代数基本定理.docx

学校代码：10200学号：1212408014本科毕业论文代数基本定理学生姓名：龚三指导老师：陈良云教授所在学院：数学及统计学院所学专业：数学及应用数学中国长春2019年5月摘要本论文主要讲解代数基本定理的复分析证明方法和群论证明方法，主要分为两大部分.部分一主要介绍复分析和复函数的一些基础理论学问，为后面代数基本定理的复分析证明方法奠定基础.部分一分为三节：第一节是复函数和复分析；其次节是柯西-黎曼方程：第三节是保角映射和解析性.部分：主要介绍了运用伽罗瓦理论的学问来证明代数基本定理，使得代数基本定理更简洁而且简洁理解.部分二主要分为三节：第一节是伽罗瓦理论概述；其次节是有限群理论的一些结论；第三节是伽罗瓦扩张.关健词：柯西-黎曼方程，保角映射，代数基本定理，置换群，伽罗瓦扩张AbstractThisthesisexp1.ainsthemethodofthefundamenta1.ofa1.gebra,comp1.exana1.ysistoprovethatthemethodsandgrouptheory,dividedintotwomajorcontents.Thecontentoneintroducescomp1.exana1.ysisandcomp1.exfunctionofthebasictheoretica1.know1.edge,to1.aythefoundationbehindthecomp1.exana1.ysisofthefundamenta1.theoremofa1.gebratoprove.Thecontentoneisdividedinthree:Sectiononeisthecomp1.exfunctionsandana1.ysis;SectiontwoistheCauchy-Riemannequations;Sectionthreeistheconforma1.mappingandana1.yticnature.Thecontentsoftwomainuseoftheknow1.edgeoftheGa1.oistheorytoprovethefundamenta1.theoremofa1.gebra,fundamenta1.theoremofa1.gebraissimp1.eandeasytounderstand.Thecontenttwoismain1.ydividedintothree:SectiononeisanoverviewoftheGa1.oistheory;Sectiontwoissomeoftheconc1.usionoftheGa1.oisexpansion.Keywords：Cauchy-Riemannequations,Conforma1.mapping,Fundamenta1.TheoryofAIgebIaPermutationgroup,Ga1.oisexpansion书目摘要1Abstract1书目21复分析和复函数31.1 受函数和分析性31.2 柯西-黎曼方程61.3 保角映射和解析性102伽罗瓦定理122.1伽罗瓦理论概述122.2有限群理论的一些结论142.3伽罗瓦扩张18参考文献20致谢211复分析和复函数1.1复函数和分析性本章的最终部分给出代数基本定理的证明仅运用了两个变量的实值函数微枳分.然而，证明表明白一个更为普遍的结论，叫做刘维尔定理.从这个结论动身，代数基本定理将是一个很简洁的结论.为说明这种方法，我们必需先介绍复分析，复变函数的基本概念.复函数w=f（三）,函数f:CTC.w,ZeC.那么为复变函数的复平面的几何说明，一个复函数是从一个复平面的映射(或变换)到复平面上.若Z=K+iy=(x,y),w三u+iv,U=U(x,y),v=v(x,y)是二元实值函数.所以任何复函数是由两个实质函数构成.W=f（三）=u（三）+v（三）函数U（三）称为f（三）的实部，记为Ref（三）;V（三）称为f（三）的虚部，记为Imf（三）.f（三）的分析问题许多状况都回来到分析u(x,y)及v(x,y).例1.1.1考虑复函数/（三）=J,确定于它的实部和虚部.假设z=÷iy，那么z=(x+iy)'=(-yi)+i(2xy).因此Ref（三）=X'-y?,Imf（三）=2xy.若ZOeC且Z。的一个开领域记为N.(Zo)N(Z«)=zwC,|zz(J<£.一个区域是随意复数集合.区域UUC是开的当且仅当对随意的ZHUj£>0满足N,（三）uU.区域CUC是闭的当且仅当它的补集c'是开集.等价的说，C是闭集当且仅当全部的收敛序列z.uC都有Z“fzeC.区域U必有界的当Uuz4raw/?.复数域上一个闭集且有界的区域称为紧凑区域.从高深的微积分中可知，一个实值函数在一个紧凑区域D上是有界的，且能够取到最大值和最小值.一个开区域U是连通的当U中随意的两点能够被有限序列的连结，且这些线段在包含在U内.现在我们在本质上以单变量实值函数同样的方式定义更函数的极限.定义1.1.1可/=卬。,对V£>0,第>0,当O<Z-z<加，都有（三）-HU<£.其中1/（三）-WQ1.与IZ-Zo1.表示复平面上的距离全部的对初等微积分，求和，常数适用的极限定理都适用于复函数.事实上，计算极限通常转化为求函数的实部和虚部.引理1.1.1.若f(x)=u（三）+iv（三）则Iim/（三）=IimW（三）+iIimV（三）.iZ.i*Z.J-,Z»例1.1.2/（三）=(+y)+/(2.n,)，求Iim/（三）.由引理1.1.1a<,=2+i运用极限，我们可以探讨连续和可微.定义1.1.2w=f（三）在Z=Z“是连续的当Iim/（三）=(z,)f（三）在区域U上IZ1>是连续的，当f（三）在U上的全部点是连续的.全部关于单变量的实值函数连续性的结论都适用于复函数.更进一步的说，连续性的问题归结于函数的实部和虚部的连续性.引理1.1.2f（三）=u（三）+iv（三）在z0=(,.)是连续的当且仅当实函数u(x,y),v(x,y)在点(Xn是连续的.复多项式是通过代数运算建立的，可以看做是f：CC.且且多项式在C上是到处连续.因为Iz"IT8当Zoo;If（三）8当IZ1.TOO.对随意的特别数多项式f（三）WCU,f（三）I是连续的实函数且在随意紧凑的区域上有界.现在起先，我们将复多项式看成一个在复数域C上的多项式函数.引理1.1.3f（三）eQzb则有:f（三）在C上是连续的.(2)Iim1./（三）=8当f（三）是特别值函数.f（三）I在C中全部紧凑型区域上是有界的.现在我们以定义实函数导数的方式来定义宜函数的导数.定义1.1.3若f（三）是复函数，那么在Z,fC的导数/(Z。)是AZJ=J丝嗯二3,当极限存在.若f(Z.)存在，则f（三）在z,是可微的.若f（三）在区域上的每一个点都可微，则f（三）在区域上是可微的.引理1.1.4若/（三）=c,o+&z+a,z"，则在每一个ZOGC存在，1/(z,)=+25z<+圆z：'若f（三）qz且degf（三）,则/WcM且dcg（三）=dcgf（三）-1.若f（三）=")是常值函数，则J（三）=0.若y=f(>是单变量实函数，则尤,)是表示在尤点的切线的斜率.复导数也能够有几何说明，我们将在1.3进行说明.首先，我们介绍大致思路.定义1.1.4w=f（三）在Za点是解析的当f（三）在区域N(Z0)上是可微的.f（三）在区域U上是解析的当f（三）在U中每一个点都是解析的.若f（三）在C上是解析的，则称F（三）是整函数.从引理1.1.4可知，每一个复多项式都是整函数.我们以一个函数为例，此函数在Z“点复导数存在，但在z。处不解析为了理解这个例子，我们须要先介绍下面的结论.若八Z)="+MZ),则定义务专+g,W=兴彦xBxxyyy引理1.1.5若w=f（三）是实值函数，则当/(z,1)存在，有/(Zo)=f(Zo)=f(Zo)证明：从定义知f(Z0)=Fq四嗯二四，因为f（三）是实值函数，必需有相同的实部，所以f（三）=u（三）所以/(Zt)=M产喂啜因为/(Z。)存在，所以极限是独立的.沿着一条平行线接近实轴z=X-,V=0,综上所述可知：f(z=Iim"("ADiW=包=更类似的，jaoa-SXex沿着一条平行线接近虚轴，可得到f(z强.例1.1.3若f（三）=zf,/(O)存在.但是f（三）是在Z=O处不解析.若z0=o,f（三）=|z，"z°+RKzJ=也整=0.因此,/存在，且/()=0.但是f（三）在z=0处不解析.若z=x+iy,z=x，+y'.若(ZJ存在，则由引理41.5可知"(z0)=/zJ=2x>=9(zJ=2y。这导数存在仅仅在kX这条线上，所以不存在N(O)满意£包)在2,(。)上可微,所以f（三）=z在Z=O处不解析.在下一部分,我们将给出f（三）=z仅在Z=O处是连续的.1.2柯西W曼方程若f（三）=u（三）+iv（三）在Zo处可微，则)二im"(Z/A2)+“'(Z°+AZ)一("(Z,)+Mzj)JZGXOAz由于极限存在，让至以平行于实轴方向靠近0,这种状况下，让z以平行于虚轴方向去竟近0,在这种状况下，因为导数存在，这两个表达式必需相等，因此在乙,点我们有：这些关系我们称为柯西-黎曼方程.定义1.2.1u(x,y)v(x,y)满意柯西-黎曼方程假如定理1.2.1若f（三）=u（三）+iv（三）在Z“可微，则要，等,3,在ZOxyxy处存在且满意柯西-黎曼方程,即/(Z1.JY(Z0)+琮(ZJ啜zJ-嘿(Z(I)更一般地，若f（三）在区域U上是解析的，则它的实部和虚部在U上必需满意柯西黎曼方程.若f（三）=u（三）+iv（三）,且u（三）,V（三）在U上连续且满意柯西-黎曼方程，则f（三）在U上是解析的.下面符给出证明.Zi,eU,我们必需证明了(Zj存在考虑：因为u(x,y)>V(x>y)在(心,y)偏导连续，有=*x+/Ay+£4+£处和导)，+£4+£内.所以，运用柯西-黎曼方程有翻券=I+现在2=a+的则上式成为im(+噌+&*3g)其中有5.fy,0当70.1.tz,yz.J*1|占1.因此/(Zj=S(Z尸合)，故f（三）在M=义,？=-竽处可微.oxyexy定理1.2.2若f（三）=u（三）+iv（三）,若/(z=)在z°=(>yp处存在，则(x,y)v(x,y)在(X必需满意柯西-黎曼方程.(2)若f（三）=u（三）+iv（三）,若u(x,y)v(x,y)在ZO=(Xo.y)连续，且满意柯西-黎曼方程，则/(z“)存在，即f（三）在z«处可微.推论1.2.1假如f（三）=u（三）+iv（三）,u(x,y)v(x,y)在UUC上连续，则f（三）在U上是解析的当且仅当u,V满意柯西-黎曼方程.例1.2.1/(2)=e1cosy+Zsiny,则f（三）在C处是解析的且有/（三）=（三）.u(x,y)=eAcosyv(x,y)=/Sin)是连续可微的双变量实函数.因此，为了表明f（三）是解析的，我们必需验证它们满意柯西-黎型方程.故W=T对全部C中的点均满意此等式.所以f（三）在C上是解析excyOxy的，即f(一)=+f=e'cosy+ie,siny=/（三）Jxx以上例子中的函数是复指数函数/（三）=/.若z=xHy,则，=C""所以et=e'e,y=e,(cos.v+siny)=e*cosy+e*siny.由欧拉方程和以上的例子可知：若f（三）=e2,则/()=e满意指数函数的结论.例1.2.2运用柯西-黎星方程证明f（三）=z?在C上解析且/(2)=22.若z=x+iy,则f（三）=z'=(J-)6+i(2xy).u(x,y)=2-yi,v(x,y)=2xy计算偏导数得:半=2工母=-2B=2>E=2x很明显，u(x,y)v(x,y)在Cxyxy上是连续的且满意柯西-黎曼方程，所以f（三）=+i2=2x+i(2、)=2(x+iy)=2z.推论1.2.2(1)唯一的实值解析函数是常值函数.(2)若/=O布区域U上均满意，则f（三）是常值函数.证明：(1.)f（三）是实值函数，则f（三）=u（三）且V（三）=0.若f（三）是解析的,则满意柯西-黎曼方程，所以黑="=O乎=-"=。.因此，=0,故Sxy8xSyx3f（三）是常值函数.若f=0,则f=如+但=更T0=0.意味着要=2=粤=粤=0.因此Jjxxyyxxyyu(x,y),v(x,y)是常值函数.例1.1.2中“z)=z广在Z=O处可导但不解析.从这个结果可以看出它不能在任一处解析，因为它是实值函数且不是常值函数.定义1.2.2实值函数u(x,y)是调和函数当存在二阶连续偏导数且满意拉普拉斯方程会+善=0.xy引理1.2.1若f（三）=u（三）+iv（三）是解析函数，则u(x,y),v(x,y)是调和函数.证明：若f（三）是解析的，则它必需满意柯西-黎曼方程：粤=萼,excy*=-".又因为:阶偏导连续，偏微分可交换，故%=R=2=一%，xyex"xyyxy-因蚱7卢g3f5祭=爷,祟喈=O.所以u(x,y)是调和函数.同理可证v(x,y)是调和函数.由引理的上下文，u,V被称为共加调和函数.例1.1.3u(x,y)=),'-3是共辐调和函数，找到它的共辐调和函数v(x,y)满意f（三）=u+iv是解析的.电=FVV,包=3寸_3/，所以蔡=6y,=6.v故+迫=O.u(x,y)是调和的，假设V(x,y)是共挽调dr*yxy和函数，由柯西黎曼方程空=£，£=一雪.得”=Z=-6xy,exyoxyoxoyAV(.v.y)=-3/+g(X),其中g(K)是关于X的函数.=-3y2+g(X)=-3y'+32.表明Wg()=3f.g()=+c随意常数均满意，不妨取C=Ovt")='-3y是u(x,y)的共物调和函数.“=(y'-3y)+*(,-3X)J)是解析的.1.3保角映射和解析性从初等微积分可知导数g(M1)是单变量可微实值函数y=g(x)曲线在点(灰，冢乂)切线的斜率因此给出了几何意义：首先它表明白曲线移动的方向，角度.其次，它的大小是曲线变更的瞬时速率.复导数和解析性也有几何说明，我们现在来探讨.定义1.3.1曲线'是连续函数yJa,A->C,y(t)=x(f)+iy(t)Mx(t)和y(t)是实函数，定义域是区间a,b.若x(t),y(t)在f。可微，则7在心是可微曲线，且y(fJ=(G+h")曲线是可微的当对全部的tw.向，丸)可微.一条曲线连续可微当它是可微的并且导数在a,b上连续.曲线次)在几处是正则的当/,"O.H)在正则点九的方向是ArgyQ0).一般的，一条正则曲线是指它全部的点都是正则的.例1.3.1曲线>(f)=r8$f+ir$inf="0,2;T表示一个以半径为r圆心在原点的圆.导数/()=3nr+ircos从不为零，所以/是正则曲线.在I=0,(0)=Ir是纯虚数，角度是三.2更一般地,以Z”为心r为半径的圆表示为：M=Z(I+MQt211.若儿和y是C中两条曲线九y")=y"J且八和y.在乙心分别是正则的，则角从八到7,是Ay、(/J-Arg*).若y是曲线UUCF：UTC则F/仍是一条曲线.若F有一个复导数且y是可微的，则(F。力亿)=c%J)/M).若7在，。处是正则的，且CyG)H0,则尸丁在1处是正则的.定义1.3.2若UUC且F:UTC,则F是保形的，Z°wU若对随意曲线，在八处正则力尸Z。，尸，在人是正则的且F在z,处保留角度保留角度意味着若九，九是两个曲线，(f1.)=,(2)=z0>则角度从八到九在Z,处是等于角度广儿到尸儿在F(z“)处若F在U上是保角的，则称为保角映射.定理1.3.I(D一个连续复函数f（三）在Z/UuC有两个非零复导数，则f（三）在Z”是保角的.(2)f（三）是连续的，在Z,处是保角的且偏导存在并在Z.处连续，则AZiI)存在且不为零.证明：我们证明第一部分，其次部分留作联系.若f（三）是连续复函数且在Z“处导数不为零，则f在Z.处是保角的若匕和九是两个正则曲线，1.)=九(1.)=Z«，/(zo)*fX和/九在八和A是正则的，角度从/%到/九在/(z11)是Arg(F/2)"。)-八嘿(/2)Q1>)=AM/"J)”J)-(/<1.(1.)1.Q1.)z.wC有Arg(ZW)=ArgZ+Argw故原式:A*(yj八)+A化夕4)-Arg(/()-A*/%)然而九k>=W»原式=A#(九4J)-Arg亿亿)角度从八到八.因此，f（三）在Zo处是保角变换.推论1.3.3一个连续复函数f（三）,全部导数存在且连续，则f（三）在U上是保形映射当且仅当f（三）在U上是解析的，且f（三）H,zwU.定义1.3.3若f:UCZ/UMO,若"?二=M,则称f（三）在Z,处的倍率是M.定理1.3.2(Df（三）在z。处可微，则f（三）在z0处的倍率是/(211.)I.(2)UUC,f（三）是连续函数.若z0eU，M±。，f（三）在Nt1.的倍率为V，若在Z”处全部偏导数存在且连续，/y是在/“nJ"微，对随意7在心可微，ZO=MJ，则要么f（三）在ZQ处可微，要么"Z)在处可微.例1.3.2f（三）=c：证明它是C上的保形变换.f（三）=，=/H)Wo0'CoS.y+iSinv在C上是不为零，由前面的例子可知=r.故f（三）w0因此由定理1.3.2知f（三）是保形的.2伽罗瓦定理2.1 伽罗瓦理论概述在最终一率我们给出代数基本定理的代数证明.这依竟于我们总能够为给定的多项式构造出分裂域，奇次实多项式有实根且复数总有平方根，这表明白随意二次多项式在C上是可解的.在本章我们给的最终的证明涉及到更一般的伽罗瓦理论的观点.伽罗瓦理论走解决关系代数理论领域，理论方程和有限群理论的数学分支.大部分伽罗瓦理论的创立涉及到域的代数扩张也将在最终一章中介绍.这一理论被伽罗瓦于1830年在他的探讨关于五次多项式自由基可解变形中介绍.结果被鲁非尼和阿贝尔分别独立的证明白.伽罗瓦是第一个看到域的扩张和置换群之间的亲密联系.在这种状况下，他开创了有限群的探讨.他是第一个用群作为抽象概念的人.尽管他的说明仅仅是对一个置换群形成的封闭集合.伽罗瓦发展的这个方法不仅仅促进了五次多项式求根的证明和更高阶的，而且导致其它方面的运用，也形成了一个更大的理论.在本章，我们仅仅说明及代数基本定理有关的部分理论.伽罗瓦理论的主要想法是及某一代数域的延长我们称为伽罗瓦扩张，群称为伽罗瓦群之间有联系.域的扩张的性质将延长到群的性质，这些很简洁验证.因此，例如通过自由基的可解性能够被转化到群上的性侦被称之为群的可解性，这表明白每一个五次或者更高的存在一个域犷张，它的伽罗瓦群没有这特性质表明白在可解性上不存在一般的公式.关于方程的理论如下:若f(x)O是在域E上的多项式方程，我们能够形成一个分裂域K.这也是一个伽罗瓦扩张，因此形成一个伽罗瓦群.同理，群的性质将反映了方程的性质.伽罗瓦理论在部分上确定于有限群的理论，且在卜.一章我们将从这一章复习一些基本结论.在2.3节，我们介绍伽罗瓦扩张的正规分别性质.在后面的章节中介绍伽罗瓦群和它的结构.我们将在伽罗瓦基本定理中总结全部的结论.伽罗瓦基本定理描述了伽罗瓦群和伽罗瓦扩张二者之间的相互作用影响.在2.6节中，我们将给出第四种代数基本定理的证明方法.最终，我们通过给出两种伽罗瓦理论的运用来结束本章.第一个是描述五次多项式不存在根公式.另一个是探讨了几何法则，指南针结构和它们的代数说明.因为我们主要的目的是快速得到伽罗瓦理论的主要结果且给出代数基本定理的第四种证明，许多困难的证明将被省略.2.2 有限群理论的一些结论本章我们复习了一些有限群理论的基本结论.群G是拥有如下二元运算的一个集合：(1)运算是相关联的.(2)对二元运算存在一个单位元.(3)每一个g对于二元运算都存在逆元.若运算是可交换的，则称群G是交换群.G中元素的个数称为G的阶，记做/G/.若G<8,则称G为有限群.“uG若Hw0且同Gi样满意运算,则称H为G的子群.等价地，H是一个子群当H0且H在运算下封闭且存在逆.我们在6.4节中表明群常出现在可逆的集合到其自号的映射中.这种映射我们称之为置换.n个元素的集合的全体置换群称为n元对称群，记做§.由一个群置换的变更我们得到同构群.若R和S是代数结构(群,环，域,向量空间等等)，则映射尸：->S是一个同态当F保留了代数运算.即：(O/wj=/(WJ当R，S是群.(2) /(r,+n)=<r1.)+(r,)K/(r1r2)-/(r1)(r1)R，S是环或域.(3) f(r+rj=(z)+"rj且f(三)W(z1.)其中C是域中的元素，R是向量空间.一个同态E/?TS是双射，则F称为同构映射.定义2.2.1若R是一个代数结构，则R的自同构是TR我们用Aut(R)技示R上的自同构映射的集合，称为自同构群.例2.2.1G是循环群,G=n.若g是生成元，则Gg.g'g若(k,n)=1.则/也是一个生成元.映射，:gg'将定义一个G的自同构通过构造一个同态.更进步地说，对随意自同构映射gg,其中乩是生成元.因此AUt=(c：a：g->=i.!Auti=取)且次”)<n并取决于n.考虑熨数Cc是C的一个自同构，对这样的自同构必需满意。(O)=O(1.)=1.(-1)=-1因此XGz,叫')=(")'=T所以b(i)=±i.因为1,i是C的基本部分，所以1,i的象确定了一个自同构.因此恰恰有两个C的自同构：例2.2.3考虑有限群ZJP是一个素数,则=0，1，.，P-U用模P的算术运算.b是一"个自同构=1.,(")="故EX)=X对全部rcz因此在Z,上唯一的自同构是其本身，所以它的自同构群是平凡的.定理2.2.1对随意代数结构R,自同构AUt(R)形成了一个群，称为R的自同构群.若SUK且自同构映射wAut(R)满意S,即(.y)=s,V.vS形成一个子群.P是一个素数，G是P阶循环群，则AUt(G)是P-I阶的循环群.由上一个例知Z是一个有限域，z=P.它的加法群是循环的，阶为P且在同构映射ITg卜.同构于G,其中g是G的生成元.因为z,是一个域，它的非零元素构成了一个乘法群，我们称此群为U.从例2.2.1知随意G的自同构取决于生成元的象6gg'其中(k,p)=1.。:1.A其中心0.现在我们说明U是循环的.IU1.=P-I,所以尸F对随意的y属于U.假设m是U中全部元素的最大阶，所以有mp7.若yeU阶为p,则qm.所以若)J1.则)J1对Vyeu,=1.故每一个yWU是多项式P(X)=X=1的根.这个多项式在一个域上，因此它至多有m个根，然而它至少有P-I个根，所以P-I且U有一个阶为p-1的元素并且U是循环群.现在我们将探讨有限群的子群结构.若G是一个，H是G的一个子群，若gH=ghheH),称gH为H的一个左陪集.同理，Hg=hg;e，.Hg称为H的一个右陪集.在群G中子群H的全部左陪集(右陪集)组成的集合是G的一个划分.群G关于了群H的左右陪集数相同.群G关于子群H的左陪集数称为H在G中的指数，记为/G:H/.运用这个想法于有限群中，我们能得到拉格朗日定理.定理2.2.2(拉格朗日定理)在有限群G的任一个子群H的阶必为群G的阶的因子.更精确的说,我们有因I=IGI1.G:HI.例2.2.1每一个有限的素数阶群肯定是循环群.证明:设群G的阶位素数p.于是G中有非单位元a.由于ap.因此a=p,于是G=0.定义2.2.2群UG是子群，gwG,则gRg形成的一个子群称为H的共班子群.若g使H正规化即g'H8=H.全部能使I1.正规化的元素的集合记为NJ)若WGG都能使H正规化，则H是一个正规子群，用/MG表示.注明：若AG,则g%g=H,表明Hg=gH.换言之，左陪集等同于右陪集.我们用下面两个引理概括一些关于共施，正规化和正规F群的性质.引理2.2.1以卜.几个命题等价:(1)WG(2)H的全部共轨子群等于H.(3)G中关于H的每一个左陪集也是一个右陪集.N")=H引理2.2.2是一个子群，则(i)H的任何共挽子群都同构于H.NGg是G的子群，且ANjH”例2.2.6在交换群G中，每一个子群H都是正规子群，因为gRg=H%'g)=H例2.2.7若G:H|=2,则有“AG.设gH,则有两个左陪集H,gH.所以G="u7,且Hcg=0.同理有两个左陪集G="u"g且c”=0,故Hg=gH或g力X=，所以AG.引理2.2.3若HAG,则G/H形成个群称之为群G模正规子群H的商群.正规r群和商群之间被同态映射紧密联系起来.定义2.2.3若f:GT是同态，则f的核记为kerf=geG；f(g)=1.f的象集记为Imf=UtGHf/(g)=h.对WggG.定理2.2.3(群同态基本定理)(D设“是GTG的一个同态，则同态象同构于商群Gkcr,即Gkcr=Imb.(2)若AG,则存在个同态9G满意kerf=H且InIf=G/H.最终为了证明代数基本定理.，我们须要了解些关于P-群和P-子群的理论，其中P为素数.定义2.2.4若P为素数，群G中每一个元素的阶为p,则称为P-群.若G是有限的，表明G="对某一n.引理2.2.4若G是有限阶为p"的P-群，则G有一个子群阶为“'且指数为P.定义2.2.5若G是有限群，G=p%其中P为素数且(p,)=1.则P-Sy1.oW子群是阶为/子群.定理2.2.4G是有限群，阶为p%,其中P是素数且(p,)=1.,贝I:G有一个p-Sy1.ow子群.全部p-Sy1.ow子群在G中共枕.(3)随意G的P-子群包含于一个P-Sy1.OW子群中.P-SyIOW子群数r模P同余于1,并且!是的因子.2.3伽罗瓦扩张伽罗瓦定理解决了某些特殊类型的有限代数扩张.特殊地，我们须要两特性质正规性和分别性.正规性是较简洁的，所以我们首先探讨它.本章剩余的部分将探讨有限扩张.定义2.3.1K是域F上的正规扩张，当K是在域F上的分裂域.有一些关于扩张的事实对我们是至关重要的，将在下面的定理中给出.定理2.3.1若K是F的正规扩张且FUEUKUF,其中F是域F的闭包,则：<1>Fx中每一个不行约多项式在K上有根.(2)K是E的正规扩张.另一个重要性质是可分性，这关系到根的重数.定义2.3.2若是f(x)的根,且的重数m1.当包机。“)”#(幻，其中g（八）0若m=1.,则是单根,否则是重根.现在假设K是F的有限扩张，且aeK,则是在F上可分的当是Irr(,F)的单根.K是可分扩张若每一个aeK在F上是可分的.在F的可分扩张中，若gf,则不是不行约多项式的重根.尽管可分性是伽罗瓦扩张的本质性质，但是它在代数基本定理中并不占据着主要地位，因为我们探讨的领域是有理数，实数和复数的扩张，全部的域特征为零，使得任何扩张都是可分的.定义2.3.3域F上的特征为n若在F上n是最小正整数使得(n)(1)=0,我们用charF=n表示.若不存在n满意用)(1)=0,则F的特征为0,我们用CharF=O表示.例2.3.1CharQ=CharR=CharC=O且它们的任何扩张特征均为零.另一方面,CharZ,=P,则任何z,的扩张特征为P.卜面我们给出简洁的关于特征的事实.引理2.3.1任何一个域的特征要么是零要么是素数.证明：设"""="hO.假设n是可约的，则n=mk,m<n且k<n,那么(n)(D=(11)k)(1.)=(m)(D)(k)(1)=0.所以加)=0或(k)(1.)=0及char=n,n是最小正整数使(n)(1)=0冲突.所以假设不成立.故n是素数.引理2.3.2若CharF=O则F包含一个子域同构于Q.若charF=p,则F包含一个子域同构于Z,特殊的，特征为零的域必是无限的.定理2.3.2任何特征为零的域扩张必是可分扩张.事实上，任何一个有限域扩张是可分的，所以唯一不志向的情形是特征为P的无限域扩张.更重要的是Q，R和C的扩张是可分的.定理2.3.3若K是F的有限可分扩张，则K限制在F上的自同构数是有限的且等于|K:F|.定理2.3.4若K是F的一个有限可分犷张,则K是单扩张.即K=F(a),对某一aGK,证明：因为K是有限扩张,K=F(aaa)a3K若K=F(a.),则K=F(y)3Z/f.n=|K:F|.由定理2.3.3有n个自同构cr.,KF形成多项式P(X)=(0-(cr)+X(j)-<y（八）-x<(?)这是非零多项式，且存在CgK,P(c)0.则元素b(a+c)是清晰的，则r(a,")是在F上是n次.因此F(a,O=7(a+<%).若K=F（八）,则a称为K在F上的本原元素.定义2.3.4F上的伽罗瓦扩张是一个有限可分的正规扩张，即为一个F上的有限可分的分裂域.留意到若CharF=0,则伽罗瓦是个在F上有限扩张分裂域.参考文献1丘维声.抽象代数基础,高等教化出版社,20192钟玉泉.复变函数论，高等教化出版社,20193本杰明，杰哈德.代数基本定理,清华高校出版社,20094聂灵沼,丁石孙.代数学引论.北京：高等教化出版社,20005赵春来,徐明耀.抽象代数.北京高校出版社,20196HungerfordT.W.代数学.冯克勤译，聂灵沼校.长沙：湖南教化出版社，1985致谢这次论文能够顺当完工，首先要感谢指导老师的在百忙之中对我的悉心指导，耐性讲解学问点，也指明白适合自己的论文方向.在论文的修改上老师尽职尽责，提出了许多珍贵的修改看法.其次，我要感谢和我一起做论文的同学们，因为跟他们一起探讨，对论文也有了自己的想法.最终，我感谢在论文期间始终都支持的我的挚友们！东北师范高校本科生毕业论文评语学院：数学及统计学院专业：数学及应用数学学生姓名：龚学学号：1212408014毕业论文题目：代数基本定理评语内容：1.论文选题是否符合专业培育目标并有肯定的意义；2.运用中外文献是否充溢、全面、理解是否精确；3.探讨方法是否得当，数据是否牢靠；4.是否论点明确、论证充分、有自己的观点并有新意；5.结构、语言、图表等是否符合写作规范。评语：评定成果：（毕业论文成果按优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级评定，标准详见东北师范高校毕业论文成果评定指标体系）评阅人（签字）: