模型虽小作用大——对微课《三角形中的折叠问题》再认识.docx

模型虽小作用大对微课三角形中的折费同再认识摘吴：初一的学生刚学习几何，对于几何的推理过程颇感吃力，尤其是对一些基本的几何模型应用，更是存在很多不足，通过一个基本模型引出其它的基本图形，把初一的几个难点化整为零，各个突破。关使创：微课、小红旗模型、视型、金鱼型、几何模型初一的几何学习对于大多数学生来说难度比较大，教师应该从整体出发，把初一的几个难点问题化整为零、各个突破。从知识、技能、方法等方面展开，既要使知识有个“基本点”（基本图形），乂要使知识有个“生长点''即变式。对知识进行归纳，再总结，深入理解图形间（知识间）的关系。让学生建立系统的数学知识体系，促进学生有效学习：提升学习效率,将雯杂的几何图形分解成博本的几何模型，便于学生学习消化，尽量做到小坡度底起点，循序渐进；做到模型虽小，知识不小，内容虽少，但牛.长点不断。鉴于模型的特点，为达到便于学习的目的，之前借助“微课”对新苏科版初一内容“三角形外角等于和它不相邻两个内角的和”这个知识点出发，做了一个“微课”三角形中的折叠问题?，让不同的学生根据自己的基础水平和接受程度反史观看视嫉。主动研究，最终达到很好的学习效果。卜面以“微课”三角形中的折登问题为例,再谈一谈“小红旅”几何基木模型的应用。一、微课”三角形中的折登折直问题”1、“小红旗”模型“三角形”的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即NDBC=NA+NC即“小红米”模型是初中重要的几何基本模型。通过角的转化,是解决求角关系中的重要的工具，而从史杂的图形分离出“小红旗”模型，是初一几何中的瓯点,亦是难点。2,适用对象：“小红旗”模型适用于初一卜学期学完三角形内角和与外向和之后的各学段的学生，是求角的度数和角关系中常用的几何模型。这就要求学生能从亚杂图形中分离出基本的数学模型，时解决问题有化繁为简的效果03、教学分析（1）教学内容“小红旗”的本质是一个重要的几何模型，而数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式,“小红旗”是角号角的位置与数量关系一种表现形式，这类问理的核心是“建模思想”，关键是能从复杂的图形中分高出此模型，从而找出角与角之间的数量关系！（2）教学方法本节.微课按照从特殊到般的方法探索角与角之间的数量关系。经历观察、实验、归纳、推理、应用的过程.让学生掌握基本图形，渗透“建模思想”，最后对模型进行变式反思和升华。（3）学习方式三角形中的折叠问题以微课形式呈现，用两种学习方式：学生自己在家观看视顽，可随时河停，独立思考，再听分析和解答，把未能听惯部分内容记录，集体讨论。集体观看视频，独立思考，再再与小组内成员讨论或与老师交流.而本节课的内容以史习课的形式来完成。4、教学过程（1）由三角形内角和定理引入在学习：角形内和定理时，我们是通过作平行线来说明，如图所示，同时也说明了“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可得“小红旗”模型“小红旗”模型的证明过程：方法一：过C作CE/AB，ZA=ZACEZB=ZECD/.Z+ZB=ZECD+ZACE即NACD=Z+ZB方法二：,.NA+NB+NACB=180°：.Z+NB=I80-NACB/ACD+/ACB=I80°：.NACD=180°-ZCBZCD=ZB+Z二、“小红旗”模型应用：1,得出“8字”模型(1)AB.CD相交于点0,连接AD、CB.我们把形如图【的图形称之为“8字形”.则/A、/B、/C、/D四个角之间有何等属关系？请说明理由。由小幻：於模型可得：ZAOC=Z1VZDZAOC=ZB+ZC.A+D=C+B(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个：(3)在图2中，若ND=40°,ZB=360,NDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M,N.利用(1)的结论，试求NP的度数:解:AP和CP分别平分/DAB和/BCDZDAP=ZPAb,NDCP=NpCB(1)可得：ZD+ZDP=ZP+ZDCP/B+/PCB=/P+/PAB.D=40",ZB=3640°+36°+ZDP+ZPCB=2ZP+ZDCP+ZPAB即NP=38°(4)如果图2中ND和NB为任遨角时，其他条件不变，试问NP与ND、ZB之间存在着怎样的数量关系.图2解：VAp和CP分别平分NDAB和/BCD：.ZDAP=ZPB,ZDCP=ZPCb由可得：D+/DAP=NP+/DCPZB+ZPCB-ZP+ZPAB:.ZD>ZB+ZD,AP+ZPCB=2ZP+ZDCP+ZPAB即ZD+ZB=2ZP拓展提高:己知，如图，BP,CP分别平分/ABC和/ACD,试说明：/P与/A之间的数量关系.解：，：BP,CP分别平分NABC和NACD,NDBP=NPBc,ZACP=ZPCd由(1)可得：NA+NABP=NP+/ACP由“小红旗”模暨可得PBC+/P=/PCDNA+NABP=NP+NP+ZPBC即NP=iZA链接中考:如图，ABE和ZSACD是ZsABC分别沿着AB,AC边翻折1800形成的,若/的度数500,则/DAB的度数是50。.解析：（I）由折叠可得：D=ABC-ABE由“8字”型可得：N1NDFB=NABE+NDAB由此可得：ZDFB=ZDAb由对顶角相等可得:NDFB=4%即NDAB=N8=50°(2)由“小红旗”模型可得：No=NEBC+NDCB=50°由折段可得：NEBA=NCBA,NDCA=NBCA,ZBAC=ZDC则ABC+ACB=25°由三角形内角和180°可得：ZDAC=NBAC=I55"则ZDB=50o2 .得出“规”型(1)已知，如图，在凹四边形ABpC中，试说明：/BPC与/八，ZB,ZC的数量关系.解：延长Bp交ACr点E由小红旗模型可得：ZA+ZB=ZBECZC+ZBEC-ZBPCZA+ZB+ZC=ZBPC感悟：通过添加辅助线把原图形分割成两个“小红旗”模型，利用它的结论可以很快得出几个角之间的数量关系。(通常把图3称为“规”型，结论为：A+B+ZC=BPC)拓展提高：已知如图,B1.CP分别平分NABC和NACD,试说明：ZP与NA之间的数量关系.解VBP,CP分别平分/ABC和/ACB,.NABP=NPBc,ZACP=ZPCb由规型可得：NA+NABP+/ACP=NBPC,：.NABP+NACP=NBPC-NA,VZBPC+ZPCB+ZPBC-180./PCB+/PBC=I80-/BPC.NBPC-NA=1800-ZBPC即BPC=90°-；NA,3 .得出三角形折叠模型(1) .如图，将八BC纸片沿DE折段，使点A落在边AC上点A'的位置,探索/A与N1.之间的数量关系，并说明理由分析：从图中能看出一个“小红旗”基本模型,由此可得:ZBDA,=NA+NDA'A由折叠可得：/A=/DA'AZBI),=2A解题过程略.变1.如图，将AABC纸片沿DE折登，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置,探索NA与N1+N2之间的关系,并说明理由.解析：可以由N1+NAEV=180°Z2+ZADA,=180°/、.由四边形内角和360°可得：ZA+ZA'+ZAEA'+ZAD,=360。即：Z1+Z2=2ZA连接RA',构造两个“小红旗”模型得：NI=NEAA'+NAA'E.Z2=ZDAAz+NAA'DRPZ1+Z2=ZE,+Z,E+NDAA'+NAA'DD1+2=2EAD1E作EF/AC/则可得：ZBEF=ZANFEA'+N2=NA'rcCDWZBE,+Z2=2ZA感悟：（1）通过添加辅助线把狂杂图形分割成两个“小红旗”模型，再利用结论得出角与角之间关系，即找角与角之间的关系可以通过“三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和”来找。（2）当然也可以通过平行线之间的角与角关系来找。结论：2NBAC=N1+N2（在这个说理过程中，有一个基本图形“金鱼”模型：如图4,有基本结论：1+2=A+P）拓展提高：已知如图，BPCP分别平分ABC的外角NDBC和NBCE,试说明：ZP与NA之间的数量关系.解析：由BP,CP分别平分NDBC和NECB,则可得：NDBP=NPBc,ZPCE=ZPCb由“金鱼”型可得:ZDBP÷ZPCE=Z÷ZP由三角形内角和18O°可得:NBCP+NPBC+NP=18Oe则：ZBCP+ZPBC=I80°-ZPZA+ZP=1800-ZPJNP=90°-TNA变2.如图,将AABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE外点A，的位宜.探索/A与/1,/2之间的关系，并说明理由解析：由小红旗模型可得：Z1=Z3+ZA,Z3=Z2+ZA,：.Z1=Z2+ZA+Z,即：1-2=2A变3.如图,将ZkABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE外点A'的位置,则NA与NI,N2之间的关系乂如何呢？并说明理由。解析：由变2可得：Z2-Z1=2Z拓展提高：(1)如图a,如果把三角形纸片ABC折段3次后,3个顶点重合乎同一点P,则/4+/0+=弛_度(2)如图b,如果把三角形纸片ABC折段3次后,3个顶点并不重合于同一点，则Z1÷Z2÷Z3+Z4+Z5÷Z6=360图b解析：1)周珀减去三角形内角和180°(2)三个“金鱼”型得：六个角的和为三角形内角和的2倍.(3)RI中，/090°,点I)、E分别是aABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令PDA=N1,NPEB=N2,ZDPE=Z0.若点P在线段AB上，如图所示，且=40°,则/1+/2=晅度：解析：由“金鱼”型可得：N1.+N2=90°÷Z若点P在边AB上运动，如图所示，则/a、Zk/2之间的关系为：/1+/2=90°+/a:若点P运动到边RB的延长线上，如图所示，则/a、/1、/2之间有何关系？猜想并说明理由.解析：由两个小红旗模型可得：/1=/3+90°,/3=/2+/a则有：NI=N2+90°+Za即：Z1.-Z2=90o+Na若点P运动到aABC形外，如图所示，则Na、/1、N2之间的关系为：/2-/1=90°-Na解析：由两个小红旗模型可得：Z1=Z3+Z<J,Z2=Z4+90Z4=Z3即得：Z2-Z1.=90o-Za三、学习反思在学习几何时，能将复杂的图形分解为简单的基本图形，再利用基本模形所对应的结论，理清思路，使解题的过程“顺理成章”，这里的“理”就是题干的条件，就是对应的基本模型，这里的“章”就是解题的过程。(1)平时的学习中要熟练掌握基本图形以及它们得到的结论，从“小红旅”模型这个基本点，得到“规”型、“8字”型、“金鱼”型，小坡度、低起点，始终在学生的“最近发展区”内学习，把较为纪杂的图形分解为最基本的模型，有利于发展学生数学思维的发展，让知识有一个生长点,有利丁学生获得成功的分体验，对学生产生正确的学习导向.(2)在解题中,已知条件可能有多个,图形比较复杂,在导找知识点之间的联系时，就需要从更杂的几何图形中分解或提炼出基本模型，这就需要熟练的记住基本模型，在平时的学习中多总结、多积盛、多识记、多应用，形成基本的解题镀力与经脸：在平时的学习中如果教师能对学生因利势导，让学生形成基本模型与结论，它能使学生站得高，看得远，枳累解题经验，优化解题思路。因此在初中几何的学习过程中如果能学透掌握几何中基本模型，对几何的学习将会事半功倍,这就要求我作为引导界的教师在平时的教学中能仃效的引导学生去学习,去掌握几何基本模型提高学生分析问题解决问题的能力，培养学生思维的深度、广度以及前后联系的灵活性。在熨杂的几何图形中往往隐去了基本模型的一部分,那么在解题中就要求学生能联想到相应的基本模型，井能添加出辅助线，分离出基本模型，那么在解题时就会出现“柳暗花明又一村”的成就感，所以作辅助线也是解答几何题的重要手段，而作辅助线要根据题中关键词，联想相应的辅助线及其可以构成的相应的基本模型，在解题中能把不全的基本模型通过添加辅助线补充完整，从而利用基本模型结论解题，而这些也需要在平时的学习中不断的积笈与总结反思，再在学习加以应用与印证。1.s报课助力中考效学小专题更习J.辽宁：中国教学教育2017.(17)45-472沈岳夫知识与能力并立,思也与技通芬躯J.中学数学2013,(22)22-243中华人民共和国枚育部初定义务栽有教学课桂标出(2011年版)M北京师范大学出版社.20124李景环冉就洪联想基本图形解法白然生成”中学数学教学参考2017.(4)33-35