部分相交于点A,AKJJ,垂足为K,则AAKF的面枳(A.4B.3瓜：.43D.8【解析】如图乱&AF的斜率为3时/AFX=60”.AFK为正三角形.设准线/交X轴于M,FM=p=2,且NKFM=60。，.IKF=4,Saaw=避X4?=4JJ.选C.4【评注】(1)平面几何学问：边长为a的正三角形的面积用公式Sa=手/计豫.<2>本膻暇如用解析法，需先列方程娟求点A的坐标，再计算IE三角形的边长和面积.虽不是很冰.但决没有如上的几何法简洁.(3)定义法一遑本求真的前洁T很多解析几何习题咋行起来很难.但假如返朴归口，用最原始的定义去做,反而特殊简洁.【例7】(07.湖北卷.7起)双曲线=(>0,8>0)的左点我为/,左焦点和右焦点分别为£和小：拗物战G的践为D.12而平面几何学问又一时用不上，那么就从/.焦点为R：G与U的一个交点为M.则生|-卜驾等于(-1*11"1A.IB.IC.2【分析】这道SS锻如用解析法去做，计W会特殊繁杂.最原始的定义方面去找寻出路吧.如图，我们先做必要的打算工作I设双曲戏的半焦矩c,离心率为e,作A/JJ于H,令Mb；=4=令；点M在他物线上,MMHHAf闾=4,故疆j=牒=:=°这就是说：丝星的实质拈离心率CIEI其次，标j与因心率C有什么关系？留意到:位用=2c=e2je(i+4)IM用r1.r1.r1.这样，最终的答案就自然浮出水面了：由于海器=(e-1.)+e=-1.选A.(4)三角法一本身也是一种解析三角学隐畿着丰富的解题资源,利用三角手段，可以比较简洁地将异名异地的三角函数咕化为同名同角的三角函数.然后依据各种三角关系实梏“九九归一”-达到解题目的.【例8>O9.重庆文科.21整如图,倾斜角为。的出城经过因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱逆境，简化计算.物线y2=8.t的焦点F,且与微物线交于八、B两点。(1>求他物段的焦点厂的建标及准城/的方程；(I1.)若为锐角,作线段AH的垂直平分线m交X轴干点R证明IFPHFPIcoS%为定值，并求此定侑，【解析】(1)焦点F(2.0).准线，：x=-2.(I1.>HAB：y=tana(x-2)(I).X=代入I，第理得：y2tan<z-8y-16tana=0(2)设方程(2)之二根为y1,y2,则",*=tan£.y月=76v=K+-=4=化设AB中点为(,)b)，则，2tana=cot«y1.)+2=4cot'a+2AB的垂H平分战方程是：y-4cota=-cota(A-4cota-2).y=0.W9x=4co12a+6,右p(4co-a+6,0)故IFP=IoH-OF=4cota+6-2=4(cot'a+1.)=4COS,'a于超IFPHFPICoS2“=4c$c?a(I-CoS2a)=4csc2a2sin2a=8,故为定值.(5)消去法一含理负的常用方法.避开解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最侪得举荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】是否存在同时满意下列两条件的直战/；(1)/与搬物戏)J=8有两个不同的交点A和B；(2)践段AB被口线乙：x+5y-5=O垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出H践/的方程.=55+/)【解析】假定在拊物践炉=8K上存在这样的两点A(N,y1),B(x2./)则有:段AB被直线人X+5.5=0垂直平分，且A/,ht,=5即8=X+必=<设线段AB的中点为M(孙nJ,则)b=汽&=±代入x+5y-5=O得x=1.于是:2AB中点为A(1.q.故住在符合翘设条件的总规，其方程为:4y-Z=5(.v-1.),p25x-5y-21=O(6)探究法一弃向数学方法的育深层次有一些.解析几何习题，初看起来好像“树高前深，叫惟夫难以下手这时就得冷峥分析，探究规律.不断地猜想一证明再猜想一再证明.最终发觉“无限风光在险峰一.【例10】(10.安儆卷.14超)如图,岫物线产-+I与X轴的正半轴交于点A,将缓段。八的“等分点从左至右依次记为,凡小过这些分点分别作X轴的垂线，与微物战的交点依次为Q,Q2,，n1.从而得到"-1个直角三角形4QQP.,QPiP2.-.Z2ZP,V.当”8时，这些三角形的面枳之和的极限为.【怦折】；|。小=1.,图中每个宜角三角形的底边长均为1.n设OA上第k个分点为P10代入y=-X2+1：y=1.-.第k个三角形的面枳为：=(,)U-I(j-1.)(4n+1.)I2r色业j1.im(,4)(44)4故这些疏形的面积之和的极限S=Iimr