五年级奥数第十讲数论之余数问题教师版.docx

第十讲：数论之余数问即余数问题是数论学问板块中另一个内容丰富，题目难度较大的学问体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数学问点，所以学好本讲对于学生来说特别重要。很多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理,)，与中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。学问点拨：一、带余除法的定义与性质一一般地，假如a是整数，b是整数(bWO),若有a÷b=qr,也就是a=bXq+r,Or<b5我们称上面的除法算式为个带余除法算式。这里：(1)当,=O时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当rO时：我们称a不行以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完备的带余除法讲解模型：中如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解b-1为被除数，现在要求依据b本一捆打包，则b就是除数I1.1.1.1.1.1.1.1.r1.的角色，经过打包后共打包了C捆，则这个C就是商，2本书最终还剌余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清楚的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数确定要比除数小。二、三大余数定理；1 .余数的加法定理a与b的和除以C的余数，等于a,b分别除以C的余数之和，或这个和除以C的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的利比除数大时，所求的余数等余数之和再除以C的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2 .余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等Ja,b分别除以C的余数的积，或者这个积除以C所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等J-3X1=3,当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以C的余数。例如：23,例除以5的余数分别是3和4,所以23X19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2.3 .同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，则称a、b对于模m同余，用式子表示为：a三b(modm),左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b,模11u由同余的性质，我们可以得到一个特别重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差确定能被m整除用式子表示为：假如有a三b(modm),则确定有ab=mk,k是整数，即In(a-b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于胆怯以前的计算结果丢失而常常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234+1898+18922+678967+178902=8899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为O这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,则上面这个算式确定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即假如这个等式是正确的，则左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数确定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的我并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用留意：弃九法只能知道原题确定是错的或有可能正确，但不能保证确定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0,但是明显算式是错误的但是反过来，假如一个算式确定是正确的，则它的等式2两端确定满意弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较困难的算式迷问题。四、中国剩余定理，1 .中国古代趣题:中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答日：“二十三此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，乂被称为“韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9943（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3,得9948（人）。孙子算经的作者与的确著作年头均不行考，不过依据考证，著作年头不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发觉得比西方早，所以这个问题的推广与其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ChineSeRemainderTheOrem）在近代抽象代数学中占有一席特别重要的地位。2 .核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦驾驭便可-通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.则我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。先由5x7=35,即5和7的最小公倍数动身，先看35除以3余2,不符合要求，则就接着看5和7的“下一个”倍数35x2=70是否可以，很明显70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，明显21可以符合要求。最终再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求，则所求的自然数可以这样计算：2×70+3×21.+2×45±（3.5.7J=233-i3.5.7J,其中k是从1起先的白然数。也就是说满意上述关系的数有无穷多，假如依据实际状况对数的范围加以限制，则我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件”满意上面条件最小的白然数”，则我们可以计算2*70+321+245-2X3.5.7=23得到所求假如加上限制条件“满意上面条件最小的三位白然数”，我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】例1保五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数”去除1992,得到商是46,余数是，求“和r.【解析】因为1领是。的46倍还多r,得至I】1992+46=43.14.fI992=46×43+I4,所以«=43,r=1.4.（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商”余32,求甲、乙两数.【解析】（法D因为甲乙x1.1.+32,所以甲+乙=乙1.1.+32+乙乙1.2+32=1088;则乙=（KKW-32）+12=88,甲=IO88-乙=1000.（法2）将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到乙数=1056+12=88,甲数=I（KS-SS=KXK）.【虱国】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【好新】本题为余数问题的基础题型，须要学生明白个重要学问点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数：或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数，而273=3X7X余,所求的两位数约数还要满意比37大，符合条件的有39,91.【例2】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2U3,则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113,所以被除数+除数=2083,由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)÷(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968.【我国】用一个自然数去除另一个自然数，商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。依据题意设两个自然数分别为,y,可以得到卜=40.：16方程组得卜二：56,即这两个自然数分别是856,21.【例31(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是【解析】设所得的商为,除数为，).(1.9+,)+(2M+>)+“+勿=2(X)1,7%+劝=2(X)1,由Z><19,可求得=27,/>=10.所以，这三个数分别是19“+。=523,2M+)=631,3k+>=847o【观(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是【解析】设这个自然数除以11余(04v1.D,除以9余b(04bv9)，则有1.1.+=9劲+b,即M=7。，只有a=7,/>=3,所以这个自然数为12x7=84。【例4】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小学友，已知其次组比第一的多5人.假如把书全部分给第一组，则每人4本，有剩余；每人5本，书不够.假如把书全分给其次组，则每人3本，有剩余；每人4本,书不够.问：其次组有多少人【解析】由48+4=12,48+5=9.6知，一组是10或I1人.同理可知48+3=16,48+4=12知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人.【联国】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数确定大于13x6=78,并且小于13(6+D=91.:又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78+5=83.【模块二：三大余数定理的应用】【例5】有一个大于1的整数，除45.59.IO1.所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告知我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，依据同余定理，我们可以得到：这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公约数.101-45=56，59-45=14,(56.14)=14,14的约数有1.27.14,所以这个数可能为27.14。有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法D39-3=36,147-3=144，(36.144)=12,12的约数是123.4612,因为余数为3要小于除数,这个数是4.6.12:(法2)由于所得的余数相同，得到这个数确定能整除这三个数中的随意两数的差，也就是说它是随意两数差的公约数.51-39=12»147-39=108.(12,108)=12,所以这个数是4,6.12.<在小于Io(X)的自然数中，分别除以18与33所得余数相同的数有多少个(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为18,33=198,所以每198个数次.1198之间只有1,2,3,，17,198（余0）这18个数除以18与33所得的余数相同,而999÷198=59,所以共有5X18+9=99个这样的数.<1（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和.则这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】设这个三位数为一它除以17和19的商分别为和，余数分别为,”和“，则,=17<+m=1.9÷11依据题意可知a+I=+，所以+，即1&f=1助，得Sa=Ob.所以。是9的倍数，是8的倍数.此时由+I=+知"=4-）=-号.99由于S为三位数，最小为100,最大为999,所以10017o+mM999,而IMmG6,所以17+11.74十7999,100W17.m17.+16,得到558,而"是9的倍数，所以最小为9,最大为54当=54时,”-,”=。=6,而”M18,所以.M12,故此时S圾大为17x54+12=930：9当“=9时，"-m=1.,由于?21，所以此时S最小为17x9+1=154.所以这样的三位数中最大的是930,域小的是154.【例6两位自然数ah与仅,除以7都余1,并且“>，求ah×f×t.【解析】ah-Ixt能被7整除，即（10«+）-（10/>+“）=9><（0-/>能被7整除.所以只能有7»则%可能为92和81,验算可得当i=92时，后=29满意题目要求，而X而=92x29=2668KM1.学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，假如将这三种物品平分给每个班级，则这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以118,67.33余数相同的数.则可知该数应当为118-67=51和67-33=X的公约数，所求答案为17.【观】（2000年全国小学数学奥林匹克试题）在除13511,13903与14589时能剩下相同余数的最大整数是.【解析】因为13903-13511=392,14589-13903=686.由于13511,13903,14589要被同一个数除时，余数相同，则，它们两两之差必能被同一个数整除.（392.686）=98,所以所求的最大整数是98.【例71（2003年南京市少年教学智力冬令营试题）2、“与2003?的和除以7的余数是【解析】找规律.用7除2,232i,2322",的余数分别是2,4,1,2,4.1,2,4,1,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1：2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4.因为2=y2,所以2刈除以7余4.又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以2003邛余以7余1.故2皿与20（讲的和除以7的余数是4+1=5.F（2004年南京市少年数学智力冬令营试题）在1995,1998,2000,2001,2003中，着其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有组.【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.因为2+5=2+5+0=7,2+5+3+6=0+2+5+3+6=7+9,所以这样的数组共有下面4个:（2000,2003）,（1998,2000,2003）,【例8】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整数，用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,则这个整数是.【解析】（70+110+160）-50=290,50+3=16.2,除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58,110+58=1.52,52>50.所以除数不是58.70÷29=2.12,IIO÷29=3.23，I6O÷29=5.15-12+23+15=50.所以除数是29【仪（2002年全国小学数学奥林匹克试题）用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,则D=【解析】n能整除63+91+129-25=258.因为25+3=8.1,所以n是258大于8的约数.明显，n不能大于63.符合条件的只有43.【观】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球竞赛,规定每两人竞赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.则打球盘数最多的运动员打了多少盘【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,1。则随意两名运动员的竞赛盘数只须要用2,0,2,1两两相加除以3即可。明显126运动员打5盘是最多的。例9(2002年小学生数学报数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典.一看定价才发觉有5个人带的钱不尊，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱决在一起恰好可买1本.这种成语大词典的定价是元.【解析】六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另人带的钱除以3余1.易知，这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是(14+17+18+21+26)+3=32(元).【观事】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别就15,16,18,19,20,31千克，两个顾客买走了其中的五箱.已如一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，则商店剩下的一箱货物重:是千克.【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数.(15+16+18+19+20+31)+(1+2)=119+3=39.2,剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20千克.【例10求2461x1.35x6("7+I1.的余数.【解析】因为2461+11=223.8，135+11=12.3,MM7÷11=549.8.依据同余定理（三），2461xI35x6(M7+1.1.的余数等于8x3x8+11的余数，而8x3x8=192,192+11=17.5,所以2461x135x6047+11的余数为5.【观事】(华罗庚金杯赛模拟试图求47821)63S1.除以17的余数.【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数.47829635I除以17的余数分别为2,7和11,(2x7x11)+17=9.I.【观国】求3叼的最终两位数.【解析】即考虑3叱除以10。的余数.由于100=4x25,由于3j=27除以25余2,所以3"除以25余8,3",除以25余24,则3*除以25余1：又因为32除以4余1,则3»除以4余1；即3&-1能被4和25整除，而4与25互质，所以32-1能被100整除，即料除以100余1,由于I997=2O×99÷I7,所以除以100的余数即等于3”除以100的余数，三3ft=729除以100余29,3'=243除以100余43,3=(3">23所以3”除以100的余数等于29x29x43除以100的余数，而29x29x43=36«除以100余63,所以3皿除以100余63,即3一的最终两位数为63.【观事】举二2除以13所得余数是2dX>t2【解析】我们发觉222222整除13,2000÷6余2,所以答案为2213余9。【乱】求143”除以7的余数.【解析】法一：由于1433(mod7)(143被7除余3),所以143tw=V(nx1.7)(I43'v被7除所得余数与y被7除所得余数相等)而3"=729,729-1(mod7)(729除以7的余数为1，IU3w=36×3*x×3*×3*=3s=5(mod7).而故M*除以7的余数为5.法二：计算十被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表:3'3j3,3"3,363'mod732645I3于是余数以6为周期改变.所以3/=T=5（mod7）.【虱】（2007年试验中学考题）f+7+3+200-+2002除以7的余数是多少？【解析】由于I、？、?、+2P+UXf1.z=22×23x4b=1001.X23×1335»而1001是7的6倍数，所以这个乘枳也是7的倍数，故3。+2001，+2002?除以7的余数是0:【虱】（31»+”，）被I；除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时5,被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,12,8,1-以4为周期循环出现,所以5”被13除的余数与口被13除的余数相同，余12,则3产除以13的余数为12：30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时，4被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期循环出现，所以4"被13除所得的余数等于4被于除所得的余数,即4,故30”除以13的余数为4；所以（3产+3On）被13除所得的余数是12+4-13=3.【观事】（2008年奥数网杯）已知“20082008200S,问：“除以13所得的余数是多少？【解析】2008除以13余6,100Oo除以13余3,留意到282O）8=28×1.（XX）O+2008:依据这样的递推规律求出余数的改变规律：20082008除以13余6x3+6-13=11,2除以13余1.x3+6-39=O,即2是13的倍数.而20(然除以3余1,所以“=2(X)820082(X)X除以13的余数与2008除以13的余数-H1141G5-相同，为6.KM1.也卫除以41的余数是多少？*eimt7【解析】找规律：7+41=7，77÷4!=.36r777+41=39，7777+41=.28,77777÷41=0.,所以77777是41的倍数，而1996+5=399I,所以777777IQW-I-T可以分成399段77777和1个7组成，则它除以41的余数为7.<)1.,+23'+4+20()5屈除以10所得的余数为多少？【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的吊方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把全部加数的个位数按每20个(20是4和IO的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应当是一样的.首先计算1'+2；+3'+4、+20jo的个位数字，1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的个位数字，为4,由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4x100=400的个位数即0,另外5个数为200产、2002皿、2OO3x,2004f2OO52tta,它们和的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3.【例U1.求全部的质数P,使得4".1与6/I也是质数.【解析】假如p=5,则4p?+I=IO1,6/+1=151都是质数，所以5符合题盍.假如P不等J-5,则P除以5的余数为1、2、3或者4,一除以5的余数即等于1.2。或者干除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种状况.假如:除以5的余数为1,则4p；1.除以5的余数等于4x1.+1.=5除以5的余数，为0,即此时4p?+I被5整除,而4-+1大于5,所以此时4b+I不是质数:假如一除以5的余数为%同理可知6/+I不是质数，所以P不等F5,4+1.与6p1.至少有一个不是质数，所以只有5满意条件.【观】在图表的其次行中，恰好馍上89灾这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3.【解析】因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积,因此原题中的89-98可以改换为1.1.0,这样上下两数的乘积除以11余3就简单计算J'.我们得到卜面的结果:进而得到木题的答案是:(2000年“华杯赛”a>h>c)t在校对时，发觉右边的积的数字依次出现错误，但是知道*终一位6是正确的，问原式中的而是多少?【解析】由于234235286=2+3+4+2+3+5+2+8+6=8(mod9)，abc×1.<×atb(+Z>+c),(mod9)，于是(+>+c)'=MmOd9),从而(用rt+c=0.1,2.Jmod9)代入上式检验)a+c三2,5,8(mod9)，对“进行探讨：假如=9,则+c=25.8(mod9)(2),又CXaX的个位数字是6,所以>xc的个位数字为4,bxc可能为4x1、7×2,8x3、6x4,其中只有(EC)=(44M&3)符合(2),经检脸只有983X839X398=328245326符合题意.假如“=8,则+c=36(Xmod9)，又6<的个位数字为2或7,则bc可能为2x1、4x3、6x2、7x6、7×1.其中只有仍.c)=(2J)符合(3),经检验,而=821不合题意.假如=7,R1.Ji>+c三4,7,1.(mod9)-(4),则匕XC可能为4/2、6x3,其中没有符合(4)的(b.c).假S1.ag6,MJ5.c4,五X后<7600X500210000000<2223X586，因此这时而不行能符合题意.综上所述，区=983是本题唯一的解.【例12】一个大于1的数去除290,235,200时，得余数分别为“，+2,+5,则这个自然数是多少？【解析】依据题意可知，这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数(都为。).既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中随意两数的差除以这个数确定余0.则这个自然数是290-233=57的约数，又是233-195=38的约数，因此就是57和38的公约数，因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19.1一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】这个白然数去除90、164后所得的两个余数的和等;这个白然数去除90+3=254后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个白然数是254-220=34的约数，乂大于10,这个白然数只能是17或者是34.假如这个数是34,则它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件:假如这个数是17,则他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件，所以这个自然数是17.【例13甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数人除甲数所得余数是八除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求人等于多少？【解析】依据廖意，这三个数除以八都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：由于仆驾,A-25.要消去余数小,4,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减.这样我们先把其次个式子乘以2,使得被除数和余数都犷大2倍，同理，第三个式子乘以4.是我们可以得到下面的式子：6O3÷K,彳(9392)+A=2K:24(393×4)÷=2K,"这样余数就处理成相同的.最终两两相减消去余数，意味着能被A整除.51的约数有1、3、17、51,其中1、3明显不满意，检验17和51可知17满意，所以A等于17.【我国】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是4+5、%、“，求这个自然数和”的值.【斛析】将这些数转化成被该白然数除后余数为勿的数：(429-5)2848,791、5002=10,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是为，故同余.将这三个数相减，得到848-791=57、IO(Io-848=152,所求的自然数确定是57和152的公约数，而(57,152)=19,所以这个自然数是19的约数，明显1是不符合条件的，则只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、2、5«)所得的余数分别为11、12、6,a=6时成立,所以这个自然数是19,36.【模块三：余数综合应用】【例14网名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以依据余数定理将装波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0,2、2、1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是1.与第一项和其次项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.【观事】（2009年走美初春六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？.【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数.所以这串数除以5的余数分别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,可以发觉这串余数中，每20个数为一个循环，旦一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数.由了2009+5=4014.所以前2009个数中，有401个是5的倍数.【例15（圣彼得堡数学奥林匹克试题）托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数.现知这三余数的和是15.试求该数除以18的余数.【解析】除以3、6和9的余数分别不超过2,5,8,所以这三个余数的和恒久不超过2+5+8=15.既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2,5,8.所以该数加1后能被3,6,9整除,而3.6=18,设该数为。，则=18m-1.,即“=18（,”-1）+17（m为非零自然数），所以它除以18的余数只能为17.M1.（2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题）一个家庭，有父、母、兄、妹四人,他们随意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100,父亲岁数最大，问：母亲是多少岁【解析】从随意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1,就知四个岁数都是弘+1型的数，又是质数.只有7,13,19,31,37,43,就简单看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁./【例16】（华杯奏试题）如图，在一个圆的上有几十个孔（不到100个），小明像玩跳棋那样，从八孔动身沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一以后能跳回到A孔,他先试着每隔2孔跳一；：步，结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最终他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个BSI上共有多少个孔吗【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3,4,，B孔的编号就是圆圈上的孔数.我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上很简单看出应在1,4,7,10,-上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1.按题意，小明最终跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1.同样道理，每隔4孔跳一步最终跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最终跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数.假如将孔数臧1,则得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数.这个15的倍数加上1就等于孔数,设孔数为,则娘（m为非零自然数）而且能被7整除.留遗15被7除余1,所以15x6被7除余6,15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出，15的其他（小的7）倍数加1都不能被7整除,而15x7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔教只能是15×6+1=9.【我国】（1997年全国小学数学奥林匹克试JS）将12345678910”3.依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，则此数除以9的余数是.【解析】木题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和.1-9共有9个数字，10-99共有90个两位数，共有数字：90x2=180（个），100-999共900个三位数，共有数字：XX）3=2700（个），所以数连续写，不会写到999,从100起先是3位数,每三个数字表示一个数，（1997-9-180）+3=6022,即有602个三位数，第603个三位数只写r它的百位和十位.从100起先的第602个三位数是701,第603个三位数是9,其中2未写出来.因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702÷9=78（组），依次排列后，它仍IU能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为92=7.【例17】设2"+1是质数，证明，F,2,，“被2+1除所得的余数各不相同.【解析】假设有两个数a、b,(1“")，它们的平方。31.被2+I除余数相同.则,由同余定理得«'-b三(Xmod(2n+1.)>BP(-bX+Z>)=0(mod(2n+i)»由于211+1.是质数,所以+“(Xmodj+D)或“三(X三k2rt+1),由于“+/>,“-Z>均小于2"+1且大于0»可知,+b与2w+1.互质，-也与2"+1互质，即+0,-b都不能被2+1整除，产生冲突，所以假设不成立，原题得证.<f1.1.试求不大于100,且使307”+4能被11整除的全部自然数n的和.【解析】通过逐次计算，可以求出3,被11除的余数，依次为：丁为3,3；为9,一为5,3”为4,3,为1,，因而¥被11除的余数5个构成一个周期：3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,；类似地，可以求出7。被11除的余数10个构成个周期：7,5,2,3,10,4,6,9,8,于是3"+7+4被11除的余数也是IO个构成一个周期：3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,：这就表明，每个周期中，只有第3、4、6个这三个数满意题意，即”=3.4.6.13.14.16.93.94.96时3"+T+4能被11整除，所以，全部满意条件的自然数11的和为：【观国】若，为自然数，证明U产-1，).【解析】10=2x5,由于产与产的奇偶性相同，所以2|(产-产)./«5=尸9),假如。能被5整除，则W"-);假如不能被5整除,则“被5除的余数为1、2、3或者4,/被5除的余数为r、2"、3,