2024年抛物线及其性质知识点大全.docx
抛物线及其性质1.抛物线定义，平面内到定由F和条定n跷/的距圉相等的点的轨迹称为抛物戏.2.抛物线四种原则方程的几何性质:W至泮市参数P几何意义参才£P表达焦点到准”的距离，P越大，开D越风.开口方向右左上T标准方«y2=2px(p>O)yJ-2px(p>0)X2=2py(p>O)X2=-2p'(p>0)焦点位XX正XY正Y负候点坐标(f.)(-f.o)(0.争(0.-争发螟方«x-P2X=B2y=-2aJ2范围xO,yeK0.)gyO.XGCyO,.vs?对称牯XHXH丫轴YIf1.点坐标(0.0)离心隼e=1.通胫2p焦半径AaI,*>AF=X.+-'2AF=F+巴2AF=到+卷"=f+焦点破长A8(X1.+,)+>Tx1.+占)+0(y+y1.)+p-G；+)、)+，焦点就MIABj的补充Aa,y)B(x2,y2)认为AB直径的阳必与准线/相切若A8的简好角为a,4时-工1.-1sin'若48的倾轩角为.Si1.=-cos,aP2，2s1->y=-pIIAF+BFAB2AFBFAFBFAFBFp3.Ii物线N=2px('>0)的几何性项:虽然解析法使几何学汨到长足的发展，但作之而来的却是玳以防止的繁杂计修，这又使得许多考生对解析几何习题里而生畏.针对这柠现实状况，人们研究出多种使计状大幅度减少的优秀措施，其中最仃成效的就是几何法.【例6】Q1.全国1卷.11）苑物线f=4.r的焦点为F,准税为/,通过F且斜率为3的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点4.AKJJ,垂足为K.嘱AAKF的面积（A.4B.33C.43D.8【解析】如图在跷AF的斜率为JJ时NAFX=60。.AFK为正三由形.设准线/交X轴于0则IEWI=P=2IINKF期=60',.K日=4,S1AjrF=立x42=4J.选C.4【评注】（1）平面几何知识:边长为a的正三角形的面枳用公式SA=立计算.4<2>木胭假如用解析法，制先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面枳.虽不是很难，但决没有如上的几何法简朴.（3）定义法一追本求JI的简朴T许多解析几何习题咋存起来很难.但假如返朴归口，用最原始的定义去做,反而尤其简朴.【例7】（07.湖北卷.7起）双曲线52C1-=1.（>O.b>O）的左准线为/.左供点和右焦点分别为耳和鸟：抛物线C?的戏为/.焦点为A：G与仁的一种交点为M则坞-C驾等于（）附耳I1.ME1.(I)求抛物战的焦点尸的坐标及准线/的方程:（三）若。为锐角，作线段48的施H平分线用交/X他于点R证明IFPHFpIeQS2«为定位，并求此定值，【解析】(I)焦点F(2,0),准线1.x=-2.(11)三,找AB：y=tan(x-2)(1).X=1.代入1，整虾；y2tana-8j-16tana=0(2)X8设方程(2)之二根为y,，如则,itana.,y1yj=-16V+%:.4=,设AB中点为M(XQb)，则"2tanax0=cotay0+2=4cota+2B的垂直平分线方程足：.y-4cota=-coia(x-4cot：a-2).>y=0.yj9x=4coi2a+6,j7,(4cot2a+6»0)故Im=IOpITO日=4co1.2a+6-2=4(aa+1.)=4coa于是FH-IFP1.CoS2"=4csc'a(1.-cos2«)=4csc;a2sin'a=8,故为定(S.(5)消去法一合理或负的常用措*.防止解析几何中的繁杂运灯,是革新、创新的永恒课咫.其中最色得推荐的优秀措施之便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】与否存在同步满足下列两条件的直线/：(1)/与岫物线V=8x彳I两个不一样的交点A和B：(2)线段AB被直线小,5y-5-0垂比平分.若不存在.阐明理由,若存在.求出直线/的方程.【解析】假定在抛物城=8上存在这样的两点Aa,y）,Bxi,乃）.则仃:.>2=8-W=8x2(X+)(y。J=8(-1-x,)=>Iab=(Ff)8(M一再)(y>+y2)1X.线段AB被直线小x，5y-£0垂直平分,且勺=-：，./=5,即7;=55（y.+yJ8=>y+><2=5设统段AB的中点为M（小，yi1.）,则为=生产=.代入x+5y-5=O得x=1.于是:25AB中点为何；1.,1故存在符合题设条件的直线,其方程为:y-=5(x-1.).UP：25x-5y-21=O5（6）探秘一奔向数学指Ni的高深层次有某些解析几何习咫，初看起来好似“树高萌深，叫椎夫难如下手”,这时就得冷弹分析，探索规律，不停地猜测一一证明一一再猜测一一再证明.终于发现“无限风光在除峥【例10】（10.安徽卷.14题）如图,跄物线y=F+1.与X粕的正半轴交于点A,将线段“八的"等分点从左至右依次记为叫,尸、,凡,过这些分点分别作X轴的垂线,与他物税的交点依次为Q,Q2.,Qn,从而得到个口.角三角形AQQPi,Q2PtP2.-.山,小0.当”一8时，这些三角形的面积之和的极限为.【解析】YOA=1,，图中每个且角三角形的底边长均为,n设OA上第k个分点为Pi代入,=-2+1：y=1.-.第k个三角形的面积为：4=311-提）.c-I1.In2÷22÷-÷(«-f1.(«-)(÷)-五_(f故这些三角形的面积之和的极限S=IinJ1-1.imf1.-Y4÷1.=1.*-*I2h*1.2n->°tiVn),nJ3
