专题1.1 集合的概念--解析版.docx

专题1.1集合的概念【基本知识梳理】【知识点I集合的概念】1 .元素与集合的«1念及表示(I)元素：一般地,把研究对象统称为元素，元家常用小写的拉丁字母。，,C我示.(2漂合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母八，B.C表示.(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.2 .元素的特性3 1)确定性：给定的集合.它的元素必竺足确定的.也就是说.给定一个集合.那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.筒记为“确定性”.4 2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说.集合中的元素是不重!出现的.简记为“互异性”.5 3)无序性：给定集合中的元泰是不分先后,没有顺序的.简记为无序性【知版点2元案与集合的关系】1 .元素与集合的关系(DM于：如果。是集合A的元素,我说“属于集合A，记作"G4.(2)不属于：如果。不是集合A的元泰，就说“不属于集合八，记作,任儿【注】符号和"住"只能用于元索与集合之间并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性，左右两边不能互换.2 .常用的数集及其记法集合自然数维正整数集整数集有理数集实数集符号NM（或N.）ZQR【知织点3集合的衰示法】1 .列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号Z”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意：(I)元索与元素之间必须用“，”隔开.2)集合中的元素必须是明确的.(3)集合中的元素不能承发.4)集合中的元素可以是任何事物.2 .描述法(I)定义；一般地，设4表示一个集合，把集合其中所有具有共同特征汽K)的元素K所组成的集合表示为XG川AXK”.这种表示集合的方法称为描述法.有时也用日号或分号代野竖线.(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一股符号及取值(或变化)范围，再画一条收线，在.轻雄后写出这个集合中元素所具彳j的共同特征.图示法,又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.B三U对集合播念的理解】例I（23-24高一上新林,月考）卜列对象中不能构成一个集合的是（）A.某校比较出名的教师B.方程x-2=0的根C.不小于3的自然数D.所有饯角三角形【答案】A【解析】A：比较出名的标准不清,故不能构成集合：B：x-2=0=x=2,方程根确定.可构成集合：C：不小于3的自然数可表示为xeNx23）,可构成集合：D：所彳i琥角三角形内角和确定旦各角范围确定，可构成集合.故选：A【变式1-1（23-24高一上江西景德镇期中下列各组对象能构成集合的是（）A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手B.小于5的正整数C2023年高考数学难题D.所有无理数t答案】ABD【解析】【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.【详解】对于A.参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知,可以构成集合：对于B，小于5正整数明确可知，可以构成集合；对于C2023年高考数学难题模棱两可,给定一个2023年高考数学题不能判阍其是否是雄踞.不能构成集合：对于D,无理数明确可知，可以构成集合.故选：ABD变式1-2（23-24高一上山西临汾阶段练习卜列对象不能现成集令的是）A.不超过20的质数B. n的近似（ftC.方程x=1.的实数根D.函数y=x,xR的最小伤【解即思路】根据集合中元素的性质逐项判断即可.【解答过程】对于A,不超过20的质数是明确可知的，满足确定性,可以如成集合：对于B.n的近似值是不明确的,不满足确定性，不可以现成案合：对于C，方程x=1.的实数料是明确的，满足确定性，可以组成集合：对于D,函数y=x,xeR不存在最小伯，可以殂成空集；故选：B.【变式1-3-24高一上全国,专时练习(多选)下列各组对象能组成集合的是()A.大于6的所有察数B.高中数学的所有难SSC,械3除余2的所有整数D.函数¥=,图象上所有的点X【答案】ACD【解析】选项A、C.D中的元索符合集合中元素的确定性:而选项B中，难SS”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.故选：ACDtf1.3判著是否为同一集合】【例2J(23-24高一上河北石家庄,期中)下列集合中表示同一集合的是()A.Af=(2)hN=(2.3)1B.用=(x,y)x+y=1.,<V=yx+y=1.)C. W=(1.2),V=(i.2)D,=jy>=+3,V-y-73j【答案】D【分析】根据集合的定义,依次分析选项即得.【详解】对于A.两个兔合都为点张.(3.2)与(2.3)是不同点.故“、N为不同集合.故A错误：时于BM是点集.N是数集，故M、N为不同集合，故B错误：时于C,M是数集,N是点集，故M、N为不同集合，故C错误：时于D."=yy=F+3=3K0),/V=(xy=3j=3.+OO),故M、N为同集合，故D正确.故选：D.【变式2-1(23-24高一上江苏常州,阶段测试多选)下列各组中W/表示不同集合的是()A. W=3-1.,P=(J,-1)B. M-(31),P=(1.3)C. M=jy=.r2÷1.,xR,P=z2+I,zRD. M-y-X2-I-VeRj.,=(.y)y-j-I.R【答案】ABD【分析】根据集合相等的概会依次分析各选项即可得答案.【洋解】选项A中,M=3.-1是数条?=(3.-1)是点第二者不是同一集合.故MP:选项B中，RI)与(表示不同的点，枚M，P；选项C中,M卜3'.r2+1.xeRj1.+),P=.t.v=r+1./eR；=1.,÷=e).故M=0：透项D中，M是：次函数y=-1.wR的所有Y组成的集合，而集合是二次由数F=F-1.xWR图象上所有点组成的菜合,故MWR故选：ABD.【变式22(2324高一上河北承德阶段测试)己知集介，”=(1.0),则卜列与.M相等的集合个数为()td(X.y)Iy=,r-1.+1.-.vkX=当1.wn)M-1.vxv2,xeN)A.OB.IC.2D.3【答案】C【分析】解方程祖可化简，由偶次根式布意义可计算,分别研究“为奇数、”为偶数可计算，由N定义可得,依次判断即可求得结果.【详解】对于，G#"；：；=(1.O)=M：对于.=中卜，'二:解得X1.½(x.y)y=rT+r=(1.O)=W：对于，当“为奇数时，x=-1.;当为偶数时，x=0,所以HK=1.；-1.eN=N0wM:时于，-I<a<2.agN)0,1.M.所以与M相等的集合个数有2个.故选：C.【变式训练2-3（23-24高一上,山东威海.期中）卜面关于集合的表示正确的个数是（）2,332:（x,y）x+y=1.=yx+y=1.:卜x>=小>1：+y=y+>=.A.OB.IC.2D.3【答案】C【解析】【详解】.集合中的元索具有无序性，.2,3=3.2,不成立；（x.y）x+y=1是点集,而y+y=i不足点集,不成立:市集合的性质知正确.故选c.【型3集合中元索特性的求忖M】【例3】123-24高一上山东烟台期中）若集合A=1.2”.一“,旦。八，则m的值为（）A.0B.ICO或1D.0或-I【答案】B【解析】【分析】根据集合的元素不曳复可解得?.【详解】因为OG人，所以2,H=O或卅2-J=O,解得阳=0,或切=1.或J=0,当，=0时，2m=n2-m.又集合中不能有相向的元素,所以，“=1.故选：B（变式训练3-1）<23-24高一上,河北石家庄期中）已知集合A=12,+4«,"-2.且-3wA.则。=（A.-IB.-3或-1C.3D.-3【答案】D【分析】利用元素与集合的关系建立方程，求解并验证即得.【详解】Ui4=12,a,+4a,a-2）.得“'+4w-2,解得“工-2且“工-1,显然0-2w-3,由-3wA得<J+4<1.-3,而“-1.解如a=-3当"=一3时，4=（12.-3.-51,符合典章，所以“-3.故选：D【变式训练32（2324高一上陕西西安阶段测试）已知集合A=j.v.j-.=x2.v+y.）若A=8.则产3+严3=.【答案】-1【解析】【分析】先通过集合相等以及集合中元求互异性求出M）'，然后计整即可.【详解】,A=B.,.06.v,I,.>=0,:.A=x,.1.,8=2,x,;二2=I且XI,得=-1=（T）E+0的=T.故答案为：-1.【变式训练3-3（23-24高一上四川成都,期中）集合（为MY中实数。的取值范围足（）A.m=0,或“=2B.“|。=0,且"=2C.4H<或ow2D.a.且“w2【答案】D【分析】根据集合元素的互舁性即可求解.【详解】由集合元素的互异性可知，2owa,解得GHO且“工2,所以实数“的取值范围为“卜*0,且。*2.故选：D.4夫斯元索与集合的关系】【例4】（23-24高一上山东泰安阶段测试（多选下列四个命题；其中不正确的命烟为（）A.0是空集B.若“wN,则tt£N：C.集合川昨；-2万+10卜利只有一个元素口.集合!.reQ-N是有限集.【答案】ABD【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断.【详解】时于A,0含有个元素O,所以0不是空柒，故A错误：对于B：当”0时，N.K-<6N.故B错i51.：时于CeR.d-2x+1.=xfN（X-Iy=O=1.只仃个元素，故C正确：对于D：Q表示有理数,包括整数和分数.比如X为正整数的倒数时.每行，eN.所以集合卜WQKen是无限集，故D错误.故选：ABD.【变式4T*23-24高一上山东清泽阶段测试）（多选）设集合A=U24,集合S=xx=o+A0eAt4>sA,则下列是集合8中元索的是（）A.4B.5C.6D.7【答案】ABCt分析】写出集合8中的所有元素，阳对照选项逐一判断即可.【详解】解；因为集合A=1.24,集合B=x="+匕."eAbsA）,所以8=2,&45,6.8.故选：ABC.【变式训练*2（23-24将一上.上海浦东期中）已知集合八=何*=3«-142.则集合人中的元素（）A.除以3余数为T：B.除以3余数为I：C.除以3余数为2：D.能被3整除.【答案】C【分析】根据集合的定义与熔除的慨念判断.【详解】=3A-1=3<A-1）+2,因此集合A中的元素除以3余数为2.故选：C.【变式训练*3(23-24高一上江西吉安,期中多选)已知集合八=巾=3A-I.AwZ.8=x|x=#+1./eZ,C=xx=弘,KeZ,且eA,beH.ceC,K1I<>A.2a三BB.2Z>eC.b+ceAD.a+beC【答案】ABD【分析】市描述法得各集合中元素的共同特征，1.“w.be1.1.c三C,分别设出“b.c的特征农达武,通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可.【详解】因为“eAhw及rwC,可设“=3£-1.£wZ.b=3,+1,A1Z.c=3k,.keZ,选项A.2a=2(3k-)=6k-2=f>k-3+=3(2k-)+i.2Jc-1.eZ.则2“8,故A正确；所以2fr2(地+1)6A1.26Jt,+3-1.-3(2+1.)1.21.+1.eZ.则2sA,故B正确；所以&+c=38+1+3玲=3(A1.+,)+1.,其中A1+A1Z.则+ce8,故C错误；所以“+b=3GT+3K+1=3(+K),其中4+勺Z.则。+wC,故D正确.故选：ABD.teas根落元素与集合的关系求数】【例5】(23-24高一上河得郑州校级期中设集合4=x4x-2v,",若2W八旦3隹八，则实数"，的取值范围是()A.6<m<IOB.6m<10C.6w10D.6<m10【答案】D【分析】根据兀案与集合的关系列不等式组求参数范围.4×2-2<m【详解】由遨意3°,、=>6<wIO.43-2,”故选：D【变式5-1(24-25高一上福建三明阶段测试若集合A=x2nu-3>ameR,其中2wA且IwA,则实数，”的取值范围是()A.<mB.Jm<C.；<m<D.m【答案】A（分析】借助元能与集合的关系计算即可得.2zr×2-3>033【详裤】由题意可得,1解窗<"Y彳.（2yr×i-3O42故选：A.【变式52】2324高一上山东临沂百甯期中）已知集合P有三个元素-1.,2+1,M-1若owp.则实数。的值为（）A.B.1C.W或ID.0或1【解时思路】根据0P,分类讨论结合元素的互异性求解即可.【解答过程】因为0P，所以2+1=0或。2-1=0.当2+1=0即=V时，P=-1,0,-;）.满足施意：当a?1=0即=±1.时，若=1.,则P=-1,3,0,满足SS意：若=-1.,则P=-1,0,不满足应意：淙上，实数的值为一:或I.故选：C.【变式5-3（23-24高一上湖北鄂北六校期中己知集合，W=o+2,+2,若IG",则实数”的值为【答案】【分析】根据兀泰与集合的关系进行求解即可.【详解】因为M”。+2.。+2/|,MM.所以"+2=1或“+却=1，解得=T或。=：.当。=_|时,M=1.1.,不符合元素的互异性，舍：当"g时，M=g.1.,符合题意.综上，“=：.故答案为：jsf1.6集合中的元素个数向an【例6】-25高一上祝建三明阶段测试乂多选）集合4=kW-+=只有一个元素，则实数"的取值可以是（）A0B-4c,D-I【答案】ABD【分析】分类讨论：«=0.«*0.然后求解出。的取侑即可.【详解】当W=O时，A=*=O=O,满足条件；当aHO时,若A中仅有一个元素，则A=1-4/=0.此时=±g,若=g,则A=g-x+g=1.,满足，若"=-J,则A=x-；XJ-X-!=-1.满足.故选：ABD.【变式训练61（23-24岛一上浙江温州期中）（多选）已知集合八=卜IG+2J1.+-1.=）为地元素集，则“的可能取伯为（）A.0B.2C.-1.D.4【答案】ABC【变式训练62】（2324高三上.山东泰安期中已知集合A=1,2,3,B=3,5,则C=xx=2a+b,aWA,beB中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.6【解题思路】利用集合中元素的互异性,对小小的取伯进行分类讨论即可.【解答过程】由遨意,x=2a+b.当Q=1.,b=5=X=7,当Q=1,8=3=X=5.当=2rb=5X=9.当Q=2,b=3=X=7,当a=3,6=5=x=11,当=3,8=3nX=9.由集合中元素满足互异性,所以C=5,7.9,11).故选：B.(变式训练6-3(23-24高一上河北石家庄期中己知集合A=(x-3,v+2=().teR.aeR.(1)若A是空集，求”的取值范附;(2)若A中只有一个元素，求“的值，并求集合A:(3)若A中至多有一个元素，求的取向范用9【答案】X(2)”的假为O或,，当“=0时A8(3W=O或a；O【分析】(IA是空嬖，则方程为二次方程，且方程无实根;(2) A中只有个元索,则方程为一次方个,或方程为二次方程且方程有两个相同的根:(3) A中至多有一个元素,则方程为一次方程,或方程为二次方程且至第一个实根.【详解】(I)A是空集，.“0H.A<0.解得O的取值范围为：O<2)当=0时，集合A=x-3x+2=0=,i当。4时,集合A=Eb当WO时，A=O,二9-&,=0,解解a=W，此时集合AO煤上所求，”的假为0或！，当“=0时,集合AO<3)由，(2)可知，当A中至多有一个元素时，"w或“=0.O二"的取值范困为：-jR=0O«97集合的表示方法】【例7】324哈上浙江宁波期中用列举法表示集合(=rN爪N)的结果为【答案】123,6【分析】根据即意可9-x知为6的的数.求得X的取值,用列举法表示集合司可.【详解】由SeN可知9-x为6的为数.所以9-x=1.236.9-.t因为XfN,所以x=8.7.6.3,此时，-=6.3.2.19-x集合为123.6.故答案为：1236.【变式训练7/】(23-24高一上全田专遨练习已知集合八=卜|1<854占?,用列举法表示人为.【答案】24【解析】A=1.<x54,xeN=2,3,4.【变式训练7-2(23-24高一上北京西城期中集合xwZ(3r-1.)(x+3)=O河化的为(>aj-3b-13C.-3D.3【答案】C【解析】由(3x-1.)(+3)=O,解得Xn:或x=-3,又因为xeZ,所以x=-3,所以集合kwZ(3x-1.)(x+3)=0可化筒为-3.故选：C【变式调练7-3(23-24高一上福建泉州.期中)多选给出下列说法,其中不正确的是<>A.集合X£NI./="用列举法表示为0.1B.实数集可以表示为.'k为所有实数或RC.方程如；二：=:的解组成的集合为=-y,y=j-D.集合)y=x')与(4.V)IF=X)是同一个集合【答案】BCD【分析】根据佻合的女示法可以依次判断.【详解】对于A,集合“£Nf=R中只含有两个元素0和I,所以用列举法表示为01.,故A正确：对于B,R就友示实效表,实数集用R为错误表示,另外花括号具行所行的意义,描述内容中不能再出现所有字眼，故B字眼:对于C解集应为原表示错误,故C错误:对于D,集合3y=W为）,的取为集合，集合"M1.尸人表示尸4上点的集部所以两个集合不是同一个集合,故D错误：故选；BCD.