二叉树定价模型.docx

期权定价的二又树模型Cox、ROSS和RUb>nsten提出了期权定价的另一种常用方法一叉树(binomia1.tree)模盟.它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下陡落种可能结果.然后通过分叉的树枝来形敦描述标的资产和期权价格的演进历程本章只探讨股票期权定价的二叉为模型,基于其它标的资产如债券、货币、段票指数和期货的职权定价的二义树方法.请参考有关的书籍和资料.81一步二叉树摸型我们首先通过一个简法的例子介绍二父树模型例8假设一只股票的当前价格是S20.三个月后该股票价格有可能上升到$22,也有可能下降到$18段索价格的这种变动过程可通过图81直观表示出来.股价=$22朗权价格T1.股价H$18期权价格TQ图8.1二叉树示例在上述二叉树中.从左至右的节点(实网点)表示离散的时问点,由节点产生的分枝路径)求示可能出现的不同股价，由于从开场至期权到期日只考虑了一个时间步长.图8表示的二又树称为一步(one-step)二叉树，这是鼻笥洁的二叉梗模至，Sof一段地，钱设一只殿票的当前价格是,其于该股票的欧式期权价格为,C妊过一个时间步1至到期BT)后该股票价格有可能上升到u(W>1).相应的期权价格为£也有可能下除到dS0(<Z<1).fa0相应的期权价格为这种过程可通过一步(one-step)二叉树表示出来.如图82所示，我们的何物是侬据这个二叉树对该欧式股票期权定价.为了对该：式股累期权定价,我们果纳无套利Soarbitr叩G假设.即市场上无套利时机存在.构造一个该股票和期权的组合(portfo1.io),组合中有'股的多头股票和1股空头期权.假短该股票价格上升到叫那么自合在期权到皿价值为咯八一工,忸如该股票价格下降到埒,那么该姐会在期权利期日的价值为“为"一刀.依据无套利假设.该蛆合在股票上升和下海精和状态下的价值应当相等.即有碌-f=<¾-力由此可得=81上式意球为是用个节点之向的期权价格增量与股价用量之比率。在这种状况下,该组合是无风险的.r(Sr1.-f)ef以表示无风险利率,那么该姐合的现值(thepresentva1.ue)为".又密意至1法姐合S(-f的当前价值是尸，.故有s4m)1.f=3WA”将(8.1)代入上式,可得基于一步二又树模型的期权定价公式为f=日此+。7”A(8.2)须要指出的是.由于我们是在无套利SoarErage)假设下探讨欧式股票期权的定价.因此无风玲利率应女偷d<e''<，亦即有：O<P<1三衲Q股价USO期权价值,股价dS0期权价值fd图8.2一步二叉树现在回到前面的例子中假设相应的期权是一个敲定价为$21.到IS日为三个月的欧式书涨权.无风险的年利率为12K未该谢权的当前价慎.22IQS=20,U=-=1.1.£/=-=0.9.r=0.12,X=21,T=O.25,2020目在期权到期曰当USq=21该需选权的价值为/<-maxg)“-1%当dSQ=18时.该称权的施为力=max(Wc,-Zo)=0。依据电3)和(82,可得Oi2-Oi5_09=0.65231.1-0.9/=30.6523x1.+(1-06523)×0=0.633.上述期权定价公式(8.2)和(83)好像与股价上升或下降的锻率无关,事实上,在我们指导期权价值泥它已经a1f1.rr息含在股票价格中了，不妨令股价上升的概率为F,那么股价下降的概率就是、在时间1的期生股累价格为E(M=g呜j+(1.-q)d与假如我们保设市场是风险中性的(riskneutra1.),那么全部证券的价格都以无风为利率增加.故有EB)=SQeK于是,我们有quS0+(1.-q)dS0=S0err由此可得efr-dq=T-u-ap=qp与(83)比根，我们发觉："F,这就是参数的含义.我们称之为风及中性状态下股价上升的概82两步二叉树项型在一步二又刎模型中.股票和职权的价格只经过一个时间步的演化.假姐初始时间即期权到期日的时间间隅太长,有可能造成计算误差太大的缺的因此,在初始时间与期权到期日之间增加离散的时向点,维短计算的时间步长,有助于提高计算褶度Tt=-现在我们将初始时间距期权到即日的时间T分成两个相等的时向步,那么每个时间步长2,假设SOf一只股票的初始价格是.基于该股索的欧式期权价格为J,且每经过一个时同步,该股票价格或者增加到当前价格的以>1)倍,或者下陡到当前价格的d(d<1.)倍股票和航权价格的演化过程可通过如图83所示的二叉例表示出来,这种含有两个时间步长的二叉梗称为两步二叉树CrWO6iepbinomia1.trees)«®.我们的问题是依据这个二叉树对该欧式股票期权定价.类似于一步二叉物嗔型的期权定价方法.采纳无套利InoarbMage)假设,由前向后(backward)逐步计箕期权价值,我们用到f=e"w+Q-p)/J人=e-"心+(1-P)Jf=1.+Q-p)g=厂'"p£+2P(I-P)几+-p)jw(8.4)M,ef,-dP=丁u-d(85)p2,2p(1.-p)和Q-P尸：在(84)中,r分别是风检中性状态下最终一个时间步股价到达上节点,中间节点和下节点的概率.因此，期权的初始价值可认为是期权在到期日的联事价值贴现.股价SOf.待定股价WSo期权价值faa股价UdS0期权价值&股价(PSo期权价值皿图83两步二叉树模型例8.2假设一只股票的初始价格是S50,且抵过1年该股息价格或者上升20H,或者下足2佻.无风检利率为5%,现有一个基于该股票.Itt定价力$52且2年后到期的欧式看联权，试用二叉树搐型安定该期权的价分析将初始时间到期权到1«日的2年时间分成相等的两个时间步,那么股票和期权价格的演化进程可通过图4直观表示出来.侬器意，%=50,u=1.+0.2=1,2.=1-0.2=0.8,r=0.05,X=52,抗=1.caS在期权到期日,当时.该看跌权的价值为Ua¾=724i=max(-u.0)=0当0=48,该行跌权的价值为Xrf=InaX(X"跖,0)=4d'Sf1.=32当0时,该看趺权的价值为ftu=nax(X-屋为,0)=20依据(85)，可得e0051.-0.81.2-0.8=0.6282再由(84),即可求得该看跌权的初始价值为f=e*°5d0.62822×0+2x0.6282x(1-0.6282)x4+0-0.6282)2X20=4.1923.So三503待定3=20图84例82对应的二叉树模型一步和两步一义树噢型太商洁了,实际运用的二叉树要求只有多个苻敝的时同步长来计算期权的你B.通常从初始时问到期权到期日须要分成30或更多个时间步长.两步二叉例模型的欧式股票期权定价公式筒话推广更多步二叉辆模至的情形。假如我们将初始时间距期权Tft=-到期日的时间T分成“,以一J),个相等的时间步,那么每个时间步长n,令股票的初始价格为0.月每经过一个时同步,股位或向上增加到当前价格的“'倍,或向下下除到当前价格的d<*<1)倍,无风检利率为的r.那么在期权更期日，股票价格有N种可能结果/沙飞，SO,u0dnS0.它们在风睑中性状态下出现的概率分别是：(I-P)0.C-1-p),°QWK中u-d(8.6)令篇启为与种股票价格UW%E,”的期权你H.x为期权的酸定价.那么在无套利号设下,股票看册权在到期日的你B为fn-ii=mzun,diS(,-X,Q)J=0,1.,n股票看跌权在到期日的价值为f.1.,=max(Ar-unidiS0,Q),i=O,1.,将该期权在到期日的期望价值黠猊.我们即可得到期权的初始)价值为f=eifcF-P)'儿Q(87)fz«df关于参数的取假.Cox.RasS和RUb<nse<n给出了由殴S1.价格波动率D潴定的公式.u=e.d=84二叉现模型的美式股票期权定价上面我们探讨了应用二叉树模至纶欧式股票IB权定价，事实上,二叉超模至还可妗美式股票期权定价,美式和欧式皎票期灰在到期日的价值是一样的.不同的是美式股票期权的定价过程要未在到期前每一个高敞时间点上推断援早执行(ear1.yexercise)是否最优,并计算对应的期权价值.假设股票价格处验了F个时间步的演化到达期权到期日,且每一个时间步长为这可用一个步So二又切描述【图形省略.号设股票的初始价格为旦每羟过一个时间步，股价或向上沿加到当前价d格的“(”>)倍.或向下下好到当前价格的W倍,无风险利率为的r.那么在第k<1.kn>k+#,，下：个时间步后,二叉树上产生小十'个节点,白上而下分别用*A,judiS0(i=OJ,t),蕊去示.那么节点八卜对应的股票价格为0期权价值用J*”表示.假如在节点4；处期权没有被提早执行.那么期权价值可通过式(82)和(8.3)来计算,即fi-ii-erfi.Pfk*-ii÷0-P)A：；：(RM】ert,-dP=E(B1.O)假如在节京”炉处IH权被提早执行是依优的,那么期权价值'就是提早执行的收益Cpagff,令X为期权的敲定价,对股票看涨权.有=udiS0-X8.11)对股票看跌权,有您=X廿d0(8.12)4；和明星美式皎票期权在节点八卜处的价<a应当取''中的蛟大名即tto=max(久"7-*j)由于美式股票期权在期权到期日的价值是的.因此美式股票期权的定价应当由前向后逐步计算.这也称作向后推演ttockwardsinduction).先由笫力步1期权到期日)的“十】个节点上的期权价他通过公式(89)T813)推出第ZI-I步对应的个节力上的期权价值,依此下去,我们可以得到初始时间上的蝴X价值,下面通过一个例题详处介绍美式股禀媒权的二又树定价过程.例8.3假设例7.2考展的股票期权是美式的.试对该美式股索照权定价,分析股票价格的演化进程见图85.与欧我般票期权一样，在期权到期日，该美式看跌权的价值自上而下分别为f=,Q=%£&=2。(812)可得-依电式(89)0OSXIQ-=0.62821.2-0.8f1.=e0oi*1O.6282×0+(1-0.6282)×4=1.41474=e00.6282×4+Q-0.6282)×20=9.4636£'=尤一吟=52-60=-8£'=X-就=52-40=12故有A=max(£,£)=max(1.4147,-8)=1.4147fd=nax(y,JY)=nax(9.4636,12)=12(8.12),可得一再由式(89)f=e-ooy0.6282×1.4147+(1-0.6282)×12=5.0894/,=-=52-5O=2美式赛很权的(初始)馀值为f=max(,)=max(5.0894.2)=5.0894.3=2。图85例73二叉树模型的美式期权定侪