专题04 几何最值存在性问题（解析版）.docx

专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动力问中，当某几何元素在蛤定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的局长或面积、角的度效以及它们的和与差)的大值或量小值恸A1.彝为值问从历年的中考数学压轴题S!分析来看，短常会考查到年育或者两条线段和差值得问愿，并且这部分JB目在中考中失分率握育，应该引起我们的视.几何值问题再做材中虽然没有进行专JI讲解，到却给了我们很多解题模S1.因此在专题究习时进行压轴训练是奥要的.【解题攻略】值问JS是一类*性较强的向题，面线段和(差)Af1.要归归于几何模S1.(1)归于“两点之间的连钱中，线段量短”凡K于求“更动的两钱段之和的小值”时，大都应用这一模型.(2)归于"三角彩两边之差小于第三边”凡K于求”变动的两线段之差的量大值”时.大都应用这一模型.两条动线盘的和的小值向愚，常见的是典型的“牛水”向题，知是指出一条对称轴“河流”(如图1).三条动线段的和的量小值向I1.常见的是典型的“台球两次磁鼻”«“光的两次反Ir问题，关值是指出两条对称轴“反射储面”(如图2).两条微段差的量大值向黑，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条经段差的量大值就是第三边的长.如图3,£4与用的差的最大值就是典此时点P在"的延长线上，即户.解决线盘和差的最值问,有时候求函敷的值更方便，建立一次函敷或者二次函数求J1.I最值向.图1【解题类型及其思路】解决平面几何值Wf1.1.的常用的方法有，(1)应用两点间编段4H8的公理(含应用三角形的三动关JK)求值I(2)应用IMUHMa的性质求量值I(3)应用轴对稼的性原求41.(4)应用二次函数求量Mh(5)应用其它知识求值.【典例指引】类型一【确定线段（或畿段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】.如图，在平面亶角坐标系中，长方形OABe的1点A、C分别在X轴、轴的正半轴上.点B的坐标为（8,4）,将该长方形沿OB折，点A的对应点为点D,OD与BC交于点E.（0证明1EO=EB（11）点P是直线OR上的任意一点，且AoPC是等腰三角形，求法足条件的点P的坐标I（HI）点M是OB上任,一点，点、是OA上任意一点，着存在这祥的点M,N,使得AM+MN量小，请直接写出这f小值.【管案】（I）证明见解析：（I）P的曲标为（4,2）或（包叵，生£）或P（-当£,-生£）55557、/68、八”、32或（£）：（H1.）-T.55、KM*r1.分析：（I）由折叠得到NDoB=NAOB,再由BC0A得到NOBC=/AOB.即/OBC=NDOB.即可：（II）设出点P坐标,分三种情况讨论计算即可:（11）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M.OATN.求出DN即可.详解：（I）；将该长方形沿OB翎折，点A的对应点为点D,OD与BC交十点E./DOB=ZAOB.VBCZzOA.二ZOBC=ZAOb.ZOBC=ZDOb.AEO=EB:<H>Y点B的坐标为<8.4）,二出线OB解析式为=；x.；点P是直线OB上的任意点.i殳P(a.a).2VO(0.0).C(O.4).OC=4.P(P=aj+<-a>-=-aj.PCj=a+(4-a)i.242当AoPC超等腰.角形时，可分三种情况进行付论:如果PO=PC,承么POjPCM则±a?=/+(4-a)1.解价a=4.即P(4.2)：42如果PO=OC,那么PO=OCj则3a>=i6.好/a=±：&.即P(6-5：<P<-5)：455555如果PC=OC时,那么PC1.=OC1.a2+<4-a>2=I6.解得a=C(i),或a=.BpP(»-)：2555故满足条件的点P的坐标为(4.2)或(,5)或PP1.i<.：)：山如图.过点D作OA的垂线交OB于M,交OA于N.此时的M,N是AM+MN的最小也的位置，求出DN就是AM+MN的"小仗.由（1.）有，EO=EB,；长方形OABC的顶点AC分别在X轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8,4）.设OE=x.则DE=8-x.在RSBDE中,BD=4,根据勾股定理得,DB?+DEXBE1.*.16+<8-x>2=x2,x=5,BE=5.CE=3,.DE=3.BE=S.BD=4.VSBDE=-DExBD=-22BExIXi.DE×IiD12A1.Xi=二一BE5由SS懑有，GN=OC=4,1232二DN=DGPN=+4=.55即：AM+MN的最小做为方.点睹：此胭是四边形绘合题，主要考查了矩形的性质，折梯的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想足好本即的美U1.【举一反三】.如图，抛物线y=aC+bx+3舞过点B(-1,(O,C(2,3),撤物线与轴的焦点A,与X轴的另一M点为D,点V为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为I.(O求拗物线的表达式I(2)过点M作、轴的平行线，交Ii物畿于点P,设线段PM的长为I,当t为何值时.I的长大，井求量大值I(先根目图，再计算)(3)在(2)的条件下，当t为何值时，PAD的面积景大？并求最大值I(4)在2)的条件下，是否存在点P.使APAD为直角三角形？着存在，直按月出t的值】若不存在，393【答案2、；2i1.：时，/行最大值，/最大=7：(3)t=;时，APAD的面积的班大24227,R582(Mfr1.试跑分析：(D利用特定系数法即可解决问题:<2)易知曲戏AD解析式为y=x+3,设M点横出标为m,B1.P(b-P+21+3).M(,-j+3>.>fif1.=-P+2t+3-若不存在请说明理由(3)在坐标系内有一个点何，恰使得MA=M3=,MO,现要求在，轴上找出点。使得8Q1的周长小，请求出用的坐标和ABQM周长的量小值.【答案】")fC，女=4：(2)存在，fb=3,1.5.一号j.优卜.5亨.Aj-1.5.一2一4IP1-1.5,-2+孚)(-1.5,-0.5)：(3)(346+7(j)【分析】(I)由点A在双曲战上，可得&的值，迸而得出双曲线的解析式.设3(皿：)(/«<0),过A作AP1.r轴J-P.BQ1.y轴J-Q.R线BQ仙T线AP相交-.,M.根据Smob=SMIt1.SV-SSgi)-Smpuq=3解方程即可得出A的值,从而得出点。的坐标,把儿8的坐标代入效物线的耕析式即可得到结论：(2)抛物线对称轴为=.5p(-1.5.v).ItI-IfiH11PO2:OB2.PBi.然后分三种脩况讨论即可:(3)设MEy).IhMO=MA=MB,可求出M的坐标.作8关于y轴的对称点片.连接夕M交y轴于Q.此时A8QM的周长最小.用两点间的冲志公式计0即可.【详解】(I)住IA(1,4)知：*-rv=×4-4.X设“Im,m<0)过A作AP1.x轴干P.BQ1.y轴FQ,ttBQ相11找AP相交于点M,则SAAa=SAo=2.S.3cs=Su”。-SmCPSHWMiS用WOeQ=g(i),-(Smw+S语)-1.(-.)gI设P(T5.y),则PO?=-+)'。序=8PB'=-+(y+2)'.44008为等腰：.用形，分三种情况讨论：(I)PO2=OB2即(+),2=8解褥：>=±率，.*15-亭)中.5,亨)：陪=(加,即1+(y+2=8.斛得：y=-2±.is1叼.211.5.2+普1,QPM=OP"即(+(y+2)-=j+./.科得：>'=-<).5/.(-1.5,-O.5):<3)设M(X,y).V4(1.4),B(-2-2).0(0.0),：.MO2=Xz-y2,M42=(x-1.)2+(y-4)2*=(+2)2+(y+2)2.-.MO=MA=MBxi+=(x-1.)j+(y-4)2,r2+=(x+2)(y+2)'A=-H蝌得：2.-V=i作4关于>轴的对称点所生标为：（2,-2）.连接交F他于Q.此时ABQM的闷长J小.当OTJ_BC时.过点T作TH_1.x轴.OT=E5VZBOT=ZBCO.gs/BQT=A=粤512T本SS是道综合题.考查了一：次函数次函数和三角形相关的知识,能络充分网动所学知识足解应的关键.类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】如图，已知二次西数y-x1+bx+c的IgiI与X轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于13+x2=T:.x=-2四边形v8w31.+x-=:.x=2.(2,2);S)四边%CNNB寸平行四边形时.1+3X=,X=4,捺上所述:财（22卜或,11M卜2.-果：1点Sn本即考行了恃定系数法求二次函数解析式,二次画数的图象及性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握：次函数的性侦、灵活运用勾股定理求边长、笊握平行四边形的判定方法是解烟的关键.【新题训练】1.如图，直线y=5x+5交X轴于点八，交）轴于点a过八，C两点的二次函数）=F+4x+c的图象交1轴于另一点H.求二次函数的表达式I（2.«IiCt点,V是线段“<上的动点，作NoJ_*轴交二次函数的图象于点。，求战段No长度的大h着点为二次函数-M+4x+cBH象的顶点，点.W4,M是该二次函数图象上一点，在*轴，）轴上分别找点尸，E,使四边形/*M的周长小，求出点八E的坐标.【答案】(I)V=-X+Ix+5i(2)(3)F号.0>.E(0,4.【所】【分析】<1)先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的去达式求出A,C两点的坐标，再根据特定系数法可求:次函数的表达式：<2)根据坐标轴匕点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标,根据待定系数法可求一次函数BC的表达式.设ND的长为d.N点的横坐标为n,则N点的姒坐标为-n+5D点的坐标为D(n.-M+4n+5).根据两点间的跖离公式和.次函数的双值计算可求线段ND长度的加大值：(3)由题总UJ1得二次函数的顶点匣标为H<2.9).点M的坐标为M(4.5).作点H(2.9)关于y轴的府称点H”可御点H1.的坐标，作点M(4,5)关于X轴的时称点HM”可得点M1.的坐标连站HM,分别交X轴于点F,y轴于点E,可得HA1.+HM的长度是四边形HEFM的般小樨长，再根4；待定系数法可求直线HmM解析式.根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标.【详解】解：(1).直线y=5x+5交X轴于点A,交y轴于点3A(-1.0).C(0.5).；：次函数y=ax+4x+c的图象过A,C两点，IC=S二二次函数的表达式为y=一'H+5:如解图，.OM=3,CM=JcTy+AM?-5.OC<ONPCM=8,当0、M.C三点在同直线时，OC有最大值8,连接OC,则此时C)C与Ar)的交点为M,过点。作ONIAD,垂足为N,V/CDM=/ONM=9()。,NCMD=ZOMN,CMDOMN.CDDMCM435=.川；=ONMNOMONMN39P解得MN=m.ON=y.AAN=AM-MN=-.5(.RtOAN中，O=yON'+ANi=竺./八AN.wsZOAD=OA【点睛】本SS是四边形的综合向题，解密的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、柑似三角形的判定与性质等知识点.24“如图，在平面直角坐标系中，一次的数y=-；x+4的图象与、轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点。作匀速运动,到达点。停止运动，点、关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为，秒.Q）当t秒时，点Q的坐标是.（2）在运动过程中，设正方形PQMX与AOB曼部分的面积为S,求S与t的函数表达式;（3）若正方形PQMN对角线的交点为I,请直接写出在运动过程中OT+PT的量小值.334394CM1.(1>(4.0)：v-(><tHt,S=-C:2,1.<<-1.,S=B18(1.Sm4343S=-3tj+12s(3)OT+PT的最小frt为3【所】【分析】< 1)先确定由点A的坐标,进而求出AP,利用对称性土可得出结论;< 2)分:种情况,利用正方形的面积减去三角形的面枳,利用矩形的面枳减去:角形的面枳,利用梯形的面枳，即可得出结论：< 3)先确定出点T的运动轨迹,进而找出OT+PT最小时的点T的位置,即可得出结论.【详解J(I)令y=0.2 ：x*4=0.3.=6.AA(6,0).巧仁1秒时，AP-3J=1,.,.OP=OA-AP=5,P<5,0),由对称性得，Q(4.0)：<2)当点Q在原点O时.OQ=6.AP=0Q=3.二1.=3÷3=1.当0<t时.如图I,令x=0,OB=5.VQ在BC1.Q的坐标为(x,x-5).PQ-(-X1+6x-5)-(x-5)=-2+5xSWPQOB=-(-x2+5x)×525PS.Tix=KiShhi1.Ci,最大值为S=V-.28.,P坐标为<3)如图I.ZCAN=ZNAMi=ZACB.则NAMIB=3NACB.：ZCAN=ZNAM.AN=CN."."y=-.+6-5-(x-Mx-5).A的坐标为(I.0).C的坐标为<0.-5),设N的坐标为<a,a-5),则(<?-I)*+(</5)"=<?'÷(<-5+5)*,.Ba=,6H17N的坐标为.66N-=(-1.)2+(-)2=,Ae=26.6618.AN2169I13-=x=一C*182636VZNAM=ZACB.ZNMiA=ZCMA.,.dNAMISZ1.CM1.ANAM,ACCM,.AM-13*'CM'=36设M1.的坐标为(b.b-5),则：.36(-1)2+(£>-5)2=13Z>2+(£>-5+5)2.78,b=.b=6(不介题造.舍去).237«37.M的坐标为噌.-云).如图2,作ADJ_BC于D.作M1.关于AD的对称点M2,则AM1C=3NACB.易知ZIADB是等提H向"角形,可得也D的坐标是(3.-2).,M；横坐标=2×3=.2323M：纵坐标=2×(-2)-(-)=-.AM3的坐标是(黑点).综上所述，点M的坐标是(会或(祟.-)-【点瞄】“欠函数的性脑及相本跑考杳了二次函数号几何图形的综合即：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、似：地形的列定与性侦.会运用分类讨论的思想解决数学问题.7.如图.在平面直角坐标系中,器物线y=x(x-b)与轴相交于A点，与、轴相交于B、C两点，且点C在点B的右例，设抛物线的JI点为P.Q)若点B与点C关于直线、=1对称.求b的值I(2)若OB=OA,求ABCP的面积：(3)当-Ix4时，该拗物线上量高点与量低点级坐标的差为1“求出h与b的关系；若h有大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值.【答案】1)2<2)i7(3)h存在Ai小值,以小值为1【所】【分析】(I)由点B与点C关于直线X=I对称.可得出附物线的对称轴为直线X=I,再利用二次函教的性质可求出b值:(2)利用,次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标,结合OA=OB可得出点B的坐标,由点B的坐标利用特定系数法可求出拊物茂的解析式，由抗物线的解析式利用：次函数图锹上点的坐标特征可求出点C的坐标.利用配方法可求出点P的坐标,再利用三角形的面枳公式即可求出ABCP的面枳：(3)分b2.0b<2,-2<b<0和bS-2四种情况考虑,利用二次函数图软上点的坐标特征结合二次的数的图象找出h关于b的关系式,再找出h的最值即可得出结论.【详解】解：(1)；点B与点C关于直线x=1.对称，y=x(x-b>-=x3-bx-.',1>,即b2时，如图I所示.Oh=2b;当OV1.即ObV2时.如图2所示,O2>'H,=bt.y.h=+b+虻=(%)2：当V.VO.2VbVO时,如图3所示O3丁一.了，三三三当三I,即b-2时如图4所示.b÷yNi=b,工,嫁M述：h=zh=-2b.2b(b>2)»h存在最小值,我小(ft为1.(1.+)2(0<2)4-；)=(-2<b<0)-2(6<-2).1.ft本胭考查了：次函数的性质、.次函数图象上点的坐标特征、特定系数法求：次函数解析式、三角形的面积、二次函数图家以及二次函数的最值,解SS的关犍是：（I）利用二次函数的性质.求出b的依：（2）利用二次函数图象上的坐标特征及配方法.求上点B.C.P的坐标：（3）分b2,0<b<2,-2<b<0和碎-2四种情况,找出h关于b的关系式.8.如图，己知抛物及y=aK+bx+3（a0）与X轴交于点ACb0）和点B（-3,0）,与、”交于点C.（I）求拗物线的解析式I（2）设务物线的对称轴与X轴交于点M.向在对称轴上是否存在点P,使ACMP为等!三角形？若存在,请宣接写出所有符合条件的点P的坐标I若不存在，请说明理由；（3）如0B，若点E为第二象限Ii物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的量大值，并求此时E点的坐标.则F(2.1).ME=CM=QM=2.QME与AQMC均为等转白角三角形.，ZQEC=ZQCE=45a.又YAOCD为等腰口角：角形，ODC=ZOCD=45o././QEC=/QCE=/ODC=OCD=45°.CEQ×>CDO.<4)存在.如答图所示作点C关干H纹QE的对称点C.作点C关于X轴的对称点C".连接。C”.交OD于点F.交QE于点P,则4PCF即为符余造意的阖长最小的三角形,由轴对称的性质可知.PCF(向周长等于线段CC-的长度.证明如下:不妨在规段OD上取界于点F的任点F,在线段QE上取异尸点P的任点P.连接FC-.FT',P'C,.由轴对称的性质可知，P-CFffJJAJK：=FC-F'P*P'C.而F'b+FP+PC是点C.C"之间的折线收.H1.两点之间线段最短可知：PC-+FP4POCC".即APyF的周长大于APCE的局长.)如答图所示.连接CE,VC.U关于直线QE对称，AQCE为等腰直角.用形，QC'E为等腰口角三角形.二ACEC为等腰宜为三角形.点C的坐标为(4.5).VC,C”关于X轴对称.点U的坐标为(I.0).过点C作CNJ_y轴/点N,则NC=4,NC"=4+I+I=6,在RtAUNU中，由勾股定理得：CC,=NC+NC=42+62=2I3.所述，在P点和F点移动过程.中，APCF的周长存在坳小值，量小值为WI1.本通!是中考压轴题.综合考查了二次函数的图象与性质、计定系数法、相似的形、等腰直角：.角形、勾股定理、轴对称的性顺等期要知识点,涉及考点较多，有点的碓度.本题难点在于第(4)何，如何充分利用轴对称的性质确定APCF周长最小时的几何图形,是解答本遨的关梃.10.如图,已知“物ty=aC+bx+c的图眼过点'(0.3)、B(1,0),其对称轴为直线Itx=2,过点A作ACX轴交於物线于点C,NAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(O求拗物线的解析式I(2)若动点P在直线OE下方的IMM1.t,连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE面枳大，并求出其大值I(3)如图,F是拗物线的对称“I上的一点.在触物线上是否存在点P使APoF成为以点P为直角顶点【答案】3>y=x-4+3.（2）,jm的等腰直角三角形？若存在，直接耳出所有符合条件的点P的磴标；若不存在，请说明理由.时，四边形AQPE向枳公大，髭大侑为3P点的坐标为；P10【呻】分析：(1利用对称性可得点D的坐标,利用交点式可得抛物线的解析式；<2)iftP(m.m2-4m+3).根据OE的解析式表示点G的坐标,表示PG的长.撇格而枳和可得四边形AOPE的面枳,利用配方法可得其授入值：<3)存在四种情况：如图3,作锚助线，构建金等三角形，If1.f1.ACMPBAPXF,根也OM-PN列方程可汨点P的坐标：同理可褥其他图形中点P的坐标.详解：(1>如图1.设她物税与X轴的另一个交点为D,由对称性得：D(3.0).（3）如图3.过P作MN轴,交y轴于M.交I干N.OPF是等腰比角三角形,且OP=PRfJ)OMP5PNF.OM=PN.VP(m>nv4m+3).R-m2+4m3=2-m,22.p的坐标为（丝£,史叵）或上正,上正：2222如图明过P作MN，X轴于N,过F作FM1.MN于M.1.iJFfft)ONPPMF.PN=FM.W-m2÷4m3-m-2,【分析】'11求出*8的坐标，设二次函数解析式为y=(x+D(x-4),把a(0.2)代人即可得出结论：<2)先求出。的坐标和内线8/)的解析式过。作。丁.x轴7.可求褥/。8"=451设。-g"+2).则G(ZH.-m+4),M0=，”.VXABO=a.则/N80=45°-,Zy=IX()0-.证明AC0N为等腰直角一:角形.表示出NQM。NQ,利川二次函数的件质解答即可：<3)如图.过A作A，_1.P£f点儿解RS”儿得到“=1.,PH=I.设，(卬«).利用两点间距禽公式可求出H的坐标,进而求出点E的坐标.【详解】1 I)½y=-+2,令E,得.v=2,<0,2)»令V=O,?/-X+2=0.解得：.t=4,；.8(4.0).2设二次函数解析式为y=6x+1.)(x-4).将A(0,2)代入汨：2 =u×1.x(-4)解得：=-1，2I,3.y=-X2+-x+2.22<2)VJ(I,n)在她物找匕.”-12+31.+2-3,22：.)<1.3>.(4+=0设直线引)的解析式为门心+4则，1.、，&+b=3k=-解得：,b=4二直线即)的解析式为：y=-x+4.过。作)7"1.x轴f兀则Or=1.DT=3.,J()H=4.HI=OH-OT=4-=3,：.DT=HT.：.NDBgS°.【佯解】W：(1)物O(0.0),A(6.0)代入y=-乎”+bx+c,如:f=°解盆”=2/1.-123+(>÷e=0,"供c=0>i攵拗为我的解析式为产-冬S.Vy=-2x-<3X=-2、-a3.顶点B的坐标为(3,33).<2)设F1.战OB的解析式为y=kx,4¾B<3.3J)代入y=kx,存：3百=3k."得：k=G.：浅OB的解析式为y=JJ.过点P作PC_1.x轴于点C,如图I所示.I卜为<.有X)，则也C的坐标为(X.O).PCVJanZPOC-3.ZPOC=60n.OP11IZAPO90°.则CaSNPoC二二?.OP=3.VOP=1.×t=3./Z.AQM=45",ZAHM=90'.：.ZAQM.设Q(OJ).则*)_)、"2)2=2=2+J或2-J二期合四意的&Q的坐标:,(0.2-3).,(0,2+3).(AUfi1.本卷i考查r二次函数,熟练运用二次函数的图象的性防与一次函数的性质以及同周向定理是斛趣的关键.15-已知It物线V=2f+c(8C为常数，8>0)最过点A(TO),点MW,0)是轴正半轴上的动点.(I)当人=2时，求抛物线的蹊点坐标；(11)点。(从北,)在Ii物线上，当AM=AZ，”=5时，求/，的值I(In)点。S+凡)在触物线上，当6u+2QM的量小值为更叵时，求的值.24【答案】(I)(1.-4);(II)=32-:<1)b=4【师】【分析】,D=>2E-由已知AM=A",m=5-5-(-1)=(Z>+1).(1.11>V,(*+.y0)>'=x2-bx-b-1.>0=(+r-z>+)->-=-.可知点QS+H一当在第四象限，H在直线X=b的右恻.224考虑到-J1.AM+2QM=2(-AM+QM).1取,N(OJ).如图，过点Q作直QAN的垂线，垂足为G,8与XIMe交于点M，ZGAW=45"，褥与AM=GM-则此时点AZ满足题总.过点。作Q1.X轴于点H,则力:W(+.0).(RtAWGH，I.可知ZQMH=NMQH=45'.QH=MH.QM=Gmh.：点M(",0),O-(-)=(+)-m.m=-.24224：s2AM+2QM=，【点腌】本题主要与查的足：次函数的综合成用.解答本遨E要应Mr特定系数法求二次函数.勾股定理.等腰三角形的性质、判定等知识，关键是明确题意,作出台站的辅助战,利用数形结合的思想和次函数的性质解答.16JU图，Ii物线>=axM>x(a>0)过点E(S,0).矩形BCD的边AB在线段OE上(点在点B的左例)，点C、D在抛物线上，ZBAD的平分戡M交BC于点V,点N是CD的中点，已知OA=2,且(1)求拗物线的解析式I(2)F、G分别为、轴,轴上的动点，次连接、I、G、F构成四边形、INGF,求四边形、INGFji长的小值I(3)在X轴下方且在拗物线上是否存在点P,使AODP中OD边上的高为名叵？若存在，求出点P的坐5标I若不存在，请说明理由I(4)矩形ABCD不动，将“物线向右平移，当平移后的务物线与短形的边有两个交点K、1.,且宣及K1.平分矩形的面积时，求拗物线平移的距夷.【答案】(1y=；x；4x；(2)四边后MNGF周长最小慎为120；(3>存在点P,P监标为(6,<4)撤物戕平移的距离为3个单位长度.KMfr1.【分析】Q)由点E在X轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在X轴正半轴匕所以A(2.0)：由OA=2,且OA：AD=I:3得AD=6由于四边形ABCD为翔形,故有ADJ_AB.所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同,进而得到点D坐标.由抛物战经过点D、E.用待定系数法即求出其解析式：(2)画出四边形MNGF,由于点F、G分别在X轴、>轴上运动，故可作点M关于X粒的对称点点M,作点N关于y轴的为粉:点点N汨FM=FMGN=GN易得力M、AG、Z在同口找上时NG+GF+FM=M'N,小，故四边形MNGF用长最小值等于MN+MN.根据矩形性质、施物投线性垢等条件求出点A1.MN.N坐标，即求得密案:(3)因为OD可求,且已知AODP中OD边上的高.故可求AoDP的面积.又因为ODP的制税常规求法是过点P作PQ平行y轴支直线ODt点Q,把AODP拆分为OPQ,jDPQ的和或工来计算.放疗在等愤关系.设点P坐标为(，用<表示PQ的长即可列方!¥.求得I的值要讨论是否满足点P在X粕卜方的条件：(4由K1.平分矩形ABCD的面积可汨K在我段AB上、1.在翅段CD上，H出平移后的搬物规可知，点K由点。平移得到，点1.由点D平移得到，故有K(m,0>,1.(2+m,-6).与证K1.平分矩形面枳时,K1.定羟过矩形的中心H1.1.被H平分，求出H坐标为(4,-3)，由中点坐标公式即求得In的【详解】<1.)Y点A在线段OE上.E<8.O).0A=2<2,0>VOA：AD=I:3AD=3OA=6丁四边形ABCD是矩形JAD1ABV加粉线y=axbx经过点D、E4a+2b=-664+8=01a=解得：2b=-4附物线的解析式为y=g”-4X<2）如图1,作点M关于X轴的对称点作点N关于y轴的对称点N'连接FM'.GNMN'.恤物线对称轴为直线x=4:点C、D在抛物线上,且CDx轴.D<2.-6)yc=yr>h-6,即点C、D关于11线x=4对称.,.xc=4+(4-Xd>=4+4-2=6.即C(6.-6)AB=CD=4,B(6,0)：AM平分/BAD,ZBAd=ZABM=WZBAM=45二BM=AB=4M<6.-4)；点M、M关Fx轴对称，点F在X轴上AM'(6.4>.FM=FM'TN为CD中点N(4,-6)；点N、N关于y轴对称,点G在y轴I:.*.N'(-4.-6)，GN=GNAC-MNCF=MN+NG+GF+FM=MN+NG+GF*FM'V'uM'.F,G,Nw在同一直线上时,NG+GF+FM=MNjft小.,.CMMiF-MX+MN-(6-4)2+(-4+6)2+a(6+4)2+(4+6)2=22+102=122四边形MNGF周长最小值为I223（E出P,使4ODP中OD边上的而为丫丝二.5过点P作PQy轴交出线OD干点QVD<2.-6）OD-22+62=2IOH蛟OD斛析式为y-3x设点P坐标为（I，P-4t）<0<t<8）.则点Qg-3t）如图2,当O<IV2时,点P在点D左到SOOP-S<h>q+SIWQ-PQxfyPQ<xf>-Xp)=,PQ(X"+xr>XP)=PQxj-PQ-1.2+t.odp中OD边Ir1h生叵.5Sa()<»,=-ODh2.-1.1.=1.21.()×2-5方程无解如图3,当2VtV8时.点P在点D侧：PQ-y-VQ-t-4(-(-30-yt-t二Sa<*=Sao1.p-SaWV=；PQxp-gg(Xi-XD>=PQ<xp-xp+xd)=Qxt>=PQ=1'-t.1.p-1.=1.×2ix!5解得：h=-4(舍去).12=6/.P<6.-6)标上所述.点P坐标为<6,-6)满足使AODP中OD边上的岛为生叵.5<4)设施物线向右平移m个单位长度於与矩形ABCDf交点K.1.VK1.平分矩形ABCD的面积二K在线段AB匕1.在线收CD上,如图4K(m.O).1.(2+m.-6)连接AC,交K1.F点H图4""SA<-S-S.ah(o2'SAHX=SACH1.VAK/71.CAHKCH1.1.=(任=(0)2=1.s4ch1.IchJh1.AH=CH,KH=H1.即点H为AC中点.也是K1.中点H(4.-3).m+2+m.=42m=3，旭物城平格的距离为3个单位长度.(.,ft本SS考告了矩形的性质，：次函数的图象与性砥，釉对称求公籍路短向翘，勾般定理，坐标系中求三角形Ifi1.B!.她物线的平移,相似:角形的判定和应刖，中点坐标公式.易错的用方彳!第(I)时对点D、C.B标位置的准确说明.第(3)题在点D左包I不存在满足的P在点D左例的讨他,第(4)内对K1.必过矩形中心的证明.17.加图，在平面直角坐标系中，*物蟆y=axj+bx+2(a0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左例),与y轴交于点C,It物线粒过点D(-2,-3)和点E(3,2),点P是第一象限於物线上的一个动点.(1)求直畿OE和It物线的表达式I(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标t(3)在(2)的条件下，当点P在I1.i物线对称轴的右例时，<ttDI：上存在两点M,N(点M在点、的上方)，且MNH20,动点Q从点P出发，沿PM+NA的路箱运动到终点A,当点Q的运动路程量策时，请宣接写出此时点、的坐标.【答案】IDyx-I,y=-xj+-x+2i(2)P<2,3)或)s(3)N-).222822【所】【分析】< 1)将点D、E的坐标代入函数友达式，即可求解；< 2)S1.,-owf=S<)eF*SApib=I×4×HI×PH×R0,即可求解：< 3)过点M作A'M7AN.过作点AH线DE的对称点A”,连接PA"交H线DEF点M,此时，点Q运动的路径最短，即可求解.【详解】-3=4a-2b+2(!)4,''.'I).I：?!:.!.,1cA>><.=,:<c.，Ce,航"：9a+3b+2=21a=,、2 3,",故抛物线的表达式为：y-x2*x+2.h=-2-2问理可得直找DE的表达式为：y=x-1.5<2)如图1.连接BF.过点P作PHy轴交BF于点H,将点FB代入一次函数友达式，同理可用直线B1.-的衣达式为：y=-1.t+1.,4设点P(X.-x*÷-x+2)>则点H(X,224S-oPF=Sobi÷Spf：B=×4×I÷×PH