2024年台湾IMO代表队选拔考试（第三轮）试题（图片版无答案）.docx

2024年台湾IMO代表队选拔考试（第三轮）MA1 .在X网格的每一个格子里.生活着一些猫（每个格子里猫的数目必须是一个非负整数）.每天夜里，猫的主人选取一个格子，按照以下规则进行操作：a）所选格子里猫的数目必须不少于与该格子相邻的格子数.b）主人从所选格子里分别拿一只猫，放到该格子的每一个相邻的格子里.（两个格子称为“相邻”的，如果它们有一条公共边，例如,网格角上的格子只有2个相邻的格子.）问整个网格里最少需有多少只猫，才能使猫的主人能够无限次进行上述操作？2 .在椭圆C-.x2+2炉=2008上任取一个有理点PO（XP,力）.按以下规则递推地定义点P,Pi,i）选取一个格点Qt=（H,对C满足因<50,M<50.ii）射线PQi与C相交于另一点A÷.证明：对任意点P。，我们可以选择合适的点。,。】，使得存在kNU0,满足。以=2017.1 .设Zn个实数Xi(i=1,2,，?)，满足Z七=S.之2为整数.证明：;-2,且等号成立的充分必要条件是Xi(i=1,2,，。中恰有两个数相等且不等于0,而其余的数均等于0.2 .ABC中，NJ=60。,O为其外心,H为其垂心.设M为线段8H上一点，在直线C"上选取一点N,满足H位于C,N之间.且BM=CM求+的所有可能值.OH1 .设。”注0为公差为d的等差数列，且1.od定义该数列为So,并按以下2个步装递推地定义数列S”：步骤1:令数列Sn的首项为上，并去除人.步骤2:将前从项每项加1,得到数列SK1.证明：存在一个常数C,使得bn=CG1对所有20成立,其中U为取整函数.2 .(同2016IMOShort1.istG8)1.(同2016IMOShort1.istC3)3 .证明：存在一个整系数多项式工满足以下条件：a)(x)=0无有理数根.b)对任意整数，总存在整数也使得整除遂，).4 .设为A4BC的外接圆.令A为A关于的对径点，作点D,使得AbCD为等边三角形(4和D位于边BC的两侧).过4作RD的垂线，分别交Ca于瓦E作点7,使得ETF为底边为EF,底角为30。的等腰三角形(4和T位于边EF的两侧).证明：/T经过AdBC的九点圆圆心.