专题04 一元二次方程及应用（解析版）.docx

专题04一元二次方程及应用 I【考点1】二元二次方程的根的求值问u 【考点2】配方法解一元二次方程 【考点3】因式分解法解一元二次方程专注03一元二次方程及由用【考点4】一元二次方程的判别式向S1.I【考点5】元次方程的根与系数的关系向Ii【考点6】一元二次方程的增长率向JS【考点7)一元二次方程的面枳问题【考点8】一元二次方程的销生何雄典例剖析【考点11一元二次方程的根的求值问Ji11】已知X=】是一元二次方程(m-2)+4*-/=0的一个根，则，”的值为()A.-1或2B.-1C.2D.O【答案】BKMtfr1.【分析】TW:把X=I代入G11-2)x'+4x-/=0,新,n-2.m.-.,再沱合元：次方程定义可得m的值【详解】愀把x=1.代入(m-2)/+4x-标=o得：m2+4m2=>nr+m+2=().得：m=2.m»=-1V(m-2)x2+4x-n2=0-1.二次方程.二m-2O.,m2/?»=-1.故选：B.BftJ8主要官壹了一元:次方程的解和定义,关健是注意方程二次Fi1.二:笈小等F().【支*111.已知关于K的一元二次方程(，”-1.)+3w+3=O有一实效根为-I,则该方程的另一个则康为【答案】TKAMFr1.【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-代入原方程如到关于m的一元二次方程,艇得m的值,然后根据元二次方程的定义确定m的值.t详解】帽:把X二I代入(/-1，.5+3nt+3=Onr-5m+4-O.n-1.n-4.V<11v1.)VO.：inI.：,m=4.,方程为9x412x3=O设另个根为a.则a：；.a=-1.3故答案为:-g.(AUfi1.本也考杳了一元二次方程的解：能使元二次方程左右两边相等的未知数的f是一元二次方程的解.乂囚为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根所以一元二次方程的解也称为一元：次方程的根.也考查r-元二次方程的定义.【支戈1-2.已知X-I是一元二次方程XjZAO的一个根，则代皴式,1+2ab的值是_【答案】IIMW1.【分析】把x=1.代入X=ax+b=O得到1.+a+b=O,易求a+b=-1.,将其能体代入所求的代数式进行求值即可.(ifft?Vx=I是一元二次方程x2+ax+b=O的一个根.*.P÷a+b=0ra÷b=-1.a2÷b2*2ab=(a÷b)2=<-I)2=1.考点2配方法解一元二次方程例2用IE方法解一元二次方程2a-2-3x-1=(),国方正确的是().【答案】A【呻】【分析】按照配方法的步骤进行求.解即可御答案.【详解】斜：2-3-1=0移顶处2x>-3x=,故选：AI点腑】本题考簧了配方法耕一元：次方程，配方法的一般步骤为把常数项移到等号的4边：（2）把：次项的系数化为I：（3>等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【支比21】.将一元二次方程X2-标-5=。化成*+）2=>（«,，为常数）的形式，则“，的值分别是（）A.-4,21B.-4,IIC.4.21D.-8,69【答案】A【呻】【分析】根据配方法步骤解题即可.【详解】解：X2-8-5=0移顶制/-8x=5f方得2-8+4?=5+16.即（X-4f21,=-4.h=21.故选：A【点Hf1.1.本题考查了配方法解一元二次方程,解题关键是配方:在二次项系数为I时,方程两边同时加上一次项系数一半的平方.【考点3】因式分解法解一元二次方程【例3】一元二次方程4x（x-2）=x-2的解为.【答案1.r=I或424【呻】【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可.【详解】4.r(x-2)=x-2当1.2=0Br,v=2.当X-2H0时4r=1.x=1.4故捽案为:户1.或户2.4(,Bfi本即考查解一元二次方程,本也关犍住于分情况讨论.【文去34】对于实数b.定义运算-O"如下6,=G+*)2-(“-)2.若(m+2)O(m-3)=24.则W=.【答案】-3或4【解析】根据鹿意都<wf÷2>+(m-3)J2-I(w+2)-(m-3>2=24,<2m-I)2-49=0.<2n-1+7)<.2m-1-7)=0.2m-1+7=0或2m-1-7=0.所以"U=-3.m>=4.故答案为-3或4.点口出本的考杳f解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易州是解一元二次方程最常用的方法.【文比3-2】.朗读题解，对于P-(M+D"这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式，xi-(2+1)x+11三r,-x-x+zj三x(x2-(.x-n)三x(x-«)(x+)-(x-11)=(x-n)(x2+nx-1).三MSt如果r5-(w2+1.)x+n=O,那么(x-n)(,x2+nx-1)=0.BP¾-x-11=0xi+nx-1=0,因此，方程1.”=。和Wn-I=O的所有解就是方程P(M+DX+”=。的解.解决问A1.求方程好-5*+2=。的解为.【答案】r=2或K=-I+I或X=-I-J.ff¼1.【分析】符原方程左边变形为幻-4x-x+2=0,再进一步因式分解得(x-2)IK户2-1)=0.据此弭到两个关于K的方程求解可得.【详解】解：Vr,-5.r+2=O.x,-4x-+2=0.：.x(x2-4)-(-2>=0.x(r*2)(x-2)-(x-2)=0,WJ(a-2)(x(x+2)-1.=0,即(-2><3+2v-I)=0,.F-2=0或x2+2x-1=0.解得x=2或X=-I±y2-福捽案为：x=2或X-1+应成-I-y2-【点断】此超主要考查-元:次方程的应用.耨牌的关健是根据超意找到解方程的方法.【考点4】一元二次方程的判别式问JB1X4.已知关于X的一元二次方程(，一1.)-r+1.=0有实效根，耳，的取值低是4K««m5J1.m4【所】【分析】根据1元.次方程的定义和根的判别式得到且：次项系数和，然后求出两不等式的公共部分即可.【详解】解：；一元二次方程有实数根.,.=1.-4×*0H1.吁1却,解得：m<5且m4,故答案为：m<5Hmi4.(.Hft本Sfi考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与Z=b24ac有如下关系：当><)时，方程有两个不相等的两个实数根：当A=OBh方程有两个相等的两个实数极：当<()时.方程无实数根.【文大生1】已知关于X的一元二次方程一一2x-0=0,有下列结论:当“>-I时，方程有两个不相等的实根:当0>0时，方程不可倦有两个异号的实W1.当1时，方程的两个实根不可能都小于h当。>3时，方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.以上4个结论中，正确的个数为.【答案】EAMfr1.【分析】Ih根的判别式.根与系数的关第进行判断,即可得到答案.【详解】的:根据即.旗,-元次力理x2-2x-4=0,：.-(-2);-4×1×(-)=4+4：二当4a+4>0.即>-1.时.方程仃两个不相等的实般：故正确:(4+4>0"H一1.<<O,方程。两个同号的实效I1.1.!i”>(HI"由'"""“个才。(X1x2=-a>0的实根：故错误；It物线的对称轴为：x=-=1.,则a>-1.时，方程的两个实根不可能都小I；故正确：1.h«>3.则a=Mi-2>3,解得:x>3或一1；故正期；,正确的结论有®：故答案为：。.(.tfi本的考查/:次次数的性质.一元.；次方程根的判别式，根与系数的关系，解髓的关键是掌握所学的知识迸行解题.【文人+2】.已知关于X的方程，-4+I=O有两实数根.(I)求k的取值瓶国I33(2)设方程两实数根分别为口、.，且一+=；0-4,求实数k的值.tm(1.>k3:<2>k=-3.【晰】由韦达定理可分别求出±+七,iXJX2的依内化简要求的式子，代入即可得解.【详解】解：由方程2x2+3x-4=0可知3一4,$+七=_.M%=5=-231.+1.=i±i=I=2x1x2X1X,-24故答案为：I,Hft本即考查一元：次方程根叮系数的关系,利用韦达定理可简便运R.【文义?”.对于实数a.b,定义运算"*,”*6=卜：一：制">,”例如4*2,因为4>2所以ab-b(a,b)4*2=42-4×2=8若yx：是一元二次方程M-8x+16=O的两个根，I1.N*&=.【答案】0【所】【分析】求出丁-8+16=0的蟀，代入新定义时版的友达式即可求解.【详解】怙:X2-8a+16=0解曲x=4.即X1.=X2=4.x,*x1=1.t,-¾2=16-16=0,故答案为：0.【点命】成二的I.要学较了根与系数的美系.时新定义的正确理解是解题的关谯.【支452】.已知关于K的一元二次方程,r2+(2m+)+,h-2=0.(!)设口罩H产量的月平均增长率为X,根据I月及3月的H产fit,即可列出方程求解.(2)利用4月份平均H产量=3月份平均日产Stx(1+增长率)即可得出答案.【详解】解：设口罩日产量的月平均增长率为X.依据鹿意UJ得：2(XMX)(1.+x)2=24200,解得：x=0.1=10%,Xz=-2.1(不合题I意舍去,.'.X=10%,答：口用H产出的月平均增长率为10%：<2)依据题意可得：24200(1+10%)=24200.1.=26620(个)，答:按照这个增长率，预计4月份平均11产片为26620个.【点明MSS考杳了一元二次方程中用长率的知风增长前的Rx(1+彳T坞唱匚=增长后的量.【文戈61.去年某商店“十一黄金周”进行促事活动期间，M六天的总营业为45。万元，第七天的曹业,六天总管业的12%.(I)求该商店去年"十一It金周”这七天的总业b(2)去年，该商店7月份的业项为350万元，8、9月份管业的月增长率相同.十一黄金周”这七天的总营业与9月份的营业相等.求该商店去年8、9月份营业象的月地长率.【答案】(1)万元：(2)20%.【丽】【分析】(1)根据“前六天的总营业1®为450万元,第七天的营业额是前六大总营业额的12%”即UJ求解：(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x,则卜一黄金周的月月业颤为35O(1.+x)2,根据“卜黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等“即可列方程求解.【详解】解：(I)第七天的营业额足450x2%=54(万元).故这七天的总营业额是450+4SOX1.2%=5O4(万元).答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元.(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为(I)根据俏伟裕的规律：SOO减去减少的数At即可求出答案:(2)设每千克水果售价为X元.根据题卷列方程解答即可:(3)设月初售利涧为y元,砰千克水果冉价为X元,根据题盒列函数关系式，再根据顶点式的数关系式的性侦解答即可.【详解】(1)“2；价为55启克时，Wii'",;,;为50O-IOX(55-50)=500-50=450，(2)设斑K克水果售价为Jf元，由SSK,得(X-40)500-10(X-50)=875().HIJ-IOx2+14(X)1-40()Oo=875().伊利.W-140x=-4875.限方,价(X-70=490()4875.钠3演=65,.q=75.二昔月俏您利润为元8750时,每千克水果代价为65元或75元(3)设月销也利近为.¥兀，年克水果售价为X元，iIi3:.f!J.v=(x-40)5(X)-IO(.r-5O),即F=-Iox2+140OX-40000(40.v100),配方，ffy=-10(-70)3+9(XK).-10<0.,当X=70时.)'仃最大值，i该优项水T的(丸信价为70元时，获将的月利润最大.W此翘考查一元二次方程的实际应用,顶点武二次函数的性质.正确理耨题意.根据遨意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算.压轴精练1.已知X“x：是方程F-3x-2=。的两根，J三r+xF的值为()A.5B.10C.11D.13【答案】D【师】【分析】利用根与系数的关系得到M+x2=3,1,=-2.再利川左全T，公式得到X；+*=(1+,)2-2,x,”3利用整体代入的方法计算.【详解】解：根据题意系N+xi=3.X1X,=-2,所以X；+=(x1+X,)2-2ix,三32-2×(-2)ss13.故选：D.(.Hft1.本SS甘杳的是一元二次方程的根与系数的关系,以及完全平方公式的变形,掌握以上知识是解题的关谯.2.一元二次方程-5x+6-0的解为A.x三2fX2三-3B.x三-29X2三3C.Xi=-2,X：=-3D.x=2,X23【答案】D【呻】【分析】利用因大分解法解方程.【详解】解：(X-2)(X-3>=0.X-2=0或X-3=0.*.x=2.X2=3.故选：D.【点肪】本题考查J'解-/C:次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分耨求出方程的解的方法.这种方法简便易用.是解一元二次方程投常用的方法.3.某年霰举办俄球友H赛，参赛的每两个队之间都聂比赛一场，共要比赛36场，则加此次比赛的球队数点附考杳元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面枳的形状是解决本即的突破点：得到种植面枳的长与变是解决本Ia的关逊.6己知等三角彩的两边长分别是一元二次方程*2-6X+8=。的两根，则该售三角形的底边长为()A.2B.4C.8D.2或4【答案】KAI1.Ir1.【分析】解元：次方程求出方程的解，汨出三角形的边长，川三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案.【详解】解：X26x+8=0<-4)(-2)=0斜得：x=4或x=2.坐等腰三角形的三边为2,2,4时，不符合三角形E边关系定理，此时不能狙成三角形；当等殷二地形的三边为2,4,4时，符合三角形三边关系定理,此时能组成;角形，所以三角形的底边长为2,故选：A.(.ttt1.本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能绯利斯三角形三边存在的条件是耕此题的关键.7.关于X的方程(X-I)(X+2)=z("为富数)根的情况下，下列结论中正确的是)A.两个正根B,两个负根C.正根，一个负根D.无实数根【答案】C【分析】先将方程祭PiI为一般影式.再根据根的判别式得出方程由两个不等的双数根.然后又根与系数的关系刊断根的正负即可.Mf解】解：(-I)(+2)=.整理得：x2+,v-3-p2=0.=1.2-4(-3-p')=4p2+13>O,.方程有两个不等的支数根，设方程两个根为M、X2,V.+x,=-1.,X1AT2=-3-Pz二两个异号，而且负根的绝对值人.故选：C.【点跖】本即考查了一元二次方程&+bx+D<00)的根的判别式=ZA4玫：当>().方程有两个不相等的实数根：当=(),方程有两个相容的实数极：<O,方程没有实数根.也考查了一元二次方程根与系数的关系:bcX+H=X1X,=-a'a8.用配方法解一元二次方程2x7*2=1的过程中，变形正确的是()A.2<x-1.)2=1B.2(x-1.)2=5C.(x-1.)2=D.(x-2)2=1【答案】C【所】【分析】首先将方程的未如数的项放在方程的左边,常数项放方程的。边，然后根据等式的性侦，方和两边都除以2,将：次4系数化为1.再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方I,然后左动利用完全平方公式分解囚式,右边合并同类项，即可得出答案.【佯情】2x-4x-2=1.,2x-4x=3.x2-2x=-.2x2-2x+1.=-÷1.2(X-If=B.故选C【点断】4；遨苦杏了配方法，熟练掌握配方法解元二次方程的般步骤及注点本项是好眼的关世.9.关于戈的一元二次方程(八2).r+6x+2+-2=0有f根是0,则人的值是.【答案】IAMFr1.【分析】把方程的根代入原方程得到r+北一2=0,解召k的俏,再根抠成立满足的条件进行取舍即可.详解】；方程伏+2)x2+6+2+-2=O½元二次方程,k+2().叩k2乂0是该方程的一个根，*2+-2=O.解得.*,=1,ki=-2.由于k*2.所以，k=1.故答案为：1.【点睛】本鹿考itJ'元：次方程的解.解此类时时，要报于观败己知的是哪"条件，从而仃针对性的巡Jf解甥方法.同时要注意元:次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方.1。.如果关于-V的一元二次方程x'-6x+m=0有实蚓，那么小的取值落圉是【答案】w9【所】【分析】由一元二:次方七E.，系较.J得：>0.从而列不等式可用答案.【详解】辞：关于X的无：次方程/一6、+，=0。实数根.,.=Z>2-4c0,'."a=,b=-6,c=n,.(-6)-4×1×0.,.4m36,:.m<9.故答案为：m9.(AUfi1.本的考杳的是-元：次方程根的判别式.掌握一元：次方程根的判别式是解泗的美城.11一元二次方程V2+2-8=0的两根为KM.则上+2>七+%=xIX237【答案】一一2【所】【分析】根据根与系数的关系表示出X+X2和中当即可；【详解】.2+2-8=O.,=1.b=2c=-8.bC：X.+X=-_=一2x.x,=一=-8.IZa,2H：.土+2.",+工=工+2KH,M-x2xx2/+W'.''?/.Nx2*_(-2)-2x(-8)+2x(_8)=_3737故答案为-与.2(fi本题主要考资了一元.次方程根与系数的关系.港确利用知识点化荷足解题的关键.12.已知关于X的一元二次方程V2-4三+3m=Oim>0)的一个根比另一个根大2,Mm的值为【答案】IK4W1【分析】利用囚式分解法求出XfJ可根据根的关系即可求解.【详解】”X2-4,MX+3nz=0(，">0)(x-3m)(x-m)=0：.x-3m=O或x-m=0解得x=3m,xj=m.,.3m-m=2解得m=1.故答案为，1.【点防】此跑主要考荏解一元二次方程,懈心的关犍是熟知因式分解法的运JIJF若关于X的方程r+ar-2=0有一个根是bWH=.【答案】I【所】【分析】根据一元：次方程的解的定义，把x=1.代入方程得到关于a的次方程，然后解此次方程即可.【详解】解:把X=1代入方程F+v-2=O得I+#2巾,解得a=1.故答案是：（.Hft本初考查了一元二次方程的解：能使元二次方程左九两边相等的未知数的值是一元二次方程的斛.14.关A的一元二次方程2/-4x+,"-g=O有实效根.则实效，”的取值德国是.7【答案】m-【所】【分析】方程行实数根，则4mo,建/关于m的不等式，求出m的取伏范用.【详解】解：由亚您知，=（-4-4x2XQH-）A0.f<72故浒案为m2（.Hft此翘考查广根的判别式.一元二次方程根的情况。判别式的关系：（I）>（）=方程力两个不相等的实数根：（2）=«0方程仃两个相g的灰数根：（3A<0o方程没有实故出.15.解方程，(1)/+x-1.=0(2)-2.v04x+1<5【答案】（IX=二!士：<2）（）<12（AMr1.【分析】<1）根据公式法求解即可：<2）先分别求祗个不等式，然后即可得出不等式蛆的解集.【详解】（I）由方程可得a三三1.b=1.C=-1._-b+Jb14ac_-1±V+4×I1-±J5X1.a271-2-：<2)解不等式2x0,得x0,解不等式4x+1.<5,Wx<.不等式的B*!t为Ox<1.【点瞒】本JB考IE了解一元二次方程和解不等式组，掌握运"法则是解JS关谯.16周配方法求一元二次方程(2工+3乂工-6)=16的实效根.“19-3539+353答案$=-X=-.4-4【所】【分析】g:杷方用化为可.入J9x-34V),然后变形为JX=17,然川沛"法解【详解】晚方程化为段形式为2x2-9x-34=0.x2-x=I7,2，981-8121616(x3#4169a35344所以=上芭亘X,="叵，,4*4.W本时考查/一元二次方程的觥法.耨一元二次方程常川的方法右直接开平方法.配方法.公式法.因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.17.已知，关于X的一元二次方程X、血2=0有两个实效根.(1)求，"的取值范B1.（2）设方程的两根为X”且!足（芭一天f-17=0,求，”的值.【答案】7）m0（2）9【所】【分析】< 1）根据题意可得>（），再代入相应数值解不等式即可：< 2）根据根与系数的1.v1+2-.x,=-2,根据（%-玉）2=（冬+七）2-4%超=17，1得/1m的方程,整珊后可即可解出m的值.【详解】< 1）根据题慰汨=<Wr，2-4×<-2）0,且m0,解得m6-811m0.故m的取值范围是meQ：（2）方程的两极为阳、公，x,+=-而，玉X1.-2V（X1-X2）2-17=0二（x2）2=（x+a）2-4x,xi=17即m+8=1.7mm=9.m的值为9.,H1本题主要考查r根的判别式,以及根与系数的关系.关健是掌握一元二次方程报的情况与判别式的关系：<）a>0o方程有两个不相等的实数根：（2）A=Oo方程仃两个相等的实数根：（3）AtVOo方程没疔实数根.以及根。系数的关系：K.X2是一元二次方程axfbx+c=O（a工0）的两根时,x+x2=-,XiFCa18.为了清足师生的阕读AB求，某校图书馆的看书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7«2万册.（1）求这两年书的年均增长率I（2）经观计知I中外古典名着的册数在2016年底仅占当时书总的5.6%,在这两年新埴加的图书中.中外古典名着所占的百分率恰好于这两年书的年均，长率，那么到2018年底中外古典名著的册占事书总*的百分之几？【答案】U)这两年戚书的年均增长率是20%；(2)到2018年底中外古典名著的册数占微杼总量的10%.【呻】【分析】(I)粗加网意可以列出楣应的元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年均增长率：(2)械械Sf1.您可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占僦书总眼的口分之几.【详解】解：设这两年陵珏的年均增长率是*.5(1+x)2=7.2.解得，M=0.2,X2=-2.21自去).谷：这两年藏竹的年均增长率是20%：(2)在这两年新塘加的图曲中,中外古典名著有(7.2-5)x20%=0.44<jff),SXS6%÷O44218年底中外古:设书总贵的门分比是：一4-×100%=10%.»/答：到2018年底中外古典名著的册数占僦书总量的10%.【点肺】本超考於元：次方程的应用，解答本时的关世是明确题意，列出相脚的方程，利用方程的知识解答，这是道典型的增长率问题.19.2019年在法国举办的女足世界杯，为人<*了一场足球盛宴.某商场H售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件M元，当售价为每件60元时，每个月可售出10。件.根福市场行情，现决定M债售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售饰为*元，每个月的浦猫为件.(I)求与*之间的函数关系式,(2)当每件高品的售价定为多少元时.每个月的利海恰好为2250元I(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利沟量大？大月利涧为多少？'I)V=220-Zn<2)当每件商品的售价定为65元或85元时,每个月的利润恰好为2250元:<3>当x=75.即件价为75元时,月利润最大,且最大月利润为2450元.*W1【分析】(I)根据月稻计等于涨价前的内销H.瓶去涨价<X-6O)与濯价I元每月少售出的件数2的乘枳，化简可得:(2)月销停录乘以每件的利润等于利润2250,解方程叩可：(3)麒犯SS意列出二次函数解析式，由顶点式,可如何时取汨鼓大伯及最大值是多少.【详解】(I)小题遇得.月销售fity=100-2U-60)=220-Ir(60<<I10,J1.x为正整数)答：>与1之间的函数关系式为)=220-Zr.(2)由趣意得：(220-Zr)(x-40)=2250化简得：.r-I50+5S25=0解得Xi=65,X2=85答：当每件商M的代价定为65元或85元时,每个月的利海恰好为2250元.<3)设每个月获得利润”元.I1.1.(2)如h，=<220-2x>(-40)-2xj+30Qr-8800：.w=-2Cr-75)1+2450二当x=75.即售价为7S元时,月利涧JR大,且最大月利涧为2450元.(.Hft此施考春元：次方程的应用，：次闲数的应用，解避关键在于理解期息得到等最关系列出方程.