专题05 一元二次方程（讲义）（解析版）.docx

专题05一元二次方程核心知识点精讲1 .理解一元二次方程的概念.2 .掌握一元二次方程的解法，包括直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等.3 .理解根的判别式的定义.4 .掌押一元二次方程的根与系数关系.5 .掌握一元二次方程的应用方法.考点1一元二次方程的假念1 .一元二次方程定义；含有个未知数，并且未知数的以高次数是2的整式方程叫做元：次方程，2 .一元二次方程的一jR形式Iat2+v+c=0(，*0),它的特征是：等式左边十一个关于未知数X的二次多项式,等式右边是零,其中如2叫做二次项.a叫做二次项系数：bx叫做一次项,b叫做一次项系数：C叫做常数项.考点2一元二次方程的解法I.直按开平方法利用平方跟的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.宜接开平方法适用于解形如(X+a)-=b的一元二次方程,根据平方根的定义可知.X+a是b的平方极，当力0时，X+。=土而，x=-a±>!b.当b«)时.方程没有实数根.2JE方法配方法是一种Hi要的数学方法，它不仅在解，元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公大/±2皿+/=(+方*把公式中的a石做未知数N，并用X代济WHf.V2±+,2=(x±>)2.3 .公式法公式法是用求根公式斛一元二次方程的解的方法,它是斛一元二次方程的一般方法。一元二次方程a/+桁+c=(XaW0)的求根公式：.心歧三行一4.c0)2(j4 .因式分解法因武分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法.这种方法简单易行，足解元二次方程最常用的方法“1.<X-1.X.r-X,）=0.则X=X1.或T=X2,考点3根的判别式I.根的判别式一元二次方程ax2+Z>A+c=（Xf1.0）J.Ir-4c叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（aQ）的根的判别式，通常用“A”来衣示，即A=-4J（1）当A=-4Cx）O方程有2个不等的实数根；（2）当小=从-4w=°u>方程有2个相等的实数根；（3）当A=-4d0o方程无实数根：考点4一元二次方程的根与系敷关系1 .一元二次方程根与系数的关系，如果方程”/+6+c=（XO）的两个实数根是小三，那么,+x,.v1,=,也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程两根之和等于方程的一次aa项系数除以：次JS系数所得的商的相反数；两根之枳等于常数项除以：次项系数所得的商.2 .一元二次方程根与鬣数的关覆的运用，<1）知道一元二次方程的一极，求另一根：（2）不燃方程.求关于一元二次方程，七的代数式的值，: +七？=（X1.+x2）2-2.v1.r,I J"+1.1.;X1X2X1X2XI-XJ=（x1.+x,）2-4X1X2考点5一元二次方程的应用1 .列一元二次方程解应用J1的步h（1）审甥；（2）设未知数：<3>列方程：（4）髀方程：（5检验：（6）作答.2 .常见的J虱<1）增长率时时：设a为胤来的m,X为平均增氏率.n为增长次数，b为增长后的量，则a（1.+x）n=b；当X为下降率时，则有a（1.-）n=b：（2）面积何即常见图形：（3）利润问题：<4）提手问题.k%曲例引领Cf1.Sh一元二次方程的霰念】（典例I（2023秋宝安区校级）下列是一元二次方程的是（）A./-X=IB.2x-1=3C.2-+1=0D.=5【答案】C【分析】只含有个未知数<-7C>,并R未知数的最高次数是2（:次）的格式方程,叫做一元二次方ft.根据一元二次方程的定义分析弁断即可.【解存】解；.-=I,未知数的最高次数足3.不足一元二次方程，故不符合题点：H.2x-1=3,未知数的最高次数是I.不足一元二次方程,故不符合题急：C. ?-.r+）=0.是一元二次方程.符合遨意：D. X-1=5,不是整式方程.故不是一元二次方程，不符合超超.故选：C.*E即时检测1 .（2022秋增城区校组期末）卜列方程中，属于一元二次方程的是>A,-y=1.B.x=3C.t2-I=OD.xy-I=O【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义（只含有个未知数.并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元.次方程逐项判断即可得.【解答】解：.x-y=1.是二元一次方程,此项不符合题息；8、x=3是一元一次方程,此项不符合题遇：<?.-1=0是一元二次方程.此项符合题意：。'冷一I=O含有两个未知数，不是元：次方程，则此项不符介即意.故选：C.2.（2022秋新会区校级期中）下列方程中是元二次方程的是（2(.x+1.)2=0；x+2y=6:/-4.r-5=0；Ir2=S.A.(JXgXS)B.®C.D.®【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可.【解答】解：2<+I>2=0是一元：次方程：x+2y=6.含有两个未知数,未知数的最高次不足2.不足一元二次方程：-4x-5=0是一元二次方程：3?=5是一元二次方程：二是一元二次方程，故选：A.3. 2023伙南海区期中)一元二次方程4+1.=6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A.4.1.6B,4.6.1C.4.-6.ID.4.-6.-1【答案】C【分析】先化成元：次方程的-,段形式，再找出，元.次方程的：次项系效、诙项系数、常数顶即可.【解答】解：4+1.=6t.移项，f1.)4x2-6,r+i=0.所以一元二次方程4/+1=8的二次项系数,一次项系数、常数项分别是4,-6.1.故选：C.匚典例引领2>一元二次方程的解法】(此例2(2023南海区模拟)已知a是方程r-2x-2023=0的根，则代数式2c-4«-2的值为()A.4(M4B.-4(M4C.2024D.-2024【答案】A【分析】先根据一元二次方程解的定义得到/-2=2O23,再把2-M-2变形为2-2CO-2.然后利用整体代入的方法计算.【解答】解：入是方程f-2r-2023=0的根，；.?-Ia-2023=0.即J-24=2023,/.2«-4«-2=2(a-2a)-2=2*2023-2=4046-2-4(M4.故选：A.【典例3】(2023秋白云区期中)用配方法解-元二次方程F4x-6=0时，盘方后的方程是(A.(x+2)2=2B.(-2>2=2C(X+2)2=10D.(-2)2=IO【答案】D【分析】利用解元：次方程-配方法,迸行计算即可解答.【解答】解：r-4a-6=0.x2-4x=6.X2-4,r+4=6+4.<-2)2=10,故选：D.I弛例4(2023秋东莞市校级期中)请用两种方法解方程：X2-6r+5=0【答案】X1.=I，2=S.(分析利用因式分解法和配方法分别解方程即可.【解答】解:因式分解法:X2-6r+5=0.(x-i)(-5)=0.：.x-1=0.X-5=0.x=i.t2=5.足方法：X2-6r+5=0.X2-6=-5X2-6+9=-5+9,<x-3)2=4,-3=±2.,.i=,.«=5.年即时检测1 .(2023秋廉江市)苫X=I是方程r-ZtM=O的根，则“的值为<>A.IB.-IC.0D.-2【答案】A【分析】直接将K=I代入方程，BP可得出答案.【解答】解：.X=I是方程f-2x+a=0的松，*-12+rr=0故答案为:.2.（2023秋龙华区校级）把方程.1-6x+1.=0转化成（x+m）?="的形式，则八的值是（>A.3.8B.3.10C.-3.10D.-3.8【答案】D【分析】根据解一元二次方程配方法进行计算,即UJ解答.【解答】解：7-3+1=0,移项得：X2-6t=-I.配方汨：/-6v+9=-1+9.即<x-3）2=8,V方程?-6v+1.=0转化成（x+,n>2=n的形式.w三3/t=8故选：D.3.（2023秋宝安区期中）用配方法解方程x2-4x-3=0,W1.也方正确的是（>A.（-2）2=B.（,r+2）2=1.C.<-2）2=7D.（.r+2）2=7【答窠】C【分析】先把-3格训方程的右边.然后方程两边都加4.M把左边根据完全平方公式与成完全平方的形式即可.【解答】裤，.F-4k-3=O.,.x2-4x=3.x2-4r+4=3+4.<-2）2=1.故选：C.4. （2023秋中山市期中）用配方法解一元二次方程-6什4=0,配方后得到的方程是（）A.（x+6）2=5B.（-6）2=5C.（x+3）2=5D.（-3>2=5【答案】D【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计究即可解答.【解答】解：?-hv+4=0.X2-ft=-4.X2-6+9=-4+9.<-3）2=5,故选：D.5. <2023秋珠海校级）用公式法解一个一元二次方程的根为X=匚¥亘,则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（A.6,5.1B.3,5,-IC.3.5,ID.3.-5.1【答案】C【分析】先写出一元二次方程or2+阮+c=0(HO)的求根公式,然后根据公式.结合已知方程的根.列出关于,>,c的方程，解方程即可.【解答】解：一元二次方程OA/>+c=0(加0)解的求根公式为：x=Ta°,元二次方程.211=6.-6=-5.Z>2-4c=13,：.a=3,b=5.5'-4×3c=1.3.c=1.工此方程的：顶式系数，一次项系数，常数项分别为：3.5.I.故选：C.6. (2023秋深圳)用适当的方法解卜列方程：2x(.v+3)=(x+3)2.【答案】Xi=-3.-2=3.【分析】先把等号右边的部分移到左边，然Vi提取公囚式+3,进行因式分解.从而把元二次方程转化成两个一元一次方程.进行解答即可.【解答】解：Zv<x+3>=(x+3)2.ZrCr+3)-(x+3)2=0.<+3><2r-3>=0.<x+3>(x-3)=0.x+3=0.X-3=0.Xi=-3,X2=3.7.(2023秋顺浦区校级月考用因式分解法解方程9=(X-22时，因式分解结果正确的是<).4(2-1)(X-I)=0B.4(2v+1.>(-|>=0C.4(2v-1><x+1.)=0D.4(1.r+1.)(x+1.)=0【答案】C【分析】移项，然后利用平方差公式分解因式解即可.【解答】解，9=<-2)2,9.r-(x-2>2=0.<3x+x-2)(3x-x+2)=0,<4x-2)(2x+2)=0.4(Zr-I)(+1.)=0,故选：C.,典例引领KB93t根的判别式】【典例5】（2023秋两山区>若关于X的方程（w-1.>+4x+1.=0有实数M则，”的取值范围是（）A.w5U,nB.m>5C.n<5D.m<5【答案】C【分析】根据一元二次方程有实数根,分两种情况讨论：此方程为一元一次方程.求出，”的值：此方程为一元二次方程，根据判别式大于等于0,二次项系数不为0,列出不等式组，斛不等式加，求出”，的取值范困即”J.【解答】解：Y关于N的方程（m-）x244+=0有实数根，二分两种情况讨论：此方程是一元一次方程时，/»-1=0.m=1.时.方程为4+1.=0,x=-.此时方程育个实数极：若此方程是元：次方程时，则b2-4<c>0,m-1.0.f42-4（m-1.）>0Rm-10'由得：16-4m+4>0,-4m>-20,nr5.由得：mi1.二川的求伯葩为：mi5Hwti.嫁上可知：w<5故选：C.典例6（2023秋广州校级>若关于X的一元二次方程F-4x+m=0有两个相等的实效根，则实数m的值为）A.4B.-4C.±4D.2【答案】4【分析】A一元：次方程彳i两个相等的实数根，则根的判别式=）-&,C=0,建立关于M的方程，即可求解.【解答】解：.关于N的一元二次方程.J-4r+,n=0有两个相等的实数根.,.=b2-4c=（-4）'-4m=0.解得，“=4.故选：八.1.即时检测I.（2023帏城县二校）若关于X的方程fcT44-2=0有两个不相等的实数根，W1.k的取值范第是（）A.k>-2B.Q-2且J0C.k<2D,<2J1.J0【答案】B【分析】根战一元二次方程的定义和判别式，得出国Qi1.A=4.800,即可得到北的取伯莅围.【解答】解：；关于X的方程2+4-2=Q有两个不相等的实数极，JW0J1=42+8*>O,解得：k>-2且J0.的取值范用是-2且M）.故选：B.2.（2022秋越秀区）不解方程,判断方程Ir2-6=7的根的情况玷（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】B（分析利用根的判别式A=b2-4ac进行求解并判断即可.【解答】解：.2x2-6x=7.'2x2-6x-7=0.原方程中,u=2.b=-6,C=-7.,.=b2-4ac=<-6）2-4×2×<-7>=36+56=92>0.二原方程有两个不相等的实数械，故选：B.3（2O23广东模拟）关于一元二次方程F+2+1=0根的情况，下列说法中正确的是（A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实效极C,没有实数根D,无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.【解答】解：由SS意得，=22-4×x1.=0,方科有两个相等的实数根.故选：B.4. （2023白云区二模）若关于X的一元二次方程F2v+*=0有两个相等的实数根，则人的值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】根据一元二次方程C-2x+k=0有两个相等的实数根可知=0,故可得出关于k的方程，求出k的值即可.【解答】蟀：；一元二次方程x2-2x*k=0育两个相等的实数根，=0.即A=（-2>2-4k=0.解得k=1.故选：B.5. （2023秋顺德区）若关于X的一元二次方程2+2+w=0有实数根,则,”的值可以足（A.0B.2C.4D.6【答案】A【分析】根据一元二次方程x2+2x+m=（）有实数根得出A=22-41.m0,再求出mW1.,再找出选项即可.【解答】解：；关于X的一元:次方程x2+2x+m=O有实数限，=22-4×1.×m0.*.m1.只有。符合即意，2、4.6整不符合.放选：A.（典例引领IKS4,一元二次方程的根与系数关系】【典例7（2023东莞市校级模拟）关于X的一元二次方程/+r-6=0的解为w=2,m=b,则代数式（+）23的值为（>A.IB.0C.-ID.5202j【答案】C【分析】根据根与系数的关系得到解得；:I3'代入代数式即可求褥结果.【解答】解：Y关于*的元二次方程2+"x-6=0的解为w=2.x2=b2÷b=-三zi3,：.（2a+b）202y=（2-312023=-1.故选：C.，即时检测I.(2023秋东莞市期中)已知关于X的方程r-2+1.)a2-3=O有两个不相等的实数根XJ和a<1.>求人的取值范困：2用含*的代数式后.接写出11+x2=U±2-,RF=产-3:< 3>若蜡+舄=q+6,求实数A的旗.【答案】i>-2：< 2>2+2.Jt2-3：< 3>A=-1.【分析】(1一元二次方程ax2+E，=()<0>有两个不相等的实数根，则=2-4w>0:有两个相等的实数根，则A=fr2-4"c=0:没有实数极，则A=y-4mY0刖此即可求解：< 2)若一元二次方程J+ftr+<=O<0)的两个根为xe，期+小=一，x1.-x2=(3)利用(2中所得结论即可求解.【解答】解：3由题点得；=>2-4<«=4<*÷1.>2-4<A2-3)=8-16,8jt+I6>解得：*>-2,<2)由根。系数的关系可用；xi÷X2=2A÷2.x1.X2=k2-3.故答案为：2K2炉-3:< 3)Vx÷11=2÷2,Xx+姆=*1M+6,(x1+X2)2-2xx2=x×2+6.BP：(x1.÷x2)2=3xxx2+6,I1.1.<2>可得，(2*+2)2=3<*2-3)+6.脏理褥,3.弘.7=0,Jh=1.2=-7.2,*=-1.2.2023秋罗湖区)已知关于X的一元二次方程J(k+2)x+2k=0.< 1>试证明：对于任意的实数Jt，=2是这个方程的一个根：< 2>若方程两根的平方和等于2*+7,求*的伯.【答案】(1)答案见解答过程,< 2)k=-I11R*=3.【分析】(1)将x=2代入一元二次方辟F-("2)x+2=0之中，即可得出结论：<2>由(I)可知该方程的根为.r=2利用根与系数的关系UJ求出另一根为x=3然后根据方程两根的平方和等于2+7,得必+22=2A+7再解这个方程即可求出A的值.【解答】(1)证明：当x=2时.?-(fc+2>.v+2=22-(A+2)×2+2J1.=O,，对于任意的实数1.x=2是这个方程的一个根：<2)i1.1.(1)可知：X2-(Jt+2)+2A=0的一个根为：x=2.设该方程的另一个极为用.根楙根与系数的关系得：2x=2k.解褥：x=A.；该方程两极的平方和等于2A+7.A-+22=2+7.整理得:kt-2k-3=0,解得：k=7或K=3.3.(2023秋南海区月考)己知关于K的一元二次方程(2t+2)÷4K=0.1求证：不论Jt取何(ft.方程总有实数根：<2>已知方程的两根为XU2,且满足三+3-2=0.求(i+-2i-),空的伯：Xi×2fc-4K< 3)已知方程的两根为用，x2(x1>x2fc<).设y=xR3+1.,求.y的最小也【存案】(I)答案见解答过程；< 2)-I；< 3)4【分析】(1)根据判别式得A=4(*->2>0,.枇此可得H1.结论：(2)首先由恐+3-2=0可得出x=n,据此得黄于X的一元欹方程(2M2)+4*=0有两个与Xz相等的实数板,进而得判别式4-I)2=0,由此解解=,然后将。+亡).牛化简得含，M后相Jt=I代入进行计算即可得出答案：<3>苜先解一元方程X2-SM2>M4K=Q的两根为X="或x=2,I1.J根据>X!1.1.*q判定x=2,X2=2k,然后将其代入y=底一”与+1之中得到y关于A的：次函数，股后再求出最小值即可.【解答】(1)证明；Y判别式A=I-(2*+2>j2-4x1.×4A=44-8A+4=4(-)2>0,.不论人收何值,方程总有实数根.解：V+-2=0.×1×2.*1.2+*22.=z,×1×2即：x+m2=2"X2<x-.V2)2=0XJX2；关于X的一元二次方程/-(U+2)+U=()的两个根为用.X2.关干X的一元二次方程F-(22)x+S=O的两个极相等，二判别式4<-I)2=0.=I,.(4.4八k+2。+门丁kz-4+4k+2=T-rk2k+2(fc+2)(*-2)1Tk=k三21=T2=-I.<3)将一元方程F-<2t+2>x+4*=0转化为(-2k)Ct-2)=0.二一元方程F-(2A+2)'+4«=。的两根为=2或x=2,>x2j1.=2,.n=2Jty=-fcx1+1=<2A)2-2÷1.=4炉-2*+1»的收小值为"4IBfiSt一元二次方程的应用】【典例8】（2023枚罗定市）化橘”是种名贵中药材.具有散寒燥湿.利气消疾,止明健脾消食等功效,有“南方人参”之称.在地理标志保护和运用工作加持下，化橘红开始走上品牌化发展之路.已知化州市2020年化橘红的种植面积是1()万亩,到2022年种植面积达到11.62万亩.若设这两年化橘红的种植面积的年平均增长率为M则可列方程为(>A.IO(1.+x)=)1.62B.IO(H?)=11.62C.IO(1->=11.62D.IO<1.+x)2=11.62【答案】D【分析】设这两年“化橘红.”种植面积的平均增长率为X.根据2020年及2022年“化橘纤.,的种植面积即可褥出关于X的一元二二次方程，【解答】解：说这两年“化橘红”种值面积的平均增长率为根据SS总得，IO<1.+x>2=1.1.62.故%D.【典例9b2023秋惠阳区校级月考)某商场精管一批儿童.玩具,平均每天能件出20件,每件盈利40元.经调查发现：这种玩具的售价每降低I元，平均每天能多售出2件,设每件玩具降价X元.<1)降价后，商场日销作埴增加2t件,每件盈利(4Or)元:(用含X的式子表示)<2)为了扩大销售,尽快少库存商场决定采取降价措施.但需要每天能利12(X)元，僚么每件玩具应降价多少元？【答案】(1)2»：(4O-)s<2)20元.【分析】(1)根擀“这种玩具的怖价都降低1元时,平均秘天能多售出2件“结合每件玩具的利涧及降价X元，即可得出结果：<2)根据总利润=用件利涧X销件数V,即可得出关于X的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论.【解答】解：(1>；许件玩具降价X元，二商场日销值*增加2x件,招件盈利(40-x>元，故答案为：2x(40-x).<2)依同意，得：(4O-x)(2(HZr)=I2(X>.整理,得：F-30x+2()O=0,解得：Xi=10.X2=2O.；为了扩大销暂，增加盈利，尽快减少解存，."=20.答：每件玩具应降价20元.A即时格冽1.（2022秋越秀区校级期末）为控制物价上液，有关部门进行多项举措，某种药品经过两次降价，每盒由原来的28.8元降至20元.求平均每次的降价率是多少？设平均每次的降价率为认可列方程为28.8<1-X）=20.【答案】见试SS解答内容【分析】设平均每次的降价率为X，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于X的一元二次方程此题得解.【解咨】解：依遨就咕28.8（1.-x）2=20.故答案为：28.8（1.-x）2=20.2. （2023秋郸城县月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8.如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855.求这个两位数.【答案】见试题解答内容t分析】设个位为X,一十位上的数字为8-X,根狒如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所，两位数乘以原来的两位数就得1855.求解即可.【解答】解：设原来个位为X,则I位上的数字为8-X,由题意得.IO×（8-x）+H1.ftt+8-）=1855解得：x=3.0=5.原来H史上的数字为5或3,答：晚来这个两位数53或35.3. （2022秋越秀区期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收的，母户居民用水价推月不超过吨时,每吨按0.3元缴纳水费：每月超过。蛇时.超过部分每吨按0.4a元搬纳水费.<1>«=12,某户居民3月份用水Jft为22吨，则该用户应缴纳水快多少元？<2）若下表是某户居民4月份和5月份的用水址和激世情况：月份用水录（吨）交水费总金额（元）4 18625 2486根据上表数据，求“的伯【答案】91.2：< 2>10.【分析】（1）根总分段计费直接求出水费即可：< 2）根据题感俏定。的取侦范困，然后列方程求解即可.【湃答】解：（1当=1.2时,户居民用水量每月不超过12吨时,祗吨按0.3x12=3.6元缴纳水费：每月超过12"电时,超过部分秘吨按0.4x12=4.8元缴纳水费.,某户居民3月份用水量为22吨，嘱该用户应缴纳水费为12×3.6+（22-12）×4.8=91.2（元）：< 2）V18×0,3×18=97.2>62.：.a<18.根楙跑意得（）30+（18-4）x（）.4=62.貉理-2M2O=O解得。=IO或“=62（舍去），当=IO时,03×IO×I1.H-（24-10>×0.4×10=86.的值为10.4.（2022秋荔湾区）受各方面因素的影响，城近两年来某市平均房价由4（XXX）元/平方米，下降到32400元/平方米.< 1>求房价年平均下降率：< 2>按照这个年平均下降率,预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？【答案】0%：< 2>2916011.【分析】（I）设烤价年平均下降率为X,利用经过两年降价后的房价=原房价X（I-年平均下降率）2,即可得出关于X的元二次方程,解之取其符合题强的假即可得出结论：<2>利用下一年该市的平均房价=3240OX（I-年平均下降率），即可预计出下一年该市的平均房价.【解答】解：（1设房价年平均下降率为X,依即意得:4（XXX）（I-X）2=32400,解得：Ar=0=10%,.C=1.9（不合咫意,舍去.咨：房价年平均卜降率为10%.<2）324×<1-10%）=32400x90%=2916（）（元）.答：下一年该市的平均房价约为斑平方米29160元.5.（2023秋天河区校级月考）有一根20,”长的绳.怎样用它围成一个面积为24，/的矩形？.【答案】见试意解答内容【分析】设矩形的长为Mn则宽为<10-x）/n.根楙矩形的面枳列出方程即可解决问麴：【解答】解：设矩形的氏为X，"，则变为（IQ-X）m由题意：X<i-.r）=24,解得x=6或4（含弃），!0-6=4.答：矩形的长为6，”.则宽为4，”.戛础过关一.选IM(共7小)1 .某种商品原来每件售价为12()元,经过连续两次降价后,该种商品每件件价为85元,设平均每次降价的百分率为X,根据题遨，所列方程正确的是()A.120(1.-x>2=85B.120(I-X)=85C.120(1-X2)=85D.120(I-Zv)=85【答案】A【分析】根据某种商品原来每件售价为120元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为85元,列一元二次方程即可.【解答】解：根M即/，«#120(I-X)2=85.故选：A.2 .若nt.M是一元二次方程.t-9=0的两个根，则+5,n+11的他是()A.4B.5C.6D.12【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义,可徨，”+”=-4,d+4m=9,再代入，即可求解.【解答】解：Y，小”是一元二次方程/+4x-9=0的两个极，wr÷4w-9=0,树+=-4*nC+4三9.÷5h=rtr÷4mw÷11=9-4=5.故选：B.3 .下列方程中,是一元二次方程的是()A.4,r+2=25-SxB.+2x-1=0yXC.X÷=0D.=42X+2【答案】B【分析】根据元二次方程的定义，£1接判断即可.【解答】解：A,该方程是一元一次方程,故此选项不符合题息；B、该方程为一元二次方程.故此选项不符合起意：C、该方程是二元一次方程，故此选J不符合超意：D,分母中含有字母，为分式方程,故此透顶不符合速尬.故选：B.4. 一元二次方程2-3x=1.,用求根公式*=W土嵋T"求解时,“儿c的值是()A.2.-3.1B.2.3.-IC.2.-3.-ID.2.3.I【答案】C【分析】先化成一元二次方程的般形式,即可解答.【解答】解：2x2-3X=1.整理褥：2x2-3x-I=0.用求根公式X=S喈三求解时，a=2,b=-3,c=-I.故选:C.5 .用配方法解方程-4-1.=0Hh配方后正确的是()A.(r+2)2=3B.(.r+2)2=17C.(x-2)2=5D.(x-2)2=I7【答案】C【分析】先把7格到方程的右边,然后方程两边都加4,再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可.(WS1.ft?:.2-4x-1=0,x2-4x=1.x24x÷4=1.+4<x-2)2=5.故选：C.6 .若关于X的一元二次方程?-X-/M=O的一个根是x=3,则/»的值是()A.6B.-3C.3D.6【答案】D【分析】根据疆意可得:把x=3代入方程x2-x-m=0中得：32-3-m=O,然后进行计算即可解答.【解答】解：由SS点得：把x=3代入方程x2x-m=。中得:32-3-m=0.解得：m=6.故选：D.7 .时于实数“，b,定义运算“”：若。h="(O,例如：2X3=2(23)=-2.已知关于X的一元二次方程手(2-n1.)=7"1.%r2有实数根,则，”的取值范围为(>A.m一；B.njC.n-gD.m一去【答案】。【分析】利用已妞的新定义化简.整理后科到的一元二次方程有实数根可知A20,即可求出，”的范用.【解答】解：(2-nt)11.=a鼻C2+m)1).1=4""4'+Nrw'.J5K(2-/n)-Tm-242-x+jwir=Im-m2.fiI,1.,.得+(2m4).+m2-28n=O;；方程有实数根.A=<2m-4>2-4(m2-2fow)-Am2-16m+16-4+112oj=÷1<0.解得，心一会故选：D.二.填空JB(共5小Ji)8 .若一元二次方程f-2+A7=O有两个相等的实数N3贝必=2.【答窠】2,【分析】利用根的判别式的蠢义得到A=(-2)2-4<A-1)=0,然后解关于J1.的方程即可.【解答】解：根据璃意得A=<-2)2-4(*-I)=0,解得Jt=2故答案为：2.9 .已知一元二次方程)-Zv-1=0转化成(x+m)2=”形式，则原方程可转化为a-)？=2.【答案】见试SS解答内容【分析】先移项,再配方.即可得出答案.【解答】解：?-Zi-1=0.X2-2.r=1.X2-Zr+!=1+1.<-I)F.故谷案为：(.1)2=2.10 .Xi,m是方程2-7x+4=0的两极.则xi+M=_g_,xX2=2.【答案】见试四解答内容【分析】直接根据一元二次方程m2+r+r=0(的笫)的根与票数的关系求解.【解答】解：根据题意/M+g=-?=MXm=g=2.故答案为”.11 .若关于的一元二次方程<-5)-2r+1.=0有实数根.则k的取值范用为6"5.【答案】*56且炸5【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以汨到关r«的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0.【解答】解：；关于X的一元:次方程（4-5-31=0有实效根,=r-4ae>0.即：4-4(-5)>0.解得：A<6.：关于X的一无二次方程(Jt-5)-2r+)=0Jt-50.故答案为：k<6HA5.12.我国古代教学著作增删算法统宗记/“B0中方形”问题：“今有IH田一段，中同有个方池.丈量田地待耕犁,恰好三分在记.池面至周有数,每边三步无fef内方掰径若能知堪作算中第一.”其大意为:有块圆形的田,中间有一块正方形水池，测累出除水池外圆内可侪地的面积恰好36平方步，从水池边到圆周，绿边相距3步远.如果你能求透正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第了.如图,设正方形的边长是X步,则列出的方程是11（）2-x2=.【分析】I1.1.正方形的边长,可得出同的半径为一加,利用除水池外脚内可怖地的向枳=网的面积-正方形水池的面积.即可列出关于X的一元二次方程,此题得解.【解答】解：若正方形的边氏是X步，则典的芈径为哼2步,x+3x2根据册意得：11（-）2-x2=36.故答案为：X（三詈>2-x2=%.三.解答JK（共3小题）13.解方程：f-7-1=0.答案】见试虺解答内容【分析】先求出户4的他,再代入公式求出即可.【湃谷】解：?-7.v-1=0.bi4<=（-7）2-4×1.×（-1.>=53,7±v'53X=.7+.537-,S3X1.="g-X2=j-.14.用适当的方法解方程：< 1.)<2,r+5)2=5：< 2>?+4a-2=0：<3>22-51.v+1=0:< 4>X2-1=2(.r+1.).【答案】(I)R=竽，m=专< 2>.r=y/6-2.X2=-v1.6-2：/，、5+T75/17< 3)XI=-.12=:< 4>.r=-I.2=3.【分析】（D利用直接开平方法解方程即可:< 2）利用配方法解方程即可：< 3）利用公式注解方程即可；< 4>利用因式分解法制方程即可.【解答】解：（D原方程直接开平方得：2r+5=i5.ii>jzuV5-5<5-5解ChXi=5»X2=-5s< 2）底方程变形得：+4x=2.配方得：x27x+4=6.WJ522=6,£1接开平方得：x+2=±S,解得：Ai=V62.2=62；< 3),.,=2.b=-5.c