23个求极值和值域专题 20.docx

23个求极值和值域专题1、求函数/(x)=x+J-3x+2的值域.2、求的ft(x)=x+27+J3-x+的值3、求西数/(x)hJTf+24-3x的值城.JX?+/4,求的it(x)="多的值城.X-/5、巳知函数/(X)=纪效上(其中5<0)的值域是1.3,求实效Ac.X2+/6、巳知：x,y,z力正实数.且x+f+;NXF:,5一数/(x,j,z)=W-+的最小值.xyz7、巳知：2x+3xy+2y=I,求：/(x,y)=x+y+盯的最小值.8、设函数/(1)=-*2+号在区间Iaw的最小值为20,最大值为2b,求区同|。,勿.9、巳知tX2+v=25,束的政/(x,y)=j8y-6x+50+j8y+6x+50的最大值.10,求函敷：/(x)=JX2+2x+0+Jx2+6x+68的最小值.11、求函数I/(X)=-的值城.X2-4x+42212、巳如实效*/,X2,XJ充足*/+?+V=/和*；+"+孑=3，求*3的最小值13,求函如/(x,y)=(-j)2+(x+)-3V+(2x+y-6)2的最小值.14、巳如：-<Jx+1.+yy-2=5,求函数：/(x.y)=x+.v的最小值.2216、巳知点P(x,s)在H圄g-+5=/上，求/(x,W=2x-.f的最大值.16、求函数：f(x)=JT7+j8-3x的值域.18、求的4b/(x)三+sinx+7-sinx+2+sinx+2-sinx+3+sinx+3-sinx的最大值.19、设：Xi(i1,2,32003)为正实效.且於良日+日+扃£=2003.玳求t>,三yx1.+x2+yJx2+Xj+Jx2002+x2(103+yjx2OO3+x1.的最小值20、巳如x,j,z为正实效，且谪足上彳+仁+-J=2.I+X-1.+y2/+z2求：/(X,J.Z)三J"+J+的最大值./+x21.+y21.+z221、设为我角，求：/()=(1+/一)(1+上一)的最小值.snaCOSa22、设为机角,求证t2a<sin+tana.23、巳如x,J,Z为正实效，求证t-铲.卡g.X7+z7223个求极值和值城专解析1、求函1.t(x)=x+J1.3x+2的值城.IF折：的数f(X)=x+Jx'-3x+2=x+J(x-"x-2)的定义域为:(-8,12,+oo).函数的导的败为：,(x)÷,z狂学一夕3X-*w(v.hx-<0.则/2<一/2J(TY)2M(X)-Z+则的敷/(X)在XW(YU区间为单K1.h1.的数,*>/(x)()=1./(x)SIim/(X)=Iim/(-x)X4WIim(x2+3x+2-Vx7)r-¼KOIimo(2+3x+2)-(A)yx2+3x+2+4xIimX43x+27x2+3x+2+V?Mi函数在该区闾的值域是U.).7当xe2.o)时，x-0,则广(X)=/+11.)2一.即：函数/(X)在xe2,48)区同为单IUMt的数，故：f(x)f(2)-2i/(X)Iim/(X)=Iini(yx2+3x+2+)=-x>X1C0A4故：西数在该区网的值域是2,+8).库上，函数的值域是,()2,÷X).本题果用导数的正负耒定函数的，事,此法将为“单住法”.2、2函数/(X)HJX+27+J3-X+J7的值域.薛析：函数/(x)的定义域是：xw0,3.椁嵬:Mt法用于!西不等式来源本题.设：A,C>0t则将西不答式为：(7x+27)2+(3-x)2+(C7114+4+1.2<x)/InCV：f2(x)(A-B+C)x+(27A+13B)1.-+-+-ABC令：A-B+C0,即：1.i+CAJX+27=C7Hy1.13-X>C7将代入和：(/"CR"由相西不智式的零号J立条件，即函拿取权值方条件#：27A2t_227A?ci7c7即：(A+Q2(3C2-7JA2-27A2)27A2C2W：(A-C)2(13C2-40A2)27A2C21ff：(4+C)2(-p-p-)三27忧解，由于27=3x3x3,则式刚好也是3项相集不妨*解果用各项都是3.M：A+C3t且与一答3.JU：A1.C2.B-3A2C2代入9,即X=9"函数取IMt大值.的数梗大值为/(x三9)三S+27+-J13-9+y96+2+3HJxH0.9时，函数/(x)在本区网为单调，困敷.故:/(x)(O>=27+77+O=3J+7J即：函数/(x)在XWO,9区网的值域是3J+TJ,"(2)xe9.3,函数/(x)在本区同为单遂的效.故:/(x)/(/3)-3+27+/.?-/.?+7J-40+11-2Tf1.+7J如函数/(X)在xe9,3区同的值域是2，？+77J.集上，函数/(X)的值域是3J+J万,.本期果用“律定系数漆"、"行百不等式”和“单*性法”.3、求的数/(x)=JT二彳+j24-3x的值班Mtfi函数/(x)的定义域是：x5,«J.井嵬JMt法用于!百不等式来解水.没I,B>O,则轲西不式为；(A75)2+(24-Jx)2H/2即：/-(x)(A-3)x+(-54+2)(-÷-AZf令：-3B0,即33Bx-5÷-x3g2+A28-x-=由柯西不冬式的竽号成立条件，即函数岁收值廿条件得；4T三5B2-3x即：A2(x-5)B2(24-3x)t即：三,即:S-XA-33B2+A2.o3A2.o3A2V：-；,即18-；r*VtK08；8-xA23B2+A23B2+A2将式代入式得1x=827B?3B2+9H2当门7的蒙小)达神大值.收大值为：吟-炉+E/属N心再M+缗2"的效的导函数为：/'(X)=13_j24-3x3>x-52x-5224-3x2x-524-5x当*w5,子区同Btf'(x)<Ot一-八外单，*.故：4/(x)(5)-0+2-35-3即I的数/(外在本区向的值域是13.25/7.(2)Hfe1.y,ER,f,(x)>(),b/(x)/=Jg-5+"=J即I的敷/(x)在本区同的值域是hJ,2jJ.*±,函数/(X)的值域是J,2J.本国果用.养定系敷法.、“树西不等式”*.单调性法”.4、求函数/(X)=在里.的值域X-I«#r«语数/(x)的定义域是：XG(-oo,1.)(/,-HO1.则函1.t(x)为：/(X)=±J*_+4=±Jg(x)(x<MA.当*>/时取正号X-IV(X-1)2Y于是函数的梃值在，g,(x)Oa,t.2(x-1.(x2-¥1.)-2xx-1)22».“即：g(X)=r(x+1.)-x(x-1.)O(X-D4Ix-D3即1(x2+)-x(x-1.)三,即tX=-/在XG(YO,-/)区电函数X)的就值为：f(=T)=41.二J=WIim/(x)三1.im(-Jr)="×7(X-)2*：函数/(X)在法区网的值域是(Y在xw(.*0)区间，ft(x)=.-+-5-=J÷-2.为单IIiiW的数.WXT)2Y(X-I)2故相f(x)Iim/(X)=Iim(J)+co>7rV(X-/)2/(x)NIim/(x)三Iim(JX叱)=Hm(/+-I-w>r-HO(-Z)-*4Y(-2)-故：的数"X)在整区问的值域是(/,+»).障上.曲敷/(X)的值域是(Yo1.乎本题方法属“单调性法”5、巳知函数/(X)=宜:红士工(其中<0)的值域是1,31.求实敷b,c.x'+1解析：函数的定义域为xwR.将函效交为：y(x2+1.)2x2+bx+c,即：(2-),)2+ftr+(c-y)=o其列别式不冬式为I4=/,2-4(2-y)(c-y)=(Z»2-8c)+4(2+c).y-<之O即：g)2-2c+(2+c)_y-_/20而函效/(x)的值域是1,3,即：(>,一w3-F)N0,即：-3+4y-N0对比两式Ihc2,(g)2-2c=-3,即(g)2=/,因b<0,<ih-2收：实效=-2,<2.此法爵为“判则式法6»巳如：X,y,z为正实数，且x+f+z工V2,求函数/(x.y.z)=±''1的最小值.yz解析：廿先"ftX=S=Z=,代入x+y+z=xyz得：3。="',W：«=>/J,则：当小z=3jj廿.由均值不等式QfINAf,即：d±W24J叶炉丫得:(x+)2(XJZ)me.X+y+z、(盯Z)yzRKi/(x,>z)三-=3xyzJxyz3皆xy<3Jt由均值不式A“NG“，即：-xj:)X2+y2+z23xyz)2He<、'+y2+Z2(yz)2则17(x,y,z)=:-XyZxvz§(町z),(J)J当XK>3J时，由均值不式。“NA“，即：x2+z2(x+4代入巳知条件x+f+zNzvz,#1V+y+/2(*+：+Z)N(X)：1.1.、(XK)2X穴、3JG则：/(x,J.Z)-三3xyz3xyz33222<：由(D、»,的最小值是J1.xyz本国先确定外Z=均值，IB后在町z>均值和町z<均值下求就值.此法/为分别讨论法7、巳知：22+3j+2./=/,求：/(x,y)x+y+xy的最小值.IW折：由巳知条件2-'+3xj+2)"=fhxy2(x+y)-1代入/(x,y)x+y+xy得：/(x,>)三z=x+j+xv=x+y+2(x+y)2-/即12(x+y)2+(x+y)-(1.+z)O令：=x+j,则方发交为：2t2+t-(1.+z)O果用列别式法得；d=r+42(+z)N0,ff.(/+z)-即，ZN-ZOO检：/(,y)=x+y+盯的最小值是一：此题果用的是“刿别式法”O8、设函数/(*)N-TX2+弓在区阿”,M的最小值为2a,量大值为2b,*BR,.解析：曾先，/(X)是一M函数，在(Y。,。)区同单调建增，在(0,+8)区同单图建#.(DiiiOVaV时./(X)为单Bi1.w的数，即I/()>(ft).故：/S)是最大值为2b,/(力是最小值为2.卬：/S2-.+卜+加3。即：)“)=_浮+号=2(h2+4a-13f)()两式相求得：(a2-b2)-4(a-b)=0t卬：a+b=4M：(a+bf=16,即t(«?+)=16-2ab()两式相加得：(a2+b2)+4(a+b)26将式代入后化曾善：ab3由(IXgNha1.,b=3.则区同,切为1,3.当。<0、b>0时,/(X)的最大值是/(0)=g,即：b1.着同>同，则/(x)的最小值为：/(>-+y-2,即：a2+4a-13=0,解之及“V。可Ih三-2-77,故此时区Rna,6为S2-J万.3|.ii.若同<J(x)的最小值为：/-一犷吟2,m11.213即ia=-b+JH：a>0.不符合总会，即此时无得.0)iU<b<OM由/(x)是一个偈函数可得1f（八）<f(b)t故：/(0)是最小值为2,/(b)是北大值为2b,即:ai+4a-130b2+4b-130M：a,b为一元二次方程.r+4x-3=0的两个I1.由辛达定理a+b=7则由Ob=-/3Ihah三一/3鼻号，不符合息设，即此时无密.集上，区向I”,M力,3*-2-J77,=.本题果用,分JM讨论法”和“极值法”.9、巳如：X2+v=25,求函数/(x,W=iy-6x+50+j8y+6x+50的最大值.解折：由/+/=25可知，的数八居”的定义城是：Xg-5,5),.V-5,51有均值不答式"Q",Vi48y-6x+50+j8y+6x+而二Jj8y-6x+50)2+U8y+6x+5示.4、1.(j8y-6x+50)2+(J8y+6x+50)2、r-Wf(x,y)2J-=21.y+50即：/(x,y)2×5+50三6O当j=5HXi)./(,5)=67,即可以里到不多式的竽号.*>函数/(x,j)的最大值是64订.*MMA11,1,暮为,均值不等式10、求函Ib/(X)=JX1.+2x+0+J+6x+6月的最小值.得析，函数.X)=4x2+2x+10+>x216x+68=>(x+1.)2+32+J(X+8/+2)其臾义域为：XGR令：/H=(Hx+/),3),(x+8,2)M：m(x+1.)2+32,同=J(X+疗+2?,/«+«-(7,5)于却f(x)>n+11m+H=7+52=49+25=>74当，”/“廿.-(*+').W,即：3(x+)+2(x+)三0,x+82即I5x÷26三W,则：工=一?三72+52-9+25三7所*S7是可以里到的.收/(X)的最小值是"7.正是由于，”时.1.t(X)=J(X+/*+32±J(x+8)2+2?JR到被值,所以*人总结出此类题的解决用，来得，即设，"=2"代入，”=(-(x+),3),=(x+8,±2)后得：/"=(Tx+),3)=4(x+8,±2)=(4x+8,2-X-1x+8A3=±2,弧=±-8+1.±12+1±24+2+Z4J±3+2X+/这对小结果分别对度于/(X)=>x2+2x+10+>x2+i6x+68的双小值和/(X)=yx：+2x+IO-yx2+1.6x+68的般大值.本慝果用的是“向量漆”.Ik求函数：/(X)-M.x2-4x+4解析：先求函效的定义域.定义域为：x2本JC枭用列弼式漆嬉2由),=J-X4价交用为:>-Jx+4>-x2-xX2-4x÷即：(/-j)x2+(4j-)x-v三¢式上面方也有解得利别式是tJ=(-)2+.4j(-j)0即：d=/6)/-8y+6y-6./=8y+N0,即：yN-'故：的数/(X)=上二的值域为-9.÷8).比法算为“更别式决”2-4x+4S本题亦可以来用铁元法和纪方法来做.4-t=x-2,则，0.x=t+2，、+2)2-(f+2)t2+3t+2313232于是：/(，)=；J三2(-+2-+-5-5+二)t2t2t24t4242273、2321.IJi,I1=2(-+-)-+2(7+-=2(-+-t4422t488=Vt*x=；时./(X)达到收小值一9.此法就是“犊元配方法33812、巳知实效工/,盯1通足=/和x；+IMjh由巳知若，Xj吟=1吟x；+21.则由将西不式加(x+-)U+-)(x1.+j将、冰入®#：33-j)N(-半Vff.9(9-Aj)N2(3-町V,弧81.-9xj2即：焉一/2勺-6340其列别式为：4=(-2)2-.(3)=62-饮：方程号下的两根为：X产"9.绰J2U1.则：*3W1.-务31根务将西不等式号V成立的条件IhXy=X2代入或#:=-(y+三-t即+4=j,求勺的最小值.标=3-且23守xJ-72xj+Mt-1.1.7629262273=卫11IXj=3(7-3；')代入式得：=3-(V+*=3(I-*,VtxJ=9(-)ffs(2-3xi)2(4-2x),Wt4-12xj+9x；=4-2x；O即：1.1.x-12X1=0,即：(1.1.x1.-12)x1.=0,即：1.=/277M：X=X2ib0,此时:*3=3；此为最大值.21所以，与的最小值为一带.此愚传法为.忖西不式”.1113.求函数：/(x.y)=(-y)2+(+y-3)2+(2x+.v-6)的最小值.得折：待定系It法用于利西不多式来解本题.«：AJhCcR,则抑西不备式为：(1.-y)2+(+y-3)2+(2x+y-6)2A2+2+C2A(J-y)+B(x+y-3)+C(2x+y-6)2g(x,ytz)即：/(X,y,z)A2+2+C2g(X,>',z)M<g(x,j,z)-(4-3-6C)+(+2C)x+(-A+Cb'2令：n+2C0,(-A+B+C)O,M：=-2C,A三+C三-2C+C三-C,故：&C=I.则：A=-I,B=-2tA2+B2+C21.+4+1.6Mtg(r,j,z)三(A-3-6C)2三(-7+6-6)2=1将、入Ihf(x,y,z)g(x,y,z)_/2+B2+C2<5柯西不式申，号号*立的条件是:/y+y-32x+y6-4*"C即ISx=-3>+75=-3(A+/)+15=-JAr+129VtX=3"+"25M1.3k+/2.Tk+24将FHA+/和X代入2x+y-6三A#：+/6三k55即：YA+24=25,即：A=一：6y=-二+=2时，轲酉不等式中，/号戊立.66电/(x,j)=U-j)'+(x+y-3)2+(2x+>-6)?的最小值是6本意系*用于“梅西不等式”.14、巳如tx+>-2-5,求函Ib/(x.y)=x+y的最小值.解折：的数/(x,y)的嵬义域为：e-,48).je2,-o)#.号4产苧可由均值不智式A“4Q11,卬即：x+>-,:/(x,j>+y-当J+1=JJ-2=：H即：X=24*函数/(x,W的最小值是弓.M“均值不等式i*.x2y215、巳知点P(x,f)在总图了+1=/上.求/(x,)=2x->的最大值.薛析：函数/(x,y)的嵬义域为：e-2,2,>e-3由轲西不等式卷：(2x-)24囹吗小八旬“Vi2x->5,即：/(X,)=2x-j三(-5,5J由柯西不多式的号号金立的条件得：t=,即；9所以，由数/(x,j)2x-j，的量大值是5.此法是用“柯西不等式”.本题也可以果用“收力和不等式”fX2y2(2x)2(一川2(2x-j)2(2x-y)2/三-,十一:一N二.4916916+9$2即：2X-M5,即：J'(x,y)2x-ye-5,51比法为.权方和不等式”.16、求函数，/(x)=777+8-3x的值城.解析，函数/(X)的定义城是：xe-2,A.待嵬系效法用于樽西不等式来解本题.设IA,B>O,则树西不式为t(A2+xF+(8-3*)21Z+I<2+x+48-3x)2f2(x)AB即：2(x)44(2+*)+I(8-3x)二+4=(24+月阴+(川-34)*4+4HIi令：A-3B0,则1A3H由忖西不智式的号号金立条件，印函数取板值踪条件得：A2+x=-3x,即：A2(2+x)=B2(8-3x),M(2+3B2)x8B2-2A2tMt8B2-22A2+3B28B2-18B2IO59B2+3B2一/2一%函敷的梗值为t/("=6R小3吟=栏=呼(D在xw-2,-=区同.函数/(X)单11建增,收，f(x)f(-2)=y2+(-2)+j8-3(-2)=77于差，函数/(*)在前区同的值域差77.a.5X在w一二,率区网.曲数/(X)IMIIit*.Hti63/(x)N吗)=MP-3g)=丹+。岑于差，的数/(I)在谀区同的值域是苧半J.库上，*()M<M<而2423t3此法为"存定系数法”用于“村西不等式”.最后用“单检法”将M值*.17.求函数：/(X)=/+：+1*2+2*+2的值域密析t的数/(X)=/+,+J2+2x+2的定义城是:xgR.本题果用列刖式法.令：J=/(x)-/=+VX2+2x+22则：y-三x2+2x+2O2即：(JY=X2+2x+2,即：ty2-tyx+三X2+2x÷224即：x2+(2+j)x+(2-j)=0FM=亘#>"+酎ZaXM卜=77卜50+0:小巧5,¥*叱即解甲,弟修，刀中解+twx广+twx+Z(WG广+F+<rr+Q+x卜三.<季某'£001=巴寸+H+5必嫌旗，¥王/(£。0乙''f47=?)JX%61.“¥土事解”¥条帮(ff+f<+7)?¥»¥»«(x)/jW19*4k合*M¥*士&,(+1.)Z(O)f'RO=x*(力+邛+1k5(x)/t*啤等菜金'诂找讣=。卜>1(XU!S-f)+(X叩+£)1X叫S-£.+XU.+fQ号.(xu!S-Z)+(xu!S+z)P'FufS-zA+xu!S+z1./=卜>£(XUis-)+(xUis+/UXUis-+Xus，"Z>,*±K解用：片修'等¥*Mxujs-f+xusf<+xus-zN+xus÷f+xus-<+mus+=(x)/'81泰¥HfM.国条第(8'/+/1¥*用阴(*)/庠里'5三74/+4=(*)/,m,会+1水*'营槃*4工甲事最+沁一&.一个,尊/2WJ条)4z(：+.)：也=y+yy+f*<:&*yA'+fA',A0C->+r>=(.1.-f).-.-r(-+r)=7："筝修N阴甲Jx2W2+JX200342“，=yf2yX2w2+X20034x2OM+77M2JWT=OJX2oj+X不式两边分别粕加得t2(V7÷a7+Jr2O>3)£近(yX+X2+QX2002+X2003+yJx2003+xI即：y42×2003200342xy三x2=.=x2w,三,y2003近,即不式的等号可以取到.故：y的北小也是2003J1.此法用“均值不等式20、巳如x,j,z为正实效，且清足上彳+上彳+-=2./+x21.+y2/+2求：/(x,j,z)三，+J+J帕最大I1./+x1.+y1+z工,11I-t,Xyz解析：由r+r+7=3-(r+r+7/+x21.+y21.+z'/+/+y1.+z由行酉不答或Ih即：(一+-+-)242x=21.+x21.+y2/+d故：/(,j,z)=J+J+-yJ+i+y1+z2因此，(,MZ)的量大值是J7.此法为.轲西不冬式21、跳"M求-=(/+高必念)的最小值.*z-u+m7+,w7+COSQ分.并与最后一双合并Ih,z、,Sina+cos+/,2(sin+cos+/)/=/+SinaCaSa二及2sincos由(Sina+cos)2=sin3+cos2+2sinacosa=/+2Sinaa>sfh2sincos=(sinor+cos<z)2-=(sin+cosr+/)(sin+cos-7)/（八）=/+2(Sina+cos+/)(sin+cos+)()sin+cos-/再由岫由公式得，COSa)=VJsin(+-)代入式Ihf（八）1.+Vsin(+?)-/由式及。为我介，当sin（a+。）达®!最大值/*,/（。）均到最小值,即：sin(+；)-/«,/()-+-7=-3+22.42-/收.*=3h/()达到量小值.量小值为3+27.4此法力“岫角公式法”.22、设为机角，求证t2avsin+tan.IF折，因为为我角,函数定义域为：(6,y),所以.,4n,cos,tana>构造的Ibf（八）=sina+tana-2a则函数的尊函数为：.，、/.cosja+-2cos2af（八）三cosa+J2三cosacos*a、cos,a+(-2cos2a+cos7a)-cos4a/<a>三2cosacos,a(-cosa)+(-cos2a)2,.、，=z=cosa(/cosa)+tan*acosa因为：CaSa>0,1-cos0>0,tana>0,所以：f,（八）>0Vt在嵬义域w(0,5)区网，函1.t()为单口量增的数,故：f（八）>f(0)0t即：2a<sin+tan.证毕.23、巳知x,y.z为正实数，求迂：乃S扇.解析：果用得定系数法解本总：令：xi+yi+z1x+aiy!+b!y1+z2,(.a>0,h>0),则：a2+b2=I,于是,孙+2"=xy+2yzM孙+2IyZ=X)-+2"即:孙+2”X2+/+Z2+y2+z2(x2+a2y2)+(b2y2+z2)(2axy)+(2byz)2aXV+与；Xj+2jzb孙+-yza令I=2»则代入。之+力=/得ta+4a=/»即：a=/=t即：三-a4S2a2普9=2.，严代入W：/分雪.证毕.此法为“将定系救法”.另一料方法：参数法.,.XV+2vz5_m+2n5÷X=ny,zny,代入一yzr-#»z：-X+y+z2m+n'+/2222即证：二(，+2)M/+/+/,即证m2-三m+112*2n÷0t际这是J1.能成立的.证毕.