专题05 圆和圆的位置关系4种常见压轴题型全攻略（解析版）.docx

专题05圆和圆的位I1.关系4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例JRn1【考点一由半径和圆心跖的关系米的B1.相交的计算】1【考点二两圆相切时求半径和10心距的相关计算】2【考点三由交点个数求两圆位词关系的计算】2【考点四动点问SS在两圆位盥关系中拓展应用】3【典型例题】【考点一由半径和Bi心距的关系求两B1.相交的计算】【例题1】如果两10的平径分别是3c加和4cm，圆心距为5c/w，那么这两圆的位置关系是(?A相交B.内切C.外离D.外切【详解】试即分析：若两网的半径分别为R和r.HR>r>网心即为d：外声,则d>K+八外切,则d=K-r：相交.则K-z<d<A+心内切,则d=K-r：内含.则d<K-r.(M-3<5<4+3Ia这两眼的位置关系是相交故选A.考点：圆与圆的位置关系点评：本即属于基础应用题,只需学生熟练掌握圆与暇的位宜关系，即可完成.【交式1】Z>Oj.日。2的半径分别为4和6.网心距。；。?=8,则由。1与GJOz的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】B【详解】试时分析：HO1.002的口径分别为4和6,圆心距Oq产2,301、Mh的半径之和为5,只差为1,而1.<OOz=2<5,所以两回相交考点：两网的位置.关系点评，老森两魄的位跣关系，利用两圆的圆心距和两魄的半径之差或者之和，来判断两园的位置【交式2】两例的例心都在X轴上,且两网相交于AB两点,点A的坐标是(32).那么点B的坐标为()A.(-3,2)B.(3.-2)C.(-3.-2)D.(3.0)【答案】B分析根据两18相交的性质：相交两圆的连心畿垂直平分两圆的公共弦,得点A和点B关于X轴对称.【详解】解：若两个点关于X轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为招反数：所以点B的坐标为(3,-2) .故选B.【点腌】考查J两阳相交的性质：若两个点关于X轴对称,则横坐标相等,纵坐标互为相反数.【交式3】已知BOi和SOz的半径分别是一元二次方程(x1.)(*2)=0的两根,且OQ2=2，则EoI和BO2的位置关系是.【答案】相交.【详解】此SS考传回与口戏的位置关系(-i,v-2)=.1.x1.-1.X2-2,;-1.r-1,.rt+r23>2O,O.,所以两圆相交答案相交【考点二两图相切时求半径和B1.心距的相关计算】IMI2已如UOi与EOZ外切,使01的半径R=5cm,BO?的半径r=1.cm,则EoI与BCh的BI心距JS<)A.IcmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】D【详解】：根据两位置关系叮数收关系间的联系即可求解.外切,则P=R+r(P&示I即心矩，R,r分别表示两网的半径).【交式1】已知两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则这两圆的位置关系是()A.外国B.外切C.相交0.内切【答案】B分析根据圆心距和两W1.半径的关系即可求好.(详解】解:Ia两H1.的半轻分别为2和3,圆心电为5.GB*2三5.OdR÷rta这两版的位置关系足外切.故选B.【点防】本即考错/由数盘关系来到阍两回位置关系的方法.网和网的位置与两网的网心即、半径的数批之间的关系（设两阻的半径分别为R和r,且R2r.圆心距为d）为：的W外离=d>R”:两限外切Od=R+r；两圆相交=R-rVdVR+r:两圆内切OdHR-r：两回内含OdVRf【交式2】已知.一元二次方程产-8/15=0的两根分别是BO1.和QOz的半径当00】和质。2相切时,O1O2的长度是（）A.2B.8C.2或8D.2<O>Oi<8【答案】C【详解】试的分析：HSOu三。2的半径分别是方程"-8x+15=0的两极，解得IaO1、8,的半径分别是3和5, Ia当两IS外切时,留心距O16=3+5=8：当两13内切时.网心距015=5-2=2.故选C.考点：圆与If1.I的位词关系；根与系数的关系；分类讨论.【变式3】己知圆A和圆相切，两If1.I的圆心即为8cm,BiIA的半径为3s则即8的半径是<>.A.5cmB.I1.cmC.3cmD-5cm或I1.cm【答案】D【详解】若外切,则SB的半径是83=5,若内切.则21B的半径是8+3=I1.故选D.【考点三由交点个数求两B1.位*关系的计算】【例JB3】已知半径分别是3和5的两个圈没有公共点，那么这两个圆的硼心距d的取值范树是（）A.J>8B.d>2C.0<<2D.4>8或0dv2【答案】。【分析】没行公共点的两个即的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d>Rr;内含，W1.d<Rr.【讲解】解：没有公共点的两个例的位置关系，应该是内含和外离，当内含时,这两个Ia的同心距d的取值靖围是dVRr,即dV2：当外国时,这两个Ia的例心距d的取值葡圉是d>Rr,即d>8.故选O.【交式1已知Oa的半径彳6,Oq的半径为4,留心距=3.如果。与。自有交点,加么4的取值范围是）A.,3B.r9C.3<n<9D.3n9【答案】D【分析】根据圆与院的位置关系即可得.【详解】由惬意得，Oa的国心Q在Oa的内部如果oijoq有交点,则行如图所示的两个临界位置因此有忙i解，叩忙M1.<ri+O1O,U6+3m3ri9故选:D.【点睛】本题考查J'即与阴的位区关系，依据膻旗，正确找到两个临界位置是解题关键.【变式2己知0"的华径。4长为3,由8在践段。4上，且08=2,如果。8与Oo有公共点，那么08的半径r的取值范困是【答案】1.r5【分析】求得08在。内郃且有唯一公共点时。B的半径和闭。在内部口有唯一公共点时08的半径.根据图形即可求得.【详解】解：如图.当OH在GQ内部且有唯一公共点时,。8的半径为：3-21.当O。在内部且有唯一公共点时,的半径为3+2=5.B）如果OB与CX）有公技点，那么。的半径，的取值范用是1r45,故答案为：1.r5,【点附】本时考在/回与用的位置关系，注意掌握数形结合和分类讨论思翅的应用.【交式3七的半径为3cm,点M是历0外一点，OM=4cm,则以M为圆心且与00相切的圆的半径一定是）A.Iem或7cmB.IcmC.7cmD.不确定【答案】A【分析】根据圆与圈的位置关系可得00与GIM内切或外切，然后进行分类求制.【详解】解：由以M为困心且与00相切,可得：00与（EM内切或外切，则有:节©0与P1.M内切时，阳。的半径为3cm,OM=4cm,CnM的半径为4+3*7Cni：当50与HM外切时.03。的半径为3cm.OM=4cm.GBM的半径为4-3=1.cm:媒上所述：当以M为暝心且与00相切时，3M的半径为Icm或7cm：故选A.【点册】本即主要考住网与阳的位置关系,熟练掌握酸与酸的位置关系是解题的关键.【考点四动点向题在两Ie位*关系中拓展应用1.1例4如图点。在EA外点P在线段OA上运动.以OP为半径的001.jGIA的位置关系不可能是下列中的（）A.外离B.外切C.相交D.内含【详好】试时分析：两冏的半径分别为R和r，J1.>r.向心距为由外离，则d>K+X*:外切.则d=K+，：相交,则Rr<d<R+r;内切，则d=K-r：内含则d<RIh图可得以OP为半径的mo与3A的位置关系不可能是内含故选D.考点：圆与圆的位置关系点评：本时处于塔础应用题，只需学生熟练掌握圆与欧的位巴关系，即可完成.【交式1】如图，半圆。的食径AB=4,与半圆0内切的动阀01与AB切于点M设阳,的半径为V，AM=X,则y关于X的函数关系式是()AJ=-.V1-XB.y=.x：+XC.货=-忠.D.»=二4二泯4叫7【答案】A【详解】试咫分析：连接6MOOi,可解到百角三:角形06M,依83意可知Bo的半径为2,则OOM-.0M=2-X.O1M=y.在Rt6M中，由勾股定理犯(2y)2(2-.r)2解得4考点：根据实际问遨列：次函数关系式.【变式2】如图,矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为腹心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是HA、KD上的一动点,P是BC上的一动点,则PE+PF的最小值是()A.5B.6C.7D.8【答案】C分析以BC为轴作矩形ABCD的对称图形ABCh以及对称圆D',连接AD咬BC于P.交BA、RO,TE、F1.连接PD.交2DF.EF就是PE+PF最小值：根据勾股定理求得Ah的长即可求得PE+PF戢小值.【详解】解：如图，以BC为轴作矩形AB8的对称图形ABCh以及对称圆b.连接Ab交BCFP.则EF就是PEPFJft小值;(3矩形ABCD中，AB=4,BC三6,IaA的半径为2,阴D的半径为1,EA*D'=BC=6.AA'=2AB=8.AE=2,DT,=DF三1.C8AD,三10,EF,=1O21=7t3PE+PF=Pr+PE=EF'=7.故选C.【点睹】本时考农J'轴时称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对琳图形是解答本期的关键.【交式3】如图,已知历C的半径为3.园外一点。满足OC=5,点。为团C上一动点，经过点。的宜线/上有两点A、B,且OA=O8.Z4PB=90,/不羟过点C,则A8的最小值为一.t答案】4【详解】分析：连接。尸、OC.PC.如图所示，则有OAOC-PC.3。、尸、C点共线时,OP=OC-PCi由w*9可知点P在以A为直径的例上,则M与tac相切时.OP取得最小值.据此求解即可.详耨：连接OP、OC.PC.如图所示,则有O*OCPC当。、P、C二践共线时，OP=OCPCmAP=90,CAM)B,(3点P在以A8为直径的网匕HaO与I3C相切时,OP1.M得最小值.则。产=OC-CP=2.(HA8=2。产=4.点M：本题考查了13与B1.的位置关系,两点之间我段最短判断出当(30与取?相切时，0/»取褥最小值是解答本阳的关键.【过关检费】一、单选题1.已知点A(4.0),8(0,3),如果财的半径为2,2的半径为7,那么0478的位置关系()A.内切B,外切C.内含D.外离【答案】A【分析】求出A85.根据同心距,半径之差.即可判断.【详解】解:t三.*,<:A(4.0>.B,O,3>.t214=42+32=5SaA与M的半径分别为：2与7.(3半径差为：7-2=5.(3这两圆的位置关系是：内切.故选：A.点斶此题考查了is与B1.的位置关系.注意掌握两Ia位置关系与Ia心距a两B1.半径用；的数量关系间的联系是好此遨的关雄.2.如果费力和IzQ内含，阳心距OQ14,正伪的半径长是6.那么26的半径r的取值苞围是()A.0<r<2B.2<r<4C.r>10D.0<r<2wEr>10【答案】D【分析】根据（BQ和BQ内含,分，>6，<6两种情况付论,根掘半径差大于圆心距列出不等式.解不等式求解即可【详解】解：115和Mh内含，网心距OQ产%Mb的半径长是6.么（36的半径为r当r>6时，r-6>4,则r>IO16- r>4',V<6rt.八,K'O<r<2r>0媒上所述，OCr<2或r>10故选D【点册】本阳考在了匾与明的位置关系，分类讨论是解题的关键.3 .如图，在梯形八夕（7）中.已知AO8C,AD=3,BC=9.八8=6,C7）=4,分别以A8、8为宜径作圆，这两圆的位置关系是（>A.内切B.外切C.相交0.外离【答案】D【分析】先求出两圆的圆心距,A8和8的一出为两BI的半径,利用半径之和和两is的Ia心距的大小关系求解.【详解】解：05分别以A8、CD为直径作M,Ia两战的【网心分别是A8、CD的中点.E）两回心的连线是梯形的中位线.0D=3,BC=9,2）西阳的腐心距为彳=6,0=6.CD=4,向两圆的半径分别为3和2,（33+2<6,t三两圆外高.故选：D.【点册】本题考比/梯形的中位线,以及网与园的位置关系.解起的关键是分别求得两阳的眼心即和两网的半径4 .若两例的半径分别是3和4.削心距为8.则两圆的位置关系为<)A.相交B.内含C.外切D.外离【答案】D【详解】试题分析：取心距为d=8,R=4,r=3阉>4+3,0d>R+r团两圆的位置关系是外离考点：圆的位置关系点评：本牌冰度较低.主要考查学生对网心和的理解.易伟：题目常以两个网的半径且两个【网相切于-点，求圆心距.要分析内切与外切两种情况.5 .点P到0。的最近点的距离为2cm,最远点的距离为7cm,则(ZO的半径是()A.5cm或9cmB.2.5cmC.4.5cmD.2.5Cm或4.5Cm【答案】D【分析】根据已知条件能求出网的直径,即可求出半径此遨点的位置不确定所以要分类讨论.【详解】解：当点在网外时.13澳外一点和圆周的最蚓距离为2cm,必长距离为7cm.(3圈的直径为7-2=5(cm),团该回的半径是2.5cm；当点在曲内时，团点到魄闷的最短距离为2cm.最长矩离为7cm.Ia圆的直径=7+2=9(cm).Ia同的半径为4.5cm.故选：D.【点盼】本SS考代了点和阴的位置关系的应用，能根据已知条件求出网的口径是解此烟的关键.6 .已知的B1.半径“、C分别是方程F-7x+10=0的两根，两圆的圆心即为7,则两例的位况关系是()A.相交B.内切C.外切D.外高【答案】C【分析】许先解方程F7x+10=0,求得两网半径、r)的值.乂由两网的网心印为7.根据两园位置关系与圆心型乩两圆半径。、。的数戊关系间的联系即可理出两圆位徨关系【详解】11S'7x+100.解得：X,2.J,5.13两BS半径/7、门分别是2,5.02+5=7.两圆的B1.心距为7,两圆的位次关系是外切.故选C7 .圆心距为6的两圆.相外切.则以这两个腿的半径为根的一元二次方程是（）A.-6>10"0-.d-6x+1.OC.X2-5x+6OD-x'+6x+9.O【答案】B【详解】试牌分析：A选算HS=斤-4w<=36-40=-4v0,卅匕方程无解.B选项.B3=-4<ft=36-4=32>0.13此方程有解.乂%+占=-"=6.aC.D选项的两根之和都不是6.故选B.考点：1.RI与K1.的位置关系：2.根与系数的关系.二、中空JK8 .已知两等网的半径为5cm,公共弦长为6cm.则Ia心距为.【答案】8cm【分析】根据相交两IH的性质得出OIoaB，利用勾股定理得出CO1,即可得出答案.【详解】解：连接022,设两圆的公共弦为AB,放OiO2HAB,团两等傀的半径为5cm,公柒弦长Rm,0AC=BC=3crr>.A0=5cm.COI=C6=,AO；-AC*=小：-3'=4(cm),00>0?=8(cm).故答案为8cm【点册】此题E要与连了相交两网的性质以及勾IS定理.根据已知得出OKhIIAB是解题关键.9 .已知两网半径分别为1和3,两网相切,则圆心作为.【答案】4或2.【详物】试题分析：由两B1.相切，可从内切与外切去分析.又由两国的半径分别为1和3,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数砥关系间的联系即可求得两国的圆心距.试题蟀析:。两H1.的半经分别为1和3.若两BI内切,则两Ia的19心距为:3-1-2：若两圈外切.则两网的圆心跑为t3+1=4：t三两Ia的偏心距为4或2.考点：圆与圆的位置关系.10 .已知相交两圆的半径长分别为13和20,公共花的长为24,加么这两个圆的圆心距为一.【答案】11或21【分析】设半径长分别为13和20的0A、OB相交于点E、点/，EF=24,连接A£、BE,则A£=13.砥=20,再分两种情况讨论.-足点A、点8在出线E尸的同侧,延长84交行尸于点C,根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得NSCE=90"CE=CF=12,可由勾联定理求得BC16.C=5.W1.jzVJ-ZiC-AC-I1.:二是点A、点8在宜城£尸的异恻，交Er于点。，则BD16.4>=5,AB1.)AD-2.【详解】解：半径长分别为13和20的。八、08相交于点£、点尸，EF=24,连接AE、IiE.则Ag=I3,BE=20,如图1,点A、点8在出线防的同例,延长84交EF尸点C.4垂直平分EF.ZCE-9(r.CE=Cf=1eF=1x24=12.HC=A-Cfc-2=2(>j-I2i-16AC=4RE：-CEi=I3j-12j=5.A8=C-八C=I6-5=11：如图2,点A、点8在史城E户的异例，HA交EF于点D.)A=Z4Dft=W5,D£-DF-Ief-1x24-12,.BD=-JBE2-DE1=20j-12j=16AD=-JaE:-DE:=I3j-12i=5.AB=tfD+AD=1.6+5=2i,综上所述,这两个回的收心即为11或21.故答案为：11n«21.点睛此即很点考交优与即的位H关系,线段的近百平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，止痢地作出所需要的辅助线是解题的关键.11 .两圆的半径分别为3cm和4cm,若圆心距为5cm,则这两圆的位况关系为.【答案】相交【分析】本即直接告诉两即的半径及圆心距,根据数状关系与两网位:置关系的对应情况便可直接得也答案.【详解】解：由题意知.两圆圈心距d=5<R+f=7,故两国相交故答案为；相交.【点环】本即在要考查两阅之间的位置关系，两圆外高，则P>R+r:外切，则P=R+r：相交，则R-r<P<R”:内切，则P=R+内含则PVRr（P表示圆心距,R.r分别农示两圆的半径）.12 .如图,BOi和（2。内切,它们的半径分别为3和1,过6作302的切线.切点为A,则0】A的长t答案】0【分析】连接过切点的半径,构造直角三角形.根据两阳内切.得到两圆的园心印.再根据勾股定理进行计算.【详解】解：连接OzA.根据切观的性质，1H<AO1.=90.根据两圆内切,0-3-1.2,极则勾股定理,在Rtff1.OiAO?中，OiA=2j-1=3.故答案为：抠【点跻】此题踪合运用了切线的性质、句IK定理以及根据两阀内切,正确计算两网的同心距的知识点.13 .两网半径分别为2、3.两网刚心距为d.则两网相交时d的取值范围为_.【答案】1.<d<5【详解】(3两01半径分别为2、3,两BI1.B心距为d,两圆相交时d的取侑范阳为3-2<d<3*2,即1.<d<5.故答案为1.<d<5.点BS：本题考查了两Ia的位置关系:设两圆半径分别为Rr,两圆圆心距为d，则当d>R+r时两B1.外国:当d=R+r时两阀外切：当Rr<d<K+r(心时两眼相交：当心Rr(R>r)时两圆内切:当OrfVRr(>r)时两口1内含.14 .已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，加么这两圆的圆心即等于一厘米.【答案】3【分析】由两圆的半径分别为2和5,根据附01位St关系与圆心距d,两胧半径七r的数状关系间的联系和两回位置关系求得啖心距即可.【详解】解：历两网的半径分别为2和5,两网内切.Otf=Rr=5-2=3cm,故答案为3.【点M】此西考传了脓与MI的位置关系.解时的关键是求握两皿位巴关系与圆心距乩两圆半径上的数玳关系间的联系.15 .若相切两圆的半径分别是方程x：-5x+6=O的两根，则两阀圆心即，的值是【答案】1或5.【详解】试即分析：B两圆的半径分别是方程2-5x+6=0的两极，rar1三x三2,r2三X2B3,BJ两网相切,团圆心距为3-2=1或2+3=5.故答案是1或5考点：圆与圆的位园关系.16 .已知Oq的半径为1,OQ的半径为，圆心距Gd=5,如果在Oa上存在一点尸，使得Pq=2,WIr的取值范困是.【答案】3r7【分析】当Oa位于。色内部,J1./*.Ot,0±位于同一条直线上时,，可以取得最大值:当Oq位于Oq外部,且P,O,O?位于同一条直线上时,，可以取行最小值.【详解】当Oq位于。化内部，旦/，.O,Q位于同-条直线上时，r可以取得最大值.如图所示，J=Pq+。n=2+5=7.当。,位于。自外部.旦AOi,。；位于同条直线上时,r可以取得及小（ft.如图所示，.三OtOiPO1-5-23.故答案为：3r7.【点肺】本即上要考衽阳叮阳的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解咫的关键.三、解密B17 .ra.EQ和134相交于A、B两点，。,0与48交于点如O"的廷长我交ISQ于点D,点E为AD的中点，AE=AC,连接«£.< 1>求证：OtE=O1.Ci< 2>如果已Q=IO,O1E=6,求Eq的半径长.【答案】（1>证明见解析；（2）5.【分析】（1）连接0A,利用垂径定珅连心线与公共弦关系眼理，证明&。状皿。仙即可:< 2）利刖AaEa03QCA即可解答.【详解】（1）t和团在相交于A、B两点，团已O：是AB的垂ITK分践，PBaCA=90'.BE为AD的中点,由。EEAD.O1.EA=90,.EBO1CA=SO1EA.如图,连接QAEAE=AC.O1A=O1A(31=O1C.<2>atE111AD.IaaoIEo?-90".在RtAo1.EO,中.0,E,=90°.o,0:=10.O,E-6,WO1E2+(XE:=O1.(s,)O.E,=10r-6(3>E-8.W,i,=00,CA=90.30:=)0j.GBqEaasqcA,ACAOfUaE00J(Soa=I0AC=AE=。"一QA=8AQ。"=6,H-A(A(*.>"6IO04O,=5.即(SQ的半径长为5.故答案为5.【点瞄】本牌考查图.阚与网的位置关系.三角形的相似.勾股定理,熟记阴垂径定理.连心线与公共弦的关系定理.：角形相似判定定理是解题的关犍.18.己知：如图，正彷与S33外切于点7,经过点了的真浅JMO,、£02分别相交于点A和戊&(1)求证:OiAZZOiBi(2)若。N=2,68=3.AH=7,求Ar的长.【答案】见解析(2M7=y【分析】(1)联结o,5,IIPe6为连心戏，欲证明ON6从只需推知W1.=E«：<2>利用(I)中的结论.结合平行线裁筏段成比例得到U=-7通过计算求得Ar的位.3I-A1.【详解】(I)证明：联结。,6,即。/Q为连心线，乂CH6与M外切于点T.MQ?经过点7;QOiA=OiT.ChB=O订.SSA=CO办E=0O'T.KH0j7=m3TB,11A=C.IBOtAZZO2B:(2)O)AO2B.BaBT,St2.6B=3AB=7.d=q37-AT【点睛】本题考查了圆与网的位置关系,平行线分线段成比例,1.行线的判定，掌握圆与阳的位更关系是解题的关犍.19.如图，已知AeESGDCaBC,垂足分别为点8、点C,AC与8。交于点/>.<1)如果A8=3,CD=5,以点P为圆心作圆，园P与宜城8C相切.求圆尸的半径长：又8C=8,以8C为口径作现。，试判断阿。与即。的位商关系，井说明理由.<2>如果分别以八从CQ为直径的两网外切,求证：EA8。与2C。相似.D【答案】法的半径为工2。与那内切，见解析：见解析O【分析】（1）过点。作PM三Cf.利用平行段分线段成比例定理求出。机可得结论.求出CP的长，即可判断.<2）设八a。C的中点分别为O.O:.连接。O?.过点伪作。C于£.设八8二a.DC=b.根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即11.【详解】解：（1>过点P作PHBfiCFP1.Af1.WJC,DGTBC,瓜4即W州咏.EPHCHPHBH团拓-布亥-正（H48=3X'=5.EPHPHP1.PH=-,8团直线"？与。相切，西P的半径为芋.结论：与加内切.理由：设8C的中点为。,E1.fiC=8.WOB=OC=A.PHCH,=cbWCH=5,OH=I.MT即OP=Ro-Rp.GBO与3P内切.<2>i殳/)C的中点分别为伪，O:.连接伪彷，过点伪住”,£加CF£ti.AH=a,DC=b.由题意。G=噂，在R加OQ匹中.ChE=疝,ff1.OE=C.M4BDC=BC,即空=生，BCDCHMfiC=IZDtZi=90".HEW2CD.【.点肺】本脑属于酸综合题，考自了切践的判定，相似;角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考超型.