《數理精蘊》之有理與無理數及其他比例數.docx

数理精慰之有理舆辗理数及其他比例数.上傅名：潇柳gH2XiSoXiangGun112何世SHoSaiKcung提要：数理精蕴有题目涉及垣代教学所“有理数”典“维理数”“有理教”可以度会，“维理数”刖不可也。此外本文尚涉及其他之比例散。维河：仃理数照理敷度翥数正方数度鑫本文取材自洁初御裂数理精短上篇卷五面部二勾股卜睾者已有文名悬再数理精缄之速比例三率法及内插，本文乃其延飨。本文主要及现代散犀所需“有理数”典“瓢理®T0撼帔理精蕴所云，有部分之“辗理数”可以以作留法作出。所以“有理敷”典“辗理数”之概念她非纯粹玛现代数学。（第二十六修凡雨源、雨面、雨般用“一度”（如尺寸之喝）可以度会者，此之缥、面、锢皆热“有整分”可以度鑫者也。如有甲、乙雨缥，甲缥分检五分，乙绿如甲练度分之得七分靛绘，刖此二绿即热“一度”，彼此可以度蠡者矣。甲5分乙7分指瓢"不翥之小数”。本前可算及现代数孥所“有理数”舆“辗理数”。例如上圈甲短悬5分，乙媒悬7分，此雨绿之晨度卷举硅值是热“一度”度翥，是悬“有整分”有整数之尺'寸'名、粉），是悬琪代之“有理政.若将此二综各.热正方面，各悬正方霜则其南面、陶飕亦皆悬“整分”，彼此可以“度盍”者也。以上文意指以5分作一正方面及一正立方AS，即J分别得25万分及125立一方分雨数皆悬整数皆悬"有整分“。又以7分作一正方面及正立方醴即J分别得49方分及343立方分雨数亦.葛整散，亦悬“有整分”。以上之可以推图，若一避舄整数，期此港所作成之面横典箱横皆必尉整数:若招以上之法暹一步推窗若。急有理数，即J/、/、/、/均悬有理数。彳数理精蕊B:至如雨绿雨面、雨醴不可以一度度翥者，此卷1之绿、面'磴皆悬维整分可以度会者也。如丙丁'戊己方面其丙丁港竦悬五分，而丙戊封角缥即J热七分有徐，乃焉彼此维度就之敦矣。盎以丙丁谖之五分焉度刖丙戊媒得七分有除或符丙戊综篇七分整而以其分焉度，刖丙丁煤得五分不足，凡此之缘、面、檄皆悬维整分，彼此可以度去之数也。数理精）以上到S明何调“维整分”，即不能富成整数，含黑理帔莪。“彼此辗度去之8r指封角绿典造、面、立艘均维公因数。上圄扁一正方形遴房5分，其封角绿展7.07107-分，即7分有除。又如耨封角之民定J7分，理J一遏之是卷24,5=4.949747-分即谖数理精蕴)指出正方形若遴良悬有理数，刖其封角绿必卷维理数，反之，若封角缘展焉有理数即J其避良必悬舞理数，即正方形造艮典封角缥同畴2有理数不能她存，此乃数理精慰之。若正方形遏艮热有理数悬«即J封角绿展2(2)。，德辗理数(2篇瓢理数'辗理数乘以有理数仍热辗理数)；若封角级片悬有理敷b，0iiZ¾5，即学亦卷维理数。注意维理数乘以辗理数可能成扁有理数，例如2/<4.5=49=3。第二十七)凡正方一遏源典封角缘维一度可以被此度盎者，益以本方稹典封角绿所成方横比之必有一数非正方数也,夫封角绿自乘所作之方数卷本方稹之二倍，如本方械一，刖封角源所作之方二本方稹四即J封角源所作之方八此一舆二、四典八之维相速比例之整数'故一篇正方敷印J二非正方帔；四悬正方敷而八亦非正方数，二典八既非正方敷，即BS必有零绘而不能盘矣。所需“正方数”乃指一数银闻方接所得之根悬整数。例如I、4、9、16、25、36是Jfe“正方数”。本修数理精蕊以比例三率法IiE明正方形之一一逊舆其封角综不能同BE有理数。数理精蔡有所养/速比例三率，乃指首率：中率=中率：末率。可嘉成分数即=÷'移J三得印保式中率2=首率X末率。1t,4i木牛若首率=M，末率=V2，“舆V同热整数，雨率乃雨正方形面稹，相乘接得：中率2=M2XV2=(MV)2，此亦2一正方形面横。中率=MV-此篇正方形之遽艮，亦卷整数。MV亦可视之焉一片方形面稹兄笨者另文。反之，若«v热瓢理数或V其中一数必2辗理数。若一正方形遽展卷I或2，即其避平方J1或4，其封角平方2或8其“谖平方”穗悬“本方稽”，其"封角燎平方"耦舄“封角燎方稽“兄TIS1.1封角缘方稹本方楂U正方数-即I封角缘方横不能成正方数圈本方植面稹I，刖封角源所作之方面稹悬2本方逐艮急2面精蔚4，即J封角综所作之方面横;8,此1典2、4典8之冏趣相速比例之整数，即维MP整数之数1故I篇正方数（12=D即J二非正方数：四篇正方数（22=4），而8亦非正方数，2舆8既非正方数即其遏艮28必悬维理敷I22成座比例，MIJ2必葛燕理敦。4，Y32，8成连比例，32可嘉成28HJ8必热维理数，其t>8M好理数十分明，因；d8=242，上文已明2热维理数，2卷整数整数乘以维理数亦必Z¾维理数。数理精蕊B:或封角缥所作方稹2四用1本方植熟二野角缭所作方稹十六，刖本方稽热八，此四典二'十六典八之亦照相速比例之整数故四悬正方数而二非正方数十六:正方数而八又非正方帔，然艮IJ封角综所作方楂固检正方数，而本方情根不能成正方数'其遴必有零绘而不能小矣，故凡正方遏缥典封角绿断舞一度可以彼此度蠡之理也。以上文意指如封角绿所作方稹舄4，即J本方横（注意本方情定塾）2¾2，封角嫄所作方稽悬16，刖本方横;8，此4典2、16舆8之冏，亦照相逋比例之整亶”然4篇正方数而2非正方帔76悬正方数而8又非正方敷，於是可得一若封角缘所作方fi!U正方数印J本方稽绝不能成正方数，其遴必;维理数，本方精封角绿方和tZ¾正方数'刖本方械不能成正方数圈数理精蕴之1.法明不辘。第二十八凡正方面舆平画面同者，其演之比例同於其周固遏缘之比例也,如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平阑面其戊壬庚之相等，员耻t方稽舆间情之比例同於方周於留周之比例也。上园热“圆方ST，戊壬庚及己壬辛乃圆及方。正方形周界热甲乙丙丁甲I（同一？½以甲及甲I分别）；圄周悬突己戊辛臾ISg意指正方形面稹：圃面稹=正方周界：圄周以下熟琪代数孥明法：若圜半r，直2，网周2¾2rtr网面横悬11r2。正方形遏艮22r，方周禹8r正方形面稹24r2正方形面植:Ia面稹=4,：=4r：Q=即：211r。然方周悬Sr，网周22tr正方形面桢：两面植=正方周界：两周。8r:2nr可乐勺f舄4：兀。SE举。何以见之?以正方面之王庚半高，甲乙'乙丙'丙丁'丁甲之全周悬底作一子甲直角艮形方，则此艮方形之横比正方形之横必大一倍，又以壬庚半高，庚己、己戊、戊辛、辛庚全周焉底作一壬庚直角是方形同J此展方形之械比平时形之桢亦必大一倍-凡直角三角形之小遏舆0形之半等而三角形之大谖典IH形之全周等者，三角形之稽舆圆形之稹答也。今此辰方形典三角形同底、同高其稽比三角形必大一倍。然即J王庚辰方形比ISI形大一倍可知也，夫王庚子甲陶艮方形既同以壬庚焉高，MiJ-遏数等一遏相等即其值之比例必同於其不等遏之比例，而全舆全之比例原同於半典半之比例故丽民方形之比例必同於庚次舆甲甲之比例，而方典圜之比例亦必同於庚庚典甲甲之比例矣，甲甲I即方周而庚庚I即时周然即J方周典If1.1.周之比例岂非方稹舆BI精之比例乎？数理精缰之法先作一艮方形子甲甲I丑如下，其高2圄半r-其民甲甲正方形全周Sr，其面植热8,，即正方形面楂之2倍。rI丑r等於2X正方形面稽甲1正方形全周8r悬底再作另一艮方形子庚庚I卯如下，其总悬BI半，箕艮庚庚1悬圄形全周2和，其面fi!tJ211，即圆面稹之2倍。1卯等於2X庚I於H形全周211r舄底因悬雨艮方形有相同之高，所以雨艮方形而植之比=雨片方形之底之比=Sr:211r。所以正方形面横：圆面情=正方周界：画周。即：211r可为商蔚4：X，答案舆前相同。第二十九凡有不知之一大敦用雨小数度之不会，而一有除一不足者，其一多一少之敷相伊以南小数之较度之即得共度黑次之分，舆大鼓之矮何也。如有一大数用小敷五度之多一蚁，用小数六度之，又少四敢刖以多一典少四相加得五以六典五丽小数相减绘一，2年攵数除之，仍得五，即知雨小数各度五次也排然以明之，其甲乙五即小数五，丙丁六即小数六，以甲乙五累五次用I悬甲乙己丙正方二十五'多一葛丁，以丙丁六累五次即J悬甲戊丁丙良方三十,少四悬戊庚於甲戊丁丙辰方三十内减去少数戊庚四舄二十六，於甲乙己丙正方二卜五加入多数丁一亦悬二十六是知大数有二十六，用此五、六附小数各度五次之分也以丁一典戊庚四相加悬丁戊五，以小数甲乙五奥丙丁六相减绘一，以一除丁戊五仍得五，典甲丙相等，故甲丙熟臾大数二十六之五次数也。方便明今招Sg目改成如下之1.法：题意指有一数量之圆黠，每次数X站，数5次，期绘I黠，每次数X黠，数6次，印J不足4钻，求X及求回励数。解：依期意可知雨次之IBI励数分别悬5x+1及6x-4，此雨敦相等，即可得以下之方程式：5x+1=6x-45=61.v5xx=5a即每次数5黠，圆黠数热5×5+1.=25+1.=26又即6X5-4=30-4=26，可知答案正Si。以下热一般情形：有一散量之ISI察I'每次数X站，敷次，即依余a黠'每次敷X黠，数S次(5>r)>印J不足黠，求X及求圆黠数。除X外，其他皆2已知数可列出以下之方程式：rx+a=sxba+h=sxrxX(S-r)ajrb等。圆钻数=rrr+rD,as-aras+rs-r5-rs-r以比例法解前：5-r乃度一次之较差也)又悬度X次之较依比例得：Xa+btin+b，即X=1s-rs-r数理精蕴S:若以比例言之，其小数五舆六相减所绘一者，乃度一次之敕，而一多一少相伊之戊丁五者又舄度五次之较'故以所绘一舆度一次之比，即同於戊丁五典度五次之比，其比例既同，故其数亦相等也。以下其圈黑黠悬所有数白黠焉不足数丙丁指优丙至丁共6黠,其除烦推。丙甲己乙丁oooc>戊庚其意指（丙丁6丙己5）=丁I，即各数一次之差数，数5次之差数即2¾5,即丁之黑黠加戊庚4之白黠，故所绘一典敦1之比，即同於戊丁五典数X之比，即：6-51+41+4.,=*,Y=,=、。1X6-5本题之r=5，a=1，s=6，方=4,即得：1+45cX=M=i=5°答案典前相同。第三十）凡有不知之一大敦'用雨小数度之不鑫，而俱有除或俱不足者，其附有除或雨不足之数俱相减，以雨小数之较度之，即得其度襄次之分舆大数之黑何也。本题舆上.啰相若上题篇一绘一不足本跄悬雨绘。如有一大数用小数六度之多五数,用小数七度之仍多一敦,刖以雨多数相减绘四，以六典七丽小数相减绘一悬敕数除之，仍得四，即知阚小数各度四次也。同上题，今改成以下之解:若有一敢量之B1.钻每次数X黠，数6次，刖除5黠，每次数X黠，数7次，用J绘1黠，求X及求S1.黠数;解：依题意可知南次之Ia站数分别悬6x+5及7x+I，此南数相等，即可得以下之方程式：6x+5=7x+I7x-6x=5-1即每次数4黠(SI黠数热6×4+5=24+5=29又7x4+1=28+1=29»弑:排髓以明之'其甲乙六即小数六，丙丁七即小数七，以甲乙六累四次，用甲乙块丙方二十四多五，2¾戊丁己，以丙丁七累四次即J2甲戊丁丙方二十八多一篇已於甲乙庚丙方二十四加入多数戊丁己五得二十九,於甲戊丁丙方二十八加入多数己一，亦得二十九，是知大致有二十九。用此六'七雨小数各度四次之分也，以己一典戊丁己五相减绘戊丁四(51=4)，以小数甲乙六典丙丁七相减绘一(76=1)，以一除戊丁四仍得四(4÷I=4)，乳甲丙相等故甲丙悬度大数二十九之四次数也。若以比例言之其雨小数相减所绘之一乃度一次之较雨多数相减所馀之戊丁四乃度四次之然故以一典度一次之比，即同於戊丁四典度四次之比也。丙甲庚乙TOOOOJjc。己阚小数相减所绘之一乃度一次之较，指7-6=I，丽多数相减所除之戊丁四乃度四次之较，指5-1=4其意指丙丁7-丙庚6=己1即各帔一次之差数触4次之差数即悬4，即戊丁4之白黠，故所绘一典数I之比，即同於戊丁4舆数X之比，即：7-65-45-1.I=I,V=4o1X7-6以下2其一般情况：若有一数量之回黠，每次数X黠，数次，印J除“，每次数X站，数S次（S>r）川腾分股im>与，求N及求阑襄i数。除-V外，其他皆熟已知数，可列出以下之方程式：rx+="除X夕卜，其他皆熟已知数。可列出以下之方程式：rx+a=sx+ba-b=sx-rxX（S-r）=a-ba-brma0w.ra-rt>,s-ras-rbx=。剧助数rx+a=+=。S-rs-rs-rs-r本题之r=6'a=5,s=7,b=，即：x=7=7=4即每次数4，0黠数卷6*4+5=24+5=29°7-61第三十一）数理精缠日：又如有不知之一大帔，用小数八度之少二敢用小数九度之少六数即J以雨少数相减绘四以八舆九雨小数相减绘一篇敕数，除之仍得四，BP知雨小数各度四次也。今改成以下之解:若有一数量之圄钻，每次数X钻，数8次，刖少2段;，每次数X段;，数9次，刖少6黠，求X及求圄黠数“解：依题意可知雨次之EJ黠数分别悬8a-2及6-6，此雨数相等,即可得以下之方程式：8x-2=9x-69x-8.r=6-2X=4。即每次数4黠-SJ盟数热8x4-2=32-2=30。又9x4-6=36-6=30。今作髓排之，其甲乙八即小数八，丙丁九即小数九，以甲乙八累四次即J检甲乙己丙方三十：内少二数悬乙庚，以丙丁九累四次热甲戊丁丙方三十六，丙少六数玛乙庚丁戊於甲乙己丙方三十二内减去少数乙庚二2三十'於甲戊丁丙方三十六内减去少数乙庚丁戊六亦三十是知大数有三十，用此八、九雨小数各度四次之分也。丙甲己庚O。乙丁Oe)OO戊以乙庚二典乙庚丁戊六相减«除戊丁四（6-2=4），以小数甲乙八舆丙丁九相藏绘一（9-8=1.）以一除戊丁四，仍得四，典甲丙篇相等，故甲丙度大数三十之四次数也。W£=E=：=4'即每次数4黠'8、42=32-2=30。其比例亦以期小数相减所绘之较，比度一次之分即同於由少数相减所绘之较'比度襄次之分也。彳复有不知之一大数'用闲小数度之，一小数度之而盍，一小数度之而不翟或有除或不足）即以不盍之数（或有绘之数或不足之数）用雨小数之较度之，即得其度镂次之分，舆大数之线何其理皆相同也。以下检其一般情况：若有一数量之圆熟，每次救X黠数次，即J少。黠每次数X粘,数s次（5>r）,刖少人钻（>%，求X及求圄黠数。除X外，其他皆已知数，可列出以下之方程式：rx-aSX-bh-a=SX-rxx(s-r)=b-aU0符X=U代入疗一$一丁5-ra或sx-b即得黠数。SI钻数rb-ras-r0s-rSTrb-ass-r本题之r=8>a=25=9b=6>X=在建=4即每次数4黠，Iamy¾8x4-2=32-2=30。数理精蕊尚涉及其曲弓I申情形：其一）又若有一数量之圄黠每次救X黠，数/次,刖刚好数会每次数X黏，数S次（s>r），即J少力黠，求X及求剧黠数。除X外，其他皆已知数，可列出以下之方程式：rxsxbb=srxX（ST）=bx=ZaIiJ黠数=rx=Tbs-r有一数量之园黜'每次数X粘，数5次，则刚好数翥'每次数X黠，数7次，刖少8黠，求X及求剧黠数。解：X=白=：=4。囹黠敷=d=5X4=20°7-5Z答：每次数4黠，共有20回黠。OOOOOOOO以下比例算法：、“：久=M=2=4，即每次数4,圆驯数舄5x4=20"其二若有一数量之网勒每次数X勒，数r次，刚好数盍'锂次数X黠，数q次97），刖多d黠,求X及求回钻数。除X外，其他皆焉已知数，可列出以下之方程式：rx=qx+d(q)=d持。81黠数=疗=qr-q有一数量之圆黠每次数X钻，数5次，则刚好数翥，每次数K钻，数3次，肌多10¾，求X及求阑黠数，解：X=言=7=5SSf=rr=5X5=25。5-3Z答：每次数5黠，共有250黠。以下篇比例算法：7=5即每次数5S5×5=25'>每，之跖1_10-0"""?TT