人教版高数选修4-4第1讲：坐标系（教师版）.docx

坐标系1 .余建立极坐标系，并会在极坐标卜表示点.2 .能区分极坐标系和平面直角坐标系，并登记被坐标与直角坐标的互化公式.3 .会求圆心不同的圆的极坐标方程.4 .会在核坐标系中求出陋意宜城的方程.5 .能把柱坐标与直角坐标点的坐标互化.6 .驾驭球坐标与口角坐标中点坐标的互化。一 .平面直角坐标系.在平面上，当取定两条相互垂直的口战的交点为原点，并确定度最单位和这两条出设的方向，就建立了平面出角坐标系.它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x.y)确定.二 .坐标法.依据几何对象的特征，选取适当的坐标系,建立它的方程，通过方程探讨它的性质及与其他几何图形的关系,这就是探讨几何问时的坐标法.三 .伸缩变换.x'=A,>0.设P(x.y)是平面内角坐标系中随意一点，在变换6：,的作用下,点P(x.y,=y.U>0y)对应点P'(*',y'),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.四 .极坐标系的建立.在平面上取一个定点0.自点0引一条射规Ox,同时确定一个长度垠位和一个角度单位及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极限标系(其中0称为极点,射城Ox称为极轴).改M为平面内一点，极点O与点M的距离OM叫作点M的极径，记为P:以极轴OX为始边，射线OM为终边的用XOY叫作点M的板角，记为。，有序实数时(P.”叫作点M的极坐标，记作M(P,0).一般地，不作特别说明时，我们认为P»0,。可取随意实数.五 .直珀坐标与极坐标的互化.以直角坐标系的0为极点,X轴正半轴为极轴.且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的fx=pcos<?P=X+>'任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x,y)fi1.(p.>),则.或4VIy=。S1.natan。=上(XWO)kX留意:互化公式的三个前提条件<1)极点与直用坐标系的黑点重合：(2)极轴与直角坐标系的X轴的正半:轴H1.合；两种坐标系的单位长度相同.六.回的极坐标方程.(1)圆心在(a,0)(a>0)半径为a的01的极坐标方程为P=2acos。.(2)圈心在极点，半径为r的BH的极坐标的方程为P=r.七.直级的极坐标方程.1 .直线1经过极点,从极轴到直线1的角为3,则宜城1的极坐标方程为=.pGR.4b2 .过点RS.0)(a>0)且垂出于极轴的直线1的极坐标方程为PcosO=1.3 .H战1过点P(d,«。且与极轴所成的角为,则直规1的极坐标方程为PsinO=1.八.柱坐标系.建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间的就一点，在Oxy平面的射影为Q,用(P,»)(P0f0<0<211)表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组(P,<»(zWR)表示.把建立上述对应关系的坐标系叫作柱坐标系.有序数组(P.0.Z)叫作点P的柱坐标.记作P(p.«,z),其中p0.00<2X.zR.空间点P的口角坐标(x,y,Z)与柱坐标(P,。，Z)之间的变换关系为：x=pcos0九.球坐标系y=psjn建立空间面角%标H)fyz,设P是空间随意一点，连接OP,记Op1.=r,OP与OZ轴正向所夹的角为.PtfOxy平面上的射影为Q.Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为。，点P的位置可以用有序数组介，4»,。)我示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间板坐标系>.有序数组(r,Q)叫作点P的球坐标,其中rHO,O11,00<211.9，？，A*+V*+2*=r-空间点P的直角坐标(x,y,Z)马理坐标(r,砂份之间的变换关系为:X=/-sinc0sy=rsinsin6?z-rcos类型一.平面亶角坐标系中的伸缩交换例h由曲雄.r=tanx得到曲戏=31.an2x的伸缩变换为解析，(D设变换为,=>0,I/=tty，>。，3则/y=3tan29即y=-tan2x,与尸tan*比较，则有“=3,A=；,1X=RX,所以J2./=3y.1/2%例2求回F+y=4经过伸缩变换，一.'后的图形的方程.Ir=3代入*十V=4得+=1,即$+余=1.所以圆+=4在此伸缩变换下的方程若专答案:士+乙1636练习1,在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换,-3"Uy=y.求点尾，-2)经过中变换所得的点A'的坐标：(2)点8经过0变换后得到点8'(3,求点8的坐标：M1.fft(1)设点/(/,/).Ir'=3x'=3"由伸缩变换M得到.112/="y=/又己知点龄-2).于是<=3×=1./=×(-2)=-1.u4.变换后点小的坐标为(1.-1).(2)设双尸),由伸缩变换Mr得到产铲由于夕'(一3,，于是x=；X<3)=-1.y=2×4=1.»54.B(-1,1)为所求.替案.(1)(1.-1)(f1.).类型二求曲线的横坐标方程例3：中，底边比=o.na£n&以4为极点，加,为极轴求顶点力的轨迹的极坐标方程.*W»如图，设.4(".。)，在4.43内，则/4/Z=y,又=10,M=，,于是由正弦定理,得HT)10ff,Sirr7ff3>HPpsir-=IOsin-化简，得1点轨迹的极坐标方程为p=10+20cos<>.答案IP=10+20cos<练习h求羟过仅0.0),/(6,丹/62.三点的圆的极坐标方程.W.A,的直为坐标分别为(0,0),(0,6),66),如图，ZU如是以切为斜边的等腹.过这三点的期的圆心为阳的中点(3,3),半径二二/如=31.H的H角坐标方程为(一3尸十(y-3)2=18.即x2+y2-6-6y=0.Vx=Pcos0.y=Psin0.圆的极坐标方程为p!6p(sin«+cos")=。.=62cos>-j)答案：p=65cos("一1)Mt类第三横坐标与直角坐标的互化例4：(1)极坐标方程O'cos2。-20cosU=I表示的曲线是()A.圆B.椭囤C.抛物线P.双曲戏AI析t(1)由方程0"OS2-2。CoS。=1,得P“cos："一sin'2Pcos夕=1.x=0COSG又由互化公式y=psin0得-2=1,即(*一1)一了=2,此方程表示以(1,0)为中心,212P=X+>,焦点为£(-1,0)，6(3,0)的等轴双曲戏.案ID例岳依据卜列点的柱坐标，求(2,",3)a角坐标：IPMffi设戊的直角坐标为J,y,z)Ix=Pcos0=2cosr-=-/.rt.o.511,=PsinU=2s11-=1.62=3,因此所求点的面角坐标为(一5.1.3).答案t(一小,1.3)例6,已知点M的球坐标为(2,9,711)求它的曲角坐标.解析，设点的直角坐标为六Z).答案I点”的直角坐标为-1,1，-2)练习h依据下列点的柱坐标，求(m，jp.5)直.珀坐标:Ix=Pcos°=2cos"=1.)=Psin8=j2si11=I<故所求点的直角坐标为.答案i(1.15)练习2,点”的球坐标改为做3.x./）,试求点”的直角坐标.D3解析I设3的口角坐标为J,y,Z）.=rsin则Vy=rsinZ=/COS5n5113cos=3sin-r-cs-=".z.o.511.5113#sn=3s11-sin=-y-.,151133=3cosrT="2-.点M的宜角坐标为（小一乎.一呼答案：”的直角坐标为（*一乎，一平）薛习3:在极坐标系中，夕是曲跷0=1.2sin。上的动点，是曲线=12co（0一）上的动点，试求用的最大值.iWrVj=12sirH,.p:=12Psin<,.x÷-12y=0.!J+G-6）,=36.二P：=12。(CoSf1.cos-+sinOsi*)r+/63x-6j,=0,即”,一35+（y-3）'=36.PQ-.=6+6+33,+3,=18.答案：18).1.原点与极点重合轴正半轴与极轴理合则点（-5.-5百）的极坐标是（答案2.设点尸的直角坐标为（4.4.40）.则它的球坐标为（）.化成直角坐标方程为().B.+(y-2)2=4D.(z+2)s+=4答案，A3.曲线的极坐标方程为0=4CoS",A.+(r+2)1=4C.(-2)-+=1.答案IC4 .已知点尸的极坐标为(1.n),则过点。且垂直极轴的直线方程是().A.p=1.B.P=Cos»C.p=D./?=-COSVcos<答案：C5 .将极坐标方程P=COS。-2sin。化为直角坐标方程为()A. A；+y-x+2r=0B. +-2y=0C. +-2+.v=0D. x,+2-y=0答案：A6 .已知点M的直角坐标为(0.0,1),则点M的球坐标可以是()A.(1.0.0)B.(0.1,0)C.(0,0,1)D.(1,Jt,0)答案：A7 .在极坐标系中,点(2,高到直线PSin。=2的距离等于一则科由题意知，点(2.高的直角坐标是(小，1),11践"in"=2的宜角坐标方程是y=2,所以所求的点到面找的距离为1.答案，18,已知网的极坐标方程为。=4cos0,网心为，点一的极坐标为(4,£).则CP=.斛折,即P=Icos»的直角坐标方程为M+j2=4*,1.f1.1.心(X2,0).点尸的直用坐标为23).所以IcP=23.答案，2y9.已知点M的球坐标为(4,I，苧)，则它的直角坐标是,它的柱坐标是解析：殁M的直角坐标为(X,.%z),柱坐标为S,，z).则Xrsincos=4×sin×s=-2.y=rsinsin=4×sin×Sin竽=2,z=rcos=4×cos：=22.点V的口角坐标为(-2,2,22).2=Pcos。311又，Z=Psinff.解之得"=2y.0'z=22.z=22.点U的柱坐标为12乖，牛，22).答君(-2,2,22)(22,牛.22)基砒巩固1.己知点尸的柱坐标为e,j,),则它的直角坐标为().A.(2,1,1)B.(1.1,I)C.(2.2.1)D.(1.0,1)答案，B2.极坐标方程。=手(PNO)的宜用坐标方程是().4B. )r=-C. y=f(启。)D. ja(x0)答案，C3.10P=(cos"+sin勾的圆心的极坐标是().A闻B.（三）CWD.Qf)答案，A儿在极坐标系中，与园1"=4sin。相切的一条直战方程为().A.Psin0=2B.PgS9=2C.Pcos=4D.PCOSa=7答案IB5 .在极坐标系中，设圆P=3上的点到直线P(CoS¢+3sin。)=2的距离为d,则d的最大值为().5B.6C.4D.3答案，C6 .从极点作圆P'=2asin(*的弦，则各条弦中点的轨迹方程为答案tO=asin07 .极坐标方程分别为P=2cos0和P=Sin0的两个网的圆心柜为答热628 .已知曲G,G的极坐标方程分别为。cos"=3,P=Icos<>p0.()<-,则曲设£与。交点的极坐标为答案I'H瓜今实力提升9 .极坐标方方P=co?-可衣示的曲城是(C.抛物线D.网A.双曲线答案：D10.网P=Ji(Cos®+sin。)的网心坐标是()B.答案，A11.在极坐标系中，与圆0=4sinO相切的一条直级方程为A. psm=2答案，BB. pc(11=2C.PCoSe=4D.夕CoSe=-412.己知点人一2,-I)S(&.,'卜?(0.0)则AABO为(>A、正三角形B、百角三角形C,饯痢等腰(角形答案，DI3.0=gSMO)表示的图形是()4A.-条射线B.i条直线C.一条线段售案IA【)、巨角等腰三角形D.圆14.H线-与夕CoS6-)=1.的位置关系是A.平行B,垂直C、相交不垂直Dx与心有关,不确定答案：B15.马曲代PeoSB+1=O关于。=£对称的曲跳的极坐标方程是4答案：夕Sin6+1=O16.必8(7的底边8。=10,/八=：/我以8点为极点，BC为极轴.求顶点A的轨迹方程.2答案，解:设Af仿,。)是曲战上随意点,在A8C中由正弦定理得：%一=Ssin(-/9)sin-22得A的轨迹是：夕=30-40surg